重庆市部分学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版）

PAGEPAGE1重庆市部分学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.过两点的直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知直线的斜率为，所以倾斜角．故选：D.2.已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】，设椭圆的右焦点为，，当在的正上方时，等号成立.故选：D3.过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条【答案】B【解析】由题意，抛物线方程，点恰好再抛物线上，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与抛物线有两个交点，不满足题意；当直线与轴平行时，此时直线与抛物线只有一个公共点，满足题意；因点在抛物线上，过点有且仅有一条切线，满足与抛物线只有一个公共点，所以与抛物线只有一个公共点的直线只有2条.故选：B.4.三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于三棱锥中，平面ABC，，，故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：则体对角线即为外接球的直径，所以，故三棱锥的外接球表面积为．故选：D5.已知双曲线的离心率为，则双曲线E的两条渐近线的夹角为（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】当，即时，，解得，则双曲线此时渐近线的斜率为，所以渐近线的倾斜角为和，所以双曲线E的两条渐近线的夹角为；当，即时，，解得，则双曲线此时渐近线的斜率为，所以渐近线的倾斜角为和，所以双曲线E两条渐近线的夹角为；故选：B.6.已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设弦的两个端点分别为，，则，①﹣②得：，即，所以．故以点为中点的弦所在的直线方程为y，整理得.故选：C.7.已知点M（0，4），点P在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值是（）A. B. C.4 D.6【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标，该点就是的圆心，设，要使最小，则取得最大，的最小值即的最小值，令即，当时取得最小值，此时.故选：C8.如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】在中，由正弦定理得：①，在中，由正弦定理得：②，又，则，所以得：，又，则，即；设（），由双曲线的定义得：，，，由得：，解得：，所以，，在中，由勾股定理得：，整理得：，即双曲线的离心率，故选：C.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知直线，，，以下结论正确的是（）.A.不论a为何值时，与都互相垂直；B.当，与x轴的交点A到原点的距离为C.不论a为何值时，与都关于直线对称D.如果与交于点M，则的最大值是【答案】AD【解析】对于A，恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；对于B，与x轴的交点，点A到原点的距离为，故B错误；对于C，在l1上任取点，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为，代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不等于0，故C不正确；对于D，联立，解得，即，所以，所以的最大值是，故D正确.故选：AD.10.椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8B.椭圆上不存在点，使得C.直线与椭圆恒有公共点D.为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3【答案】ACD【解析】对于A选项：由椭圆的定义：的周长为：，故A正确；对于B选项：设，则，，，，解得椭圆上存在点，使得，故B错误；对于C选项：直线恒过定点，故该定点在椭圆内，过该定点的直线和椭圆一定有交点，故C正确；对于D选项：设，则P点到圆的圆心的距离，故，故D正确.故选：ACD11.如图，已知正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，点在上，平面，则以下说法正确的是（）A.点为的中点B.三棱锥的体积为C.直线与平面所成的角的正弦值为D.过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是【答案】ABC【解析】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面EFG的法向量为，则，令，则，故，A选项，设，则，因为平面，所以，即，解得：，故，故，，所以，则点为的中点，A正确；设点到平面EFG的距离为d，则，又，，，即，由余弦定理得：，故，则，由三角形面积公式可得：，故三棱锥的体积为，B正确；，设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为，C正确；取的中点，的中点，的中点，连接，则过点、、作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，正六边形的面积为则截面面积为，D错误.故选：ABC12.已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）A.直线的斜率为 B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13.在线段上运动，已知，则的取值范围是_______.【答案】【解析】表示线段上的点与连线的斜率，因为所以由图可知的取值范围是．故答案为：14.已知圆：，圆：，、分别是圆，上动点是轴上动点，则的最大值是_________.【答案】【解析】由题设，且半径，且半径，所以，即圆包含圆，又、分别是圆，上动点是轴上动点，要使的最大，共线且在的两侧，所以.故答案为：15.已知双曲线的左右焦点分别为，，其一条渐近线倾斜角为，若点P在双曲线上，且，则______．【答案】13【解析】由题意，，故，双曲线，，因为小于到右顶点的距离，故在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得，解得.故答案为：1316.如图，正方体的棱长为4，点P在正方形的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足的点P组成，则四面体的体积的取值范围_________.【答案】【解析】连接，如图所示，因为平面，平面，所以，∵，由，，则；所以在以为圆心2为半径的圆面上，由题意可知，，所以当在边上时，四面体的体积的最大值是.所以当在边的中点时，的面积取得最小值，此时，所以四面体的体积的最小值是，所以，故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知圆M的圆心在直线上，圆M与y轴相切，且圆M截x轴正半轴所得弦长为．（1）求圆M的标准方程；（2）若过点且斜率为k的直线l交圆M于A、B两点，且点，当的面积为，求直线l的方程．解：（1）设圆M的圆心，半径为r，则由已知可得，所以，所以圆的方程为．（2）根据题意，设直线l的方程为，则圆心M到直线l的距离，则，又由，则P到直线l的距离，若的面积为，则有，解可得：，则直线l的方程为．18.直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.（2），，，设平面的法向量为，则，取，可得，.因此，直线与平面夹角的正弦值为.（3），，设平面的法向量为，则，取，可得，则，因此，平面与平面夹角的余弦值为.19.已知抛物线上的点到焦点的距离为．（1）求抛物线的标准方程；（2）直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程．解：（1）因为抛物线上的点到焦点的距离为，所以，解得，所以抛物线方程（2）抛物线的焦点，设，由，得，由，得，，因为，，，所以，所以，所以，所以，化简得，得，所以直线的方程为，即20.已知椭圆C：（）右焦点为，为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且的周长为.P是椭圆上一动点，M是直线上一点，且直线轴.（1）求椭圆C的方程：（2）记直线与椭圆另一交点为Q，直线是否过x轴上一定点？若是，求出该定点：若否，请说明理由.解：（1）因为椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，且，所以，即，又，，解得，所以椭圆方程为；（2），易知直线PQ斜率为0时，QM为x轴，则若QM过定点，则定点位于x轴上，当直线PQ斜率不为0时，设，与椭圆方程联立，得，设，则，，所以直线QM的方程为，令，得，因，所以，故直线QM过定点N.21.如图1，在平面四边形PDCB中，，，，.将沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如图2所示.（1）设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；（2）点Q在线段SC上（点Q不与端点重合），平面QBD与平面BCD夹角的余弦值为，求线段BQ的长.解：（1）依题意，，因为，所以，由于平面平面ABCD，且交线为AB，平面ABCD，所以平面SAB，因为l是平面SDC与平面SAB的交线，所以平面SAB，故.（2）由上可知，平面SAB，所以，由题意可知，，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设，则，，设是平面QBD的一个法向量，则，令，可得由于是平面CBD的一个法向量，依题意，二面角的余弦值为，所以，解得，此时，，即线段BQ的长为.22.已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.（1