新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 求椭圆的离心率（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．A【分析】设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为，，，通过椭圆的，，是等比数列建立关于，，的等式，求出椭圆的离心率即可．【详解】解：设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为，，，椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，，，成等比数列，，，两边同除以得：，且0<e<1，解得，故选：2．A【分析】因为为正三角形，所以结合椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，代入即可得出答案.【详解】图所示，易知，．由椭圆的定义可得，则该椭圆的离心率．故选：A.3．C【分析】由已知条件以及椭圆的定义,将,用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.【详解】设,则,.由椭圆的定义可知,所以,所以,.在△ABF1中,.所以在△AF1F2中,,即整理可得：,所以故选：C4．B【分析】由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.【详解】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，所以，可得，即，又，所以.故选：B5．A【分析】由角平分线的性质定理有，再根据线段之间的关系建立不等式可求解.【详解】因为是的中点，是的中点，所以，因为平分，所以，因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是．故选：A．6．C【分析】利用椭圆和双曲线的定义和性质，两者的离心率的定义结合已知条件，将进行化简变形，用函数的单调性可求得结果.【详解】设，因为点是双曲线和椭圆的交点，根据椭圆和双曲线的定义可知，所以，又因为，所以有，即，化简有，因为椭圆离心率，所以，即，，令所以有，在时单调递减所以有.故选：C7．C【分析】由已知条件可得与的值，进而得的值，然后得标准方程.【详解】由于2c=2,所以c=1,又因为，故，，所以椭圆的标准方程为：.故选：C8．B【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.9．A【分析】由椭圆的性质得推出关系后判断【详解】椭圆C的离心率为，即，若椭圆焦点在轴上，则，得，若椭圆焦点在轴上，则，得，故“”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件，故选：A10．A【分析】利用余弦定理列式，结合椭圆的定义以及基本不等式求得的最大值.【详解】设，，在三角形中，由余弦定理得：.由于，所以的最大值为.故选：A11．B【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，，则，进而由椭圆的离心率公式，解得的值.【详解】由题意，得，，则，所以椭圆的离心率，解得m=8.故选：B.12．B【分析】根据已知条件可得出关于的等式，即可求得实数的值.【详解】由题意可得，，，所以，，解得.故选：B.13．D【分析】设内层椭圆方程为，由题可知外层椭圆可设成，再根据直线与椭圆的位置关系可求出，即可利用求出离心率．【详解】设内层椭圆方程为,因为内外椭圆离心率相同，外层椭圆可设成，设切线AC的方程为,与联立得：，由,则,同理可得,,则,因此．故选：D.14．D【分析】对于选项A，由椭圆定义可求得的周长，即可判断；对于选项B，设，分别表示出，，直接求解；对于选项C，直接求出离心率；对于选项D，用几何法求出最大值．【详解】对于选项A，由椭圆定义，可得，因此的周长为，故A错误．对于选项B，设，则，且．又，，所以，，因此，解得，故B错误．对于选项C，因为，，所以=，即，所以离心率，故C错误．对于选项D，设，则点P到圆的圆心的距离为．因为，所以，故D正确．故选：D．【点睛】（1）坐标法是解析几何的基本方法.（2）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．15．A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：，设，则，则，故，又，则，所以，即，所以椭圆的离心率.故选：A.16．B【分析】由向量的关系可得，由椭圆的定义及，可得，的值，在直角三角形中，由勾股定理可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】解：设的中点为，由，即，所以，连接可得，所以，可得，又因为，所以，，在中，，即，可得：，解得，故选：．17．A【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可得椭圆方程【详解】解：由题意可得，解得，，所以，所以椭圆的方程为，故选：A18．B【分析】根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．【详解】由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.在中，由余弦定理，得，即，则，故.故选：B.19．D【分析】利用勾股定理得出，利用椭圆的定义求得、，利用勾股定理可得出关于、的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.【详解】如下图所示，设，则，，所以，，所以，，由椭圆定义可得，，，所以，，所以，为等腰直角三角形，可得，，所以，该椭圆的离心率为.故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.20．B【分析】根据椭圆的离心率为，得，从而得到直线方程，再根据直线与圆的位置关系代数解法即可求出．【详解】由题意知，，则，∵直线，即，代入得，，由解得．故选：B．21．C【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．22．A【分析】设椭圆方程为，解方程组即得解.【详解】解：设椭圆方程为，由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，即，解得，因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.故选：A.23．C【分析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.【详解】由题知直线AB的方程为，即，∴到直线AB的距离，又三角形的内切圆的面积为，则半径为1，由等面积可得，.