2023年高考数学母题题源解密（全国通用）：圆锥曲线（原卷版）

专题16圆锥曲线-备战2023年高考数学母题题源解密(全国通用)

考向一椭圆

【母题来源】2022年高考全国乙卷(文科)

【母题题文】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过/(0,-两点.

(1)求E的方程;

(2)设过点尸(1,-2)的直线交E于N两点，过加且平行于x轴的直线与线段交于点T,点〃满足

MT=TH-证明：直线HN过定点.

【试题解析】【小问1详解】

解:设椭圆片的方程为加x?+即2=1过4(0,_2),3(|,一1

4n=1

则＜9/解得加=:,〃=］，

—〃？+〃=134

14

所以椭圆E的方程为：^+―=1.

43

【小问2详解】

32

力(0,-2),8(5，-1),所以/B:y+2=]X,

22

①若过点P(L-2)的直线斜率不存在，直线x=1.代入二+匕=1,

34

可得〃(1,一半)，N(1,半)，代人方程y=|x—2,可得

T(―-^6+3,-----)1由MT=TH得,到H(―25/6+5,—.求得HV方程:

y=(2+半口一2,过点(0,-2).

②若过点尸(1,-2)的直线斜率存在，设Ax-y-6+2)=0,"(X］，M),N(X2，%).

kx-y-（k+2）=0

联立x2y2，得（3/+4）》2—6%（2+左）x+3左/+4）=0,

—+—=1

34

66（2+〉）一8（2+左）

X+X

12-3左2+4一二寸7

可得

3左（4+左）4（4+4左一2左2）'

3左2+4"2=..3^+4

—24%..

且再必+尤2弘=T7I-T（*）

3K।4

y=yt

。，可得（学+必）,〃（七,必）.

联"273,3M+6—

y=-x-22

3

可求得此时初"一%=3乂+",：：—々(a%)'

将(0,-2)，代入整理得2($+x2)-6(必+y2)+xiy2+x2y{-3yly2T2=0.

将(*)代入，得24k+12左2+96+48k-24(-48-48左+24廿一36/—48=0,

显然成立，

综上，可得直线"N过定点(0,-2).

【命题意图】

本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及

直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力.

【命题方向】

这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现，属于中档题，当看到题目中出现直线与圆锥曲线位

置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.

【得分要点】

求定点、定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

考向二双曲线

【母题来源】2022年高考浙江卷

【母题题文】已知双曲线5-《=1（〃＞。力＞。）的左焦点为凡过/且斜率为9的直线交双曲线于点

A（xt,y｝）,交双曲线的渐近线于点6（%,必）且玉＜0＜々.若|F5|=3|E4|,则双曲线的离心率是

国题隔圈

【试题解析】过户且斜率为2的直线Z3：_y=2（x+c）,渐近线/2：y=2x,

4a4aa

U—_b_fy_i_»

联立，4a，得5你当,由I旗1=3典I，得I，给，

b\33a）\99aJ

y=­x

a

而I五加H仲！-工口25c2b2c2,c281的“由、夕376

而人1、A在双曲线上，J'/u---------――=1,解得：—=—,所以离心个e=-----

2

81/81/〃a244

故答案为：巫.

4

【命题意图】本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线的位置关系，考查学生的运算求解能

力.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现，属于中档题，当看到题目中出现直线与圆

锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.

【得分要点】

(1)第一问主要利用圆锥曲线的简单性质解答；

(2)第二问联立直线和圆锥曲线并消元；

考向三抛物线

【母题来源】2022年高考全国甲卷(理科)

【母题题文】设抛物线C：/=2px(p>0)的焦点为2点。(p,0),过尸的直线交C于MN两点.当

直线"9垂直于x轴时，|初刊=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线A/。,与C的另一个交点分别为aB,记直线的倾斜角分别为a,£.当a-£取

得最大值时，求直线48的方程.

【试题解析】【小问1详解】

抛物线的准线为x=-5,当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p,

W\MF\=p+^=3,所以p=2,所以抛物线C的方程为/=以；

【小问2详解】

设”今，凹，N多%，8，直线MN:x=w+l,

14yV47\47k4J

x=my+1

2可得,2—4加、_4=0,△>0,必先二一4,

y=4x

k_—一%一4―--乂_4

MN

由斜率公式可得~±_yl~yl+y2,'厂一为+”，

4444

x,—2,4（X1—2）

直线〃D:x==——y+2,代入抛物线方程可得y2一一U—Ly-8=0.

乂

k

44“MM

△>°,必先=-8,所以%=2%,同理可得为=2,，所以38=------=77-------?

