专题11.2 事件的相互独立与条件概率、全概率公式（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第十一章概率专题11.2事件的相互独立与条件概率、全概率公式1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．考点一相互独立事件的概率考点二条件概率考点三全概率公式的应用1．相互独立事件(1)概念：如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．2．条件概率(1)概念：一般地，当事件B发生的概率大于0(即P(B)>0)时，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与Beq\x\to(A)是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋eq\x\to(A))＝BA＋Beq\x\to(A)，从而P(B)＝P(BA＋Beq\x\to(A))＝P(BA)＋P(Beq\x\to(A))，当P(A)>0且P(eq\x\to(A))>0时，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))．常用结论1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．贝叶斯公式：设A，eq\x\to(A)是一组对立事件，A＋eq\x\to(A)＝Ω，0＜P(A)＜1，则对任意事件B⊆Ω，P(B)＞0，有P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\x\to(A)PB|\x\to(A)).题型一相互独立事件的概率1．从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是，从两个口袋内各摸1个球，那么概率为的事件是（

）A．两个都不是白球 B．两个不全是白球C．两个都是白球 D．两个球中恰好有一个白球【答案】B【详解】解：∵从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是，故两个球全是白球的概率为，故两个球不全是白球的概率为，故选：B.2．某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】结合题意：甲队战胜乙队包含两种情况：甲连胜2局，概率为，前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为，则甲战胜乙的概率为．故选：D．3．甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码的概率均为0.4，则密码被破译的概率为（

）【答案】C【详解】由题意得密码未被破译的概率为，所以密码被破译的概率为，故选：C4．某中学运动会上有一个项目的比赛规则是：比赛分两个阶段，第一阶段，比赛双方各出5人，一对一进行比赛，共进行5局比赛，每局比赛获胜的一方得1分，负方得0分；第二阶段，比赛双方各出4人，二对二进行比赛，共进行2局比赛，每局比赛获胜的一方得2分，负方得0分．先得到5分及以上的一方裁定为本次比赛的获胜方，比赛结束．若甲、乙两个班进行比赛，在第一阶段比赛中，每局比赛双方获胜的概率都是，在第二阶段比赛中，每局比赛甲班获胜的概率都是，每局比赛的结果互不影响，则甲班经过7局比赛获胜的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】按照甲班在第一阶段获胜的局数，分类讨论如下：（1）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．（2）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．（3）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．（4）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．所以所求概率，故A项正确.故选：A.5．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大（

）A．方案一 B．方案二 C．相等 D．无法比较【答案】A【详解】设三门考试课程考试通过的事件为，相应的概率为，则考试三门课程，至少有两门及格的事件为，其概率为，设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为，则,又由，所以，即用方案一的概率大于用方案二的概率.故选：A.题型二条件概率6．某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】用A表示事件“代表队既有男生又有女生”，B表示事件“女生甲被选中”，则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为.所以，故选：B.7．箱子中装有2个白球和2个黑球，两人先后从中有放回地随机摸取1个球，已知其中一人摸到的是白球，则另外一人摸到的也是白球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，箱子中装有2个白球和2个黑球，两人先后从中有放回地随机摸取1个球，设事件为“其中一人摸到的是白球”，事件为“另一人摸到的是白球”因为两人先后从中有放回地随机摸取1个球，可得，所以所求概率为.故选：A.8．逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，显然，，所以.故选：A9．甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，，，所以，故选：B.10．湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有个基本事件，事件A含有的基本事件数是，则，事件含有的基本事件数为，则,所以.故选：B题型三全概率公式的应用11．第19届亚运会正在杭州举行，运动员甲就近选择A餐厅或者B餐厅就餐，第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（

）【答案】B【详解】运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为，故选:B.12．甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（）A． B．C．事件与事件不相互独立 D．、、两两互斥【答案】A【详解】依题意，，，，，，B对，，A错；，，所以，，所以，事件与事件不相互独立，C对，由题意可知，事件、、中的任意两个事件都不可能同时发生，因此，事件、、两两互斥，D对.故选：A.13．在2023亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3分球投手，在比赛中，她3分球投中的概率为，非3分球投中的概率为，且她每次投球投3分球的概率为，则该球员投一次球得分的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设事件A为“该球员投球得分”，事件B为“该球员投中3分球得分”，由全概率公式：，故选：C14．某部门对一家食品店的奶类饮品和面包类食品进行质检，已知该食品店中奶类饮品占，面包类食品占，奶类饮品不合格的概率为0.02，面包类食品不合格的概率为0.01．现从该食品店随机抽检一件商品，则该商品不合格的概率为（

）【答案】C【详解】设事件表示“抽到的商品为奶类饮品”，事件表示“抽到的商品为面包类食品”，则，设事件表示“抽检的商品不合格”，则，所以，故选：C．15．重庆八中味园食堂午餐情况监测数据表明，小唐同学周一去味园的概率为，周二去味园的概率为，且小唐周一不去味园的条件下周二去味园的概率是周一去味园的条件下周二去味园的概率的2倍，则小唐同学周一、周二都去味园的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设“小唐同学周一去味园”为事件A，设“小唐周二去味园”为事件B，则“小唐同学周一、周二都去味园”为事件AB，由题意可知：，且，由全概率公式可知：，即，解得，所以.故选：A一、单选题1．小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为、、，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设小明遇到的三人分别为，，，则小明遇到三人的概率都为，若小明与比赛获胜的概率为，与比赛获胜的概率为，与比赛获胜的概率为，则小明进入决赛的概率为，故选：A.2．若，，，则事件A与的关系是（

