【原创】角平分线的性质与判定

角平分线的性质与判定

什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？BOAC

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

２.分别以Ｍ,Ｎ为圆心.大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．如何用尺规作角的平分线？AＢＯＭＮＣ作法：

１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３.画射线OC．射线ＯＣ即为所求．

SSS1〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？

3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。ABOCD实践应用(1)探究角平分线的性质

(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.探究角平分线的性质证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定义）在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO（已证）∠1=∠2（已证）

OP=OP（公共边）

∴

△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE(3)验证猜想BOAC·DPE∵OC是∠AOB的平分线，∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等。）PD⊥OA，PE⊥OB几何语言：

角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线的性质：1.在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。EDCBA

反过来，到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．思考证明:∵

QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO和∠QEO都是直角，在Rt△QDO和Rt△QEO中

QO＝QO（公共边）

QD=QE（已知）∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用几何语言表示为：角平分线上的点到角两边的距离相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE1.

在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。

求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路解：

作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求。DCs书P50/例题书P50/练习1、2课堂小结1：怎样画一个已知角的角平分线；2：角平分线的性质：