新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题15概率与分布列 15.4正态分布（解析版）

专题十五《概率与分布列》讲义15.4正态分布题型一.正正态分布1．（2017•宝鸡三模）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a的值等于（）A．53 B．73 C．3【解答】解：∵P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），∴2a﹣3+a+2＝6，∴a=7故选：B．2．（2018春•清远期末）设两个正态分布N1（μ1，σ12）和N2（μ2，σA．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2【解答】解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小，∴σ1＜σ2故选：A．3．（2021春•沈阳期末）设X～N（μ1，σ21），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中错误的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1） C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）【解答】解：∵由图可知，μ1＜0＜u2，σ1＜σ2，∴P（Y≥μ2）＜P（Y≥μ1），故A选项错误，由图可得，P（X≤σ2）＞P（X≤σ1），故B选项错误，由图可得，对任意实数t，P（X≤t）≥P（Y≤t），而P（X≤t）＝1﹣P（X≥t），P（Y≤t）＝1﹣P（Y≥t），故P（X≥t）＜P（Y≥t），故C选项正确，D选项错误．故选：ABD．4．（2016秋•武汉期末）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N（80，σ2）（满分为100分），已知P（X＜75）＝0.3，P（X≥95）＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．（1）求抽取的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85），[85，95），[95，100）各有一位同学的概率；（2）记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．【解答】解：（1）P(80≤X＜85)=12−P(X＜75)=0.2⋯（2分）P（85≤X＜95）＝0.3﹣0.1＝0.2，P（95≤X所以所求概率为P=A（2）ξ的可能值为0，1，2，3．则P(ξ=k)=CP(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=2)=CP(ξ=3)=Cξ0123P0.2160.4320.2880.064E（ξ）＝0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064＝1.2…（12分）5．（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：150≈若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为：x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×s2＝（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02＝150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）＝P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）＝0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX＝100×0.6826＝68.26．6．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116i=116xi=9.97，s=1用样本平均数x作为μ的估计值μ̂，用样本标准差s作为σ的估计值σ̂，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.008≈【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974＝0.0026，由题意知X～B（16，0.0026），因为P（X＝0）=C160×（1﹣0.9974）0×所以P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝0.0408，因为X～B（16，0.0026），所以E（X）＝16×0.0026＝0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ̂−3（ⅱ）由x=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为μ̂=9.97，σ零件的尺寸在(μ剔除(μ115（16×9.97﹣因此μ的估计值为10.02．i=116xi2＝16×0.2122+16×剔除(μ115（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈因此σ的估计值为0.008≈题型二.分布列综合问题1．微博橙子辅导用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如表：n[0，3）[3，6）[6，9）[9，12）[12，15）[15，18）男同学人数715111221女同学人数51320932若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”．（Ⅰ）将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？（Ⅱ）从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动．（i）设A为事件“抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件A发生的概率；（ii）用X表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）样本中“社会实践标兵”不低于12次的学生有8人，∴该校学生中“社会实践标兵”有：1600×8（Ⅱ）8名“社会实践标兵”中有男同学3人，女同学5人，（i）A为“抽取的4位同学全是女同学”，∴P（A）=C∴P（A）＝1﹣P（A）＝1−1（ii）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，P（X＝0）=CP（X＝1）=CP（X＝2）=CP（X＝3）=C则X的分布列为：X0123P1331E（X）=0×12．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10＝1解得a＝0.03；（Ⅱ）由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40＝24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（Ⅲ）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的频率为0.2；则ξ～B（3，0.2），ξ＝0，1，2，3；P（ξ＝0）＝C30×0.83=64P（ξ＝1）＝C31×0.82×0.2=48P（ξ＝2）＝C32×0.8×0.22=12P（ξ＝3）＝C33×0.23=1∴ξ的分布列为：ξ0123P6412548125121251125Eξ＝3×0.2＝0.6，Dξ＝3×0.2×0.8＝0.48．3．某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从A农场购进一批优质棉花，厂方技术员从A农场存储的优质棉花中随机抽取了100处棉花，分别测量了其纤维长度（单位：mm）的均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：长度（单位：mm）[23，25）[25，27）[27，29）[29，31）[31，33）[33，35）[35，37）[37，39]频数4916241814105（1）求这100个样本数据的平均数x和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）将收集到的数据绘成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布X～N（μ，σ2）其中μ≈x，σ2＝s①利用正态分布，求P（X＞μ﹣2σ）；②纺织厂将A农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取20处测量其纤维均值yi（i＝1，2…，20），数据如下：y1y2y3y4y5y6y7y8y9y1024.131.832.728.228.434.329.134.837.230.8y11y12y13y14y15y16y17y18y19y2030.625.232.927.135.928.933.929.535.029.9若20个样本中纤维均值Y＞μ﹣2σ的频率不低于①中P（X＞μ﹣2σ）即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送时掺杂了次品，判断该批棉花不合格．按照此依据判断A农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由．附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9543，12.28≈【解答】解：（1）x=s2（2）棉花的纤维长度服从分布X～N（μ，σ2），其中μ＝31，σ=12.28①利用正态分布，则P（X＞μ﹣2σ）=1−1②μ﹣2σ＝31﹣2×3.504≈23.992，故f（Y＞μ﹣2σ）＝f（Y＞23.992）＝1，满足条件，∴认为该批优质棉花合格．课后作业.正态分布1．随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝0.2，P（2＜ξ＜6）＝0.6，则μ＝4．【解答】解：由题意可知，P（ξ＜6）＝P（ξ＜2）+P（2＜ξ＜6）＝0.2+0.6＝0.8，∴P（ξ＞6）＝1﹣0.8＝0.2，∵（ξ＜2）＝P（ξ＞6），∴μ=2+6故答案为：4．2．已知随机变量X～N（0.4，σ12），Y～N（0.8，σ22），其正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．P（X≥0.4）＝P（Y≥0.8） B．P（X≥0）＝P（Y≥0） C．X的取值比Y的取值更集中于平均值 D．两支正态曲线与x轴之间的面积均为1【解答】解：由已知得μ1＝0.4，μ2＝0.8，σ1＜σ2，所以P（X≥0.4）＝0.5，P（Y≥0.8）＝0.5，故A正确，由图象可知，在y轴的左侧，分布列X的图象在Y的图象下方，故P（X≥0）＞P（Y≥0），故B错误，分布列X的图象比Y的图象更“高瘦”，故X的取值比Y的取值更集中于平均值左右，故C正确，两支密度曲线与x轴之间的面积均为1，故D正确．故选：B．3．江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间Z（单位：分）服从正态分布N（33，42），下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间Z（单位：分）服从正态分布N（44，22），下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．从统计的角度看，下列说法合理的是（）A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到 B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大 D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到【解答】解：对于A，若8：00出门，A先生乘坐公交，从甲到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），当满足P（Z≥45）=1−P(21＜Z＜45)2=对于B，若8：02出门，江先生乘坐地铁，因为从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），故当满足P（Z≤48）=1−P(40＜Z＜48)2+P（40＜Z＜48）＝0.9972时，A对于C：若8：06出门，江先生乘坐公交，因为从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），故当满足P（Z≤37）=1−P(29＜Z＜37)2+P（29＜Z对于D：若8：12出门，江先生乘坐地铁，因为从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），故当满足P（Z≤38）=1−