）A．事件A与互斥 B．事件A与对立C．事件A与相互独立 D．事件A与既互斥又相互独立【答案】C【详解】由题意，，，，∴，∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.故选：C.3．甲、乙两人进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则两人各射击一次，均没中靶的概率是（） B． C． 【答案】D【详解】甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则甲不中靶概率为，乙不中靶概率为，因此两人均没中靶的概率为，故选：D4．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则甲、乙两人都中靶的概率为（

）【答案】A【详解】由题意知，甲乙两人都中靶的概率为：.故选：A.5．在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设甲中奖为A事件，乙中奖为B事件,则,故选：B.6．大美黄冈，此心安处．在这里，东坡文化独领风骚；在这里，红色文化光耀中华；在这里，戏曲文化绚丽多姿；在这里，禅宗文化久负盛名．现有甲乙两位游客慕名来到黄冈旅游，都准备从H，G，L，Y四个著名旅游景点中随机选择一个游玩，设事件A为“甲和乙至少一人选择景点G”，事件为B“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题两位游客从4个著名旅游景点中各随机选择一个游玩，共有种，其中事件A的情况有种，事件A和事件B共同发生的情况有种，所以，，所以.故选：A.7．随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（

）【答案】D【详解】记小明步行上班为事件，骑共享单车上班为事件，乘坐地铁上班为事件，小明上班迟到为事件，则，，，，所以，所以某天上班他迟到的概率是.故选：D.A：甲踢进球；事件B：乙踢进球.甲､乙两人是否进球互不影响，则接下来一次点球中，（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意知，甲､乙两人是否进球互不影响，即事件与事件相互独立，又由，所以.故选：D.二、多选题9．A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则（

）A．甲与乙互斥 B．丙与丁互斥C．甲与乙相互独立 D．乙与丁相互独立【答案】BCD【详解】对于A选项，因为，，，所以，所以甲与乙相互独立，故A选项错误；对于B选项，因为，，，所以，所以丙与丁互斥，故B选项正确；对于C选项，由A选项知故C选项正确；对于D选项，因为，，所以，故乙与丁相互独立，故D选项正确.故选：BCD.10．已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（

）A．若与互斥，则B．若与相互独立，则C．若，则事件与相互独立D．若，则【答案】ABC【详解】对于A选项，若与互斥，则，A对；对于B选项，若与相互独立，则，所以，，B对；对于C选项，若，且，所以，事件与相互独立，C对；对于D选项，若，则，所以，，D错.故选：ABC.11．在六月一号儿童节，某商家为了吸引顾客举办了抽奖送礼物的活动，商家准备了两个方案.方案一：盒中有6个大小和质地相同的球，其中2个红球和4个黄球，顾客从盒中不放回地随机抽取两次，每次抽取一个球，顾客抽到的红球个数等于可获得礼物的数量；方案二：顾客投掷一枚质地均匀的骰子两次，两次投掷中向上点数为3的倍数出现的次数等于可获得礼物的数量．每位顾客可以随机选择一种方案参加活动，则下列判断正确的是（

）A．方案一中顾客获得一个礼物的概率是B．方案二中顾客获得一个礼物的概率是C．方案一中顾客获得礼物的机会小于方案二中顾客获得礼物的机会D．方案二中“第一次向上点数是1”和“两次向上点数之和为7”相互独立【答案】ABD【详解】A:方案一中顾客获得一个礼物的概率是,故A正确;B:方案二中顾客获得一个礼物的概率是,故B正确;C:记方案一中顾客获得礼物的概率为，记方案二中顾客获得礼物的概率为，,故C错误;D:记方案二中“第一次向上点数是1”为事件,两次向上点数之和为7为事件,,,所以方案二中“第一次向上点数是1”和“两次向上点数之和为7”相互独立,故D正确.故选：ABD.12．国庆节期间，某商场搞促销活动，商场准备了两个装有卡片的盒子，甲盒子中有4张红色卡片、2张绿色卡片，乙盒子中有5张红色卡片、3张绿色卡片(这14张卡片球除颜色外，大小、形状完全相同).顾客购物满500元即可参加抽奖，其规则如下：顾客先从甲盒子中随机取出1张卡片放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出1张卡片，记“在甲盒子中取出的卡片是红色卡片”为事件，“在甲盒子中取出的卡片是绿色卡片”为事件，“从乙盒子中取出的卡片是红色卡片”为事件M，若事件M发生，则该顾客中奖，否则不中奖.则有（

）A．与是互斥事件 B．C． D．与相互独立【答案】AC【详解】从甲箱中摸一张卡片，红色卡片与绿色卡片不可能同时出现，所以与是互斥事件，故A正确；由题意知，，所以，故B错误；，所以，故C正确；因为，故D错误.故选：AC．三、填空题13．篮球爱好者小张练习定点投篮，分别在5个不同位置投篮，每个位置投篮2次，每个位置进球1次得1分，进球2次共得3分．若小张每次投篮进球的概率都是，则小张投篮10次后总得分不低于12分的概率为．【答案】【详解】小张投篮10次后总得分不低于12分可以分为以下3种情况：4个位置都投进2球，1个位置没投进球，得12分；4个位置都投进2球，1个位置只投进1球，即9次投进球，1次没投进球，得13分；5个位置都投进2球，即10次全部投进球，得15分，所以小张投球10次后得分不低于12分的概率为：．