专题12.9全等三角形单元测试（能力提升卷）-【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题12.9全等三角形单元测试（能力提升卷）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•兴平市期末）下列各项中，两个图形属于全等图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【解答】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．2．（2022秋•南阳期末）如图，若AB＝AD，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．∠BAC＝∠DAC B．∠BCA＝∠DCA C．CB＝CD D．∠B＝∠D＝90°【答案】B【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．【解答】解：A、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；C、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2023•长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D．两点之间线段最短【答案】A【分析】根据点O为AA'、BB'的中点得出OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，从而证得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，问题得证．【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，∴OA＝OA'，OB＝OB'，由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，在△AOB和△A'OB'中，OA=OA'∠AOB=∠A'OB'∴△AOB≌△A'OB'（SAS），∴AB＝A'B'，即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，故选：A．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．4．（2022秋•长春期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（）A．30 B．27 C．35 D．40【答案】A【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故选：A．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．5．（2023秋•浉河区月考）根据下列条件，能判定△ABC≌△A'B'C'的是（）A．AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠A＝∠A' B．∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，AC＝A'B' C．∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，AC＝B'C' D．AB＝A'B'，BC＝B'C'，△ABC的周长等于△A'B'C'的周长【答案】D【分析】根据全等三角形的判定定理，要对选项逐个验证．【解答】解：A、满足SSA，不能判定全等；B、对应边不相等，不能判定全等；C、对应边不相等，不能判定全等；D、符合SSS，能判定全等．故选：D．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，难度适中．6．（2023春•高青县期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先由∠1＝∠2得到∠CAB＝∠DAE，然后分别利用“SAS”、“ASA”和“AAS”对各添加的条件进行判断．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠DAE，∵AC＝AD，∴当AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED；当BC＝ED时，不能判断△ABC≌△AED；当∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定：三条边分别对应相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．7．（2023春•渠县校级期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点【答案】A【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．【点评】本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．8．（2023•西陵区模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，DF＝DC，△ADE和△ADF的面积分别为a和b，则△DEC的面积为（）A．a+b B．a﹣b C．a+b2 D．【答案】B【分析】作DG⊥AB于点G，由AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，得DG＝DE，可证明Rt△ADG≌Rt△ADE，得S△ADG＝S△ADE，再证明Rt△DGF≌Rt△DFC，得S△DGF＝S△DEC，由S△DGF+S△ADF＝S△ADG＝S△ADE，得S△DEC+b＝a，则S△DEC＝a﹣b，于是得到问题的答案．【解答】解：作DG⊥AB于点G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，∴DG＝DE，∠AGD＝∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ADG和Rt△ADE中，AD=ADDG=DE∴Rt△ADG≌Rt△ADE（HL），∴S△ADG＝S△ADE，在Rt△DGF和Rt△DFC中，DF=DCDG=DE∴Rt△DGF≌Rt△DFC（HL），∴S△DGF＝S△DEC，∵S△DGF+S△ADF＝S△ADG＝S△ADE，且S△ADE＝a，S△ADF＝b，∴S△DEC+b＝a，∴S△DEC＝a﹣b，故选：B．【点评】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt△ADG≌Rt△ADE及Rt△DGF≌Rt△DFC是解题的关键．9．（2021秋•濮阳期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】证明△AEF≌△ABC（SAS），利用全等三角形的性质，可以推出①②⑤正确，利用反证法推出③④错误即可．