%+”2（弘+%）~T

乂因为直线的倾斜角分别为Q,尸，所以《s=tan£=殍=9|q

若要使a—£最大，则

tan<7-tan/?_k

设kMN=2k.B=2k>0,则tan(a-£)=旦

1+tanatan/3l+2k24,

当且仅当1整即心日时’等号成立，所以当"0最大时，左

，设直线AB:x=6y+n,

AB2

代入抛物线方程可得y2-4〃=0.△＞。,外瑞=-4〃=4凹为=T6,

所以”=4.所以直线45:x=+4.

【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的交点问题，考查学生的数学运算能力，是一道

较难的题目.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题的形式出现.试题难度较大，多为高

档题，重点考查抛物线的定义、性质及直线与抛物线的交点等.

【得分要点】

利用抛物线方程对斜率进行化筒，利用韦达定理得出坐标间的关系.

一、单选题

1.（2022・湖南•周南中学高二期末）已知椭圆C：与+¥=1的左右焦点分别为B、/2,过左焦点B,作直

2516

线交椭圆C于4、3两点，则三角形48巳的周长为（）

A.10B.15C.20D.25

22

2.（2022•青海・海东市第一中学模拟预测（文））已知椭圆C：^T+£=1（〃＞力＞0）,直线1=三与椭圆。交

于4B两点,。为原点，若三角形405是等腰直角三角形，则椭圆。的离心率为（）

A.&B.也C.3D.巫

4224

3.（2022•河南洛阳•模拟预测（文））已知点尸是双曲线f-仁=1的右焦点，点尸是双曲线上在第一象限

8

内的一点，且尸尸与x轴垂直，点0是双曲线渐近线上的动点，则|尸。|的最小值为（）

A0心R）581672.16>/2

A.2V2+—B.Z72--C.1------Dn.1+----

3333

22

4.（2022•江西九江・三模（理））双曲线二-二」=1（0<〃?<1）的左右焦点分别为耳，B,P为圆/+/=1

与该双曲线的一个公共点，则△尸丹玛的面积为（）

A.\-mB,〃？C.2mD.1

5.（2022•全国•模拟预测）已知抛物线。:/=22工（2>0）的焦点为尸，且歹与圆加：。+4）2+/=］上的点之

间距离的最小值为4,则〃的值为（）

A.5B.4C.3D,2

6.（2022•贵州・贵阳一中模拟预测（文））过抛物线C:必=2px（p>0）的焦点厂的直线/与抛物线C交于点

4B,若万5=2而,若直线/的斜率为左，则公（）

A.272B,-2yf2C.20或-20D.屈或二

7.（2022•北京市第十二中学三模）已知点P在抛物线C:/=4x上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切,

且与x轴相交的弦长为6,则点尸到y轴的距离为（）

A.4B.4应C.5D.5板

22

8.（2022・全国•模拟预测）已知双曲线6：3-q=1仍>0）,其左、右焦点分别为用F2.点名到G的一

条渐近线的距离为1,若双曲线G的焦点在V轴上且与G具有相同的渐近线，则双曲线G的离心率为（）

A.75B.2C.V3D.好

二、填空题

22

9.（2022•上海普陀・二模）设椭圆「：二+匕=1的左、右两焦点分别为4，K,P是「上的点，则使得△尸尸怎

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是直角三角形的点P的个数为.

10.（2022・上海静安•二模）已知椭圆一+4=1（a>0）的一个焦点坐标为（0,1）,则。=.

a

11.（2022・四川成都・模拟预测（文））某双曲线的实轴长为4,且经过（1,2忘），则该双曲线的离心率为

22

12.(2022・上海长宁•二模)已知双曲线C:十方=l(a>0力>0)的左、右焦点分别为耳、鸟，过鸟且斜率

为-当的直线与双曲线C的左支交于点A.若(而+即)•即=0,则双曲线C的渐近线方程为.

三、解答题

13.(2022•四川成者卜模拟预测(理))平面直角坐标系中，椭圆£+£=1(。>6>0)的焦距为2而，过焦点

a'h

的最短弦长为

(1)求椭圆的标准方程；

(2)斜率为方的直线与椭圆交于48两点，P为椭圆上异于48的点，求△尸45的面积的最大值.

22

14.(2022•山东潍坊•模拟预测)已知双曲线。］-}=1(4>0,6>0)的左、右焦点分别为耳、入，双曲线

C的右顶点A在圆。:—+_/=3上，且福.丽=-1.

(1)求双曲线C的方程；

(2)动直线/与双曲线。恰有1个公共点,且与双曲线。的两条渐近线分别交于点M、N,设。为坐标原点.求

证：△。及W的面积为定值.

15.(2022•黑龙江・鸡西市第四中学三模(理))已知抛物线C：x2=2py(p>0),圆。x2+/=l.

⑴若抛物线C的焦点尸在圆。上，且“为C和圆。的一个交点，求|力尸

(2)若直线/与抛物线C和圆。分别相切于点N,求|MN