故选：C.24．D【分析】由题意，就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，从而有，结合即可求椭圆离心率的取值范围．【详解】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，则，，因为就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，所以，即，又，所以，两边同时除以，得，即，解得或，又，所以，所以椭圆离心率的取值范围为，故选：D．25．B【解析】由等差数列及椭圆的性质可得，再由离心率公式即可得解.【详解】设，因为成等差数列，所以即，所以椭圆C的离心率.故选：B.26．D【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a、c，算出离心率.【详解】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，即椭圆的c=2，因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；即通径为，又因为c=2解得a=4所以离心率故选D.【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.27．A【分析】作点关于原点的对称点，连接、、、，推导出、、三点共线，利用椭圆的定义可求得、、、，推导出，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率.【详解】作点关于原点的对称点，连接、、、，则为、的中点，故四边形为平行四边形，故且，则，所以，，故、、三点共线，由椭圆定义，，有，所以，则，再由椭圆定义，有，因为，所以，在中，即，所以，离心率．故选：A.28．B【分析】利用离心率与、的关系即可获解【详解】，得，得，即．故选：B29．A【分析】根据向量运算和椭圆的定义可得关于的方程，由椭圆的离心率的定义可得选项.【详解】设，因为，所以，所以，因为，所以，所以，设中点为H，则，，，代入数据并整理得：，等式两边同除以得：，解得：或(舍).故选：A.【点睛】方法点睛：求椭圆离心率或其范围的方法（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．（2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等．30．C【解析】根据椭圆定义及求出，由即可求解.【详解】由椭圆的定义知：，因为，即，又因为，所以，所以有：，，故椭圆的离心率的取值范围是．故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，属于中档题.31．B【分析】由题意，构建齐次式，即可得到结果.【详解】由题意知，又，所以.解得离心率，故选:B．32．C【解析】直接利用椭圆的方程和椭圆的离心率的应用求出结果.【详解】解：直角坐标系中，椭圆，所以，当时，，故，整理得，故选：C.【点睛】本题考查的知识要点：椭圆的标准方程的应用，椭圆的离心率的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.33．C【分析】根据条件先计算出的值，再根据离心率求解出的值，最后根据长轴长为计算出长轴长.【详解】由题意知，所以，又因为，所以，所以椭圆的长轴长为.故选：C.34．C【分析】由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.【详解】由题设，则线段的中点为，由三角形重心的性质知，即，解得：即代入直线，得①.又B为线段的中点，则，又为椭圆上两点，，以上两式相减得，所以，化简得②由①②及，解得：，即离心率.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．35．C【分析】根据曲率半径的定义可判断何时曲率半径最大，合适曲率半径最小，再由题设可得基本量的关系，从而可求离心率.【详解】因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，故椭圆在处曲率半径最小，则，而椭圆在处曲率半径最大，则，因为，所以，所以，．故选：C.36．C【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【详解】由椭圆，得，，则，双曲线与椭圆的焦点坐标为，，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为．设双曲线的实半轴长为m，则，得，则虚半轴长，双曲线的方程是．故选C．【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．37．D【分析】根据等腰，可得，然后可得，假设，依据椭圆定义可得，根据可得，最后可得离心率.【详解】设另一个焦点为，如图所示，∵，，，则，设，则，，∴，，，∴，故选:D.38．B【分析】在中，得出直角边与斜边的关系，再结合椭圆的定义易得离心率．【详解】由题设知是直角三角形，，，，，．又由椭圆的定义，得，，故．故选：B．39．D【分析】分别求出两个椭圆的长轴、短轴和焦距，进行比较可得答案【详解】由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝，对于椭圆，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠，故选项D正确，其他选项错误.故选：D.40．C【分析】根据椭圆方程求，，，再求离心率.【详解】由椭圆方程可知，，所以，椭圆的离心率.故选：C41．AD【分析】设，则，从而可得，再结合已知条件可得，进而可求出椭圆的离心率，可对A，B选项判断；由已知条件可得四边形为平行四边形，则有，结合已知条件可得，从而可知的值不受点，的位置影响，设，由题意得，则结合基本不等式可得，从而得当点为短轴的端点时最大，进而可求出的最小值【详解】解：设，则，因为，所以，因为，所以，所以，所以离心率，所以A正确，B错误；因为点，是椭圆上关于原点对称的两点，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，不受，位置影响，所以C错误；设，由题意得，则有，所以，当且仅当时取等号，即当时，即当点为短轴的端点时最大，此时最小，，，所以，所以D正确，故选：AD.【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的性质的应用，考查计算能力和转化思想，解题的关键是由可得，从而可求出椭圆的离心率，设，则有，再结合基本不等式可得，从而可知当点为短轴的端点时最大，进而可得答案，属于中档题42．AD【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项.【详解】将椭圆方程化为标准方程为所以该椭圆的焦