【解答】解：在△AEF和△ABC中，EA=BA∠AEF=∠ABC∴△AEF≌△ABC（SAS），∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，故②正确∴∠EAB＝∠FAC＝40°，故①正确，∴∠C＝∠AFC＝∠AFE＝70°，∴∠EFB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故⑤正确，∵AE＝AB，∠EAB＝40°，∴∠AEB＝∠ABE＝70°，若∠EBC＝110°，则∠ABC＝40°＝∠EAB，∴∠EAB＝∠ABC，∴AE∥BC，显然与题目条件不符，故③错误，若AD＝AC，则∠ADF＝∠AFD＝70°，∴∠DAF＝40°，这个显然与条件不符，故④错误．故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是证明△AEF≌△ABC．10．（2023春•桥西区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，交BC于点E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE的延长线于点M，交AD的延长线于点G，AC的延长线交FG于点H．有下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到∠DAE＝∠F；②根据角平分线的定义得∠EAC=12∠BAC，由三角形的内角和定理得∠DAE＝90°﹣∠AED，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC＝AB：CA；④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH＝∠BAE+∠【解答】解：如图，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∵∠AED＝∠MEF，∴∠DAE＝∠F；故①正确；②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC=12∠∴∠DAE＝90°﹣∠AED，＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），＝90°﹣（∠ACE+12∠=12（180°﹣2∠ACE﹣∠=12（∠ABD﹣∠即2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE故②正确；③∵AE平分∠BAC交BC于E，∴点E到AB和AC的距离相等，∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确；④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，∴∠AGH＝∠MEF，∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；故选：D．【点评】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2023秋•恩施市校级月考）如图，△ABO≌△DCO，B、D、A、C在同一直线上，AD＝1，BC＝9，则BD＝4．【答案】4．【分析】设BD＝x，由△ABO≌△DCO，可得AB＝CD＝x+1，故2x+1＝9，即可解得BD＝4．【解答】解：设BD＝x，则AB＝x+1，∵△ABO≌△DCO，∴AB＝CD＝x+1，∴BC＝BD+CD＝x+（x+1）＝2x+1，∵BC＝9，∴2x+1＝9，解得x＝4，∴BD＝4，故答案为：4．【点评】本题考查全等三角形的性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等．12．（2023秋•西乡塘区校级月考）如图，若AB＝AC，AD＝AE，要判定△ABD≌△ACE，请添加一个条件BD＝CE（答案不唯一）．（只填一个）【答案】BD＝CE（答案不唯一）．【分析】由全等三角形的判定，即可得到答案．【解答】解：在△ABD和△ACE中，AB=ACAD=AE∴△ABD≌△ACE（SSS），∴添加一个条件可以是BD＝CE（答案不唯一）．故答案为：BD＝CE（答案不唯一）．【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．13．（2023秋•西乡塘区校级月考）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，DE⊥AB于点E，若AC＝8，则AD+DE的值为8．【答案】8．【分析】连接BD，由DE⊥AB于点E，得∠BED＝∠C＝90°，即可由BD＝BD，BE＝BC，根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△BED≌Rt△BCD，得DE＝DC，所以AD+DE＝AD+DC＝AC＝8，于是得到问题的答案．【解答】解：连接BD，∵∠C＝90°，DE⊥AB于点E，∴∠BED＝∠C＝90°，在Rt△BED和Rt△BCD中，BD=BDBE=BC∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），∴DE＝DC，∴AD+DE＝AD+DC＝AC＝8，故答案为：8．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地作出所需要的辅助线并且证明Rt△BED≌Rt△BCD是解题的关键．14．（2023春•抚州期末）如图所示，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是30．【答案】见试题解答内容【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解．【解答】解：如图，连接OA，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝3，∴S△ABC=12×20×3故答案为：30．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质及判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．15．（2022秋•肇源县期末）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的有①③④．（把你认为正确的序号都填上）【答案】见试题解答内容【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．【解答】解：∵BD＝CD，点A到BD、CD的距离相等，∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；在△BDF和△CDE中BD=CD∠BDF=∠CDE∴△BDF≌△CDE，故③正确；∴∠F＝∠DEC，∴BF∥CE，故④正确；∵△BDF≌△CDE，∴CE＝BF，故⑤错误，故答案为：①③④．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．16．（2022秋•天桥区期末）如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ（不考虑PQ＝0的情况），当点P运动到AP＝5或10，△ABC与△APQ全等．【答案】见试题解答内容【分析】分两种情况：①当AP＝BC＝5时；②当AP＝CA＝10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．【解答】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°，∴∠C＝∠PAQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝5时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，AB=PQBC=AP∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当AP＝CA＝10时，在△ABC和△PQA中，AB=PQAP=AC∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．三．解答题（共7小题）17．如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（2）求出仓库G到铁路的实际距离（比例尺为1：10000，用尺规作图）．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在∠NOQ的平分线上；（2）利用图上距离与实际距离的比值进行计算即可．【解答】解：（1）∵其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，∴利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在∠NOQ的平分线上，再用刻度尺量出5cm即可得出G点．（2）仓库到铁路的图上距离为5cm，则实际距离为5×10000＝50000cm＝500m．答：仓库到铁路的实际距离为500m．【点评】本题主要考查角的平分线上的点到角的两边的距离相等的性质和比例尺的有关知识．实际问题数学化是一种很重要的能力，注意培养．18．（2022秋•青川县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．【答案】见试题解答内容【分析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．BD=DCBE=CF∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠DAE＝∠DAF，∴AD是△ABC的角平分线．【点评】此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到DE＝DF是正确解答本题的关键．19．（2022秋•郧阳区期中）如图，△ABC≌△A'B'C'，AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的对应边上的中线，AD与A'D'有什么关系？证明你的结论．【答案】见试题解答内容【分析】由△ABC≌△A'B'C'结合中线的定义，可得出AB＝A′B′、∠B＝∠B′、BD＝B′D′，进而即可证出△ABD≌△A′B′D′（SAS），再根据全等三角形的性质即可得出AD＝A′D′．【解答】解：AD＝A'D'．证明：∵△ABC≌△A'B'C'，∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′．∵AD，A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的对应边上的中线，∴BD=12BC，B′D′=12∴BD＝B′D′．在△ABD和△A′B′D′中，AB=A'B'∠B=∠B'∴△ABD≌△A′B′D′（SAS），∴AD＝A′D′．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理SAS证出△ABD≌△A′B′D′是解题的关键．20．（2023秋•西乡塘区校级月考）如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补．（1）点D到∠ABC两边的距离是否相等？如果相等，请说明理由．（2）求证：AD＝CD．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由角平分的性质即可解决问题．（2）在BC上截取BE＝AB，连接DE，由SAS证明ABD≌△EBD，得到∠A＝∠BED，AD＝DE，由补角的性质得到∠C＝∠DEC，因此DC＝DE，即可证明AD＝CD．【解答】（1）解：点D到∠ABC两边的距离相等，理由：角平分线上的点到角的两边的距离相等．（2）证明：在BC上截取BE＝AB，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴∠A＝∠BED，AD＝DE，∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DC＝DE，∴AD＝CD．【点评】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形．21．（2022秋•浏阳市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD＝DF．（Ⅰ）求证：CF＝AE；（Ⅱ）若AE＝3，BF＝4，求AB的长．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EDA，即可得出结论；（Ⅱ）通过HL证明△BED≌△BCD，得BE＝BC，再进行等量代换即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DC，∠AED＝90°，在Rt△CDF与Rt△EDA中，DC=DEDF=AD∴Rt△CDF≌Rt△EDA（HL），∴CF＝AE；（Ⅱ）∵CF＝AE，AE＝3，∴CF＝3，∵BF＝4，∴BC＝BF+CF＝4+3＝7，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠DEB＝∠C，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，在△BED和△BCD中，∠DEB=∠C∠ABD=∠CBD∴△BED≌△BCD（AAS），∴BE＝BC＝7，∴AB＝BE+AE＝7+3＝10．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记全等三角形的判定定理及角平分线的性质是解题的关键．22．（2021秋•新化县期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论．【解答】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中∠BDA=∠CEA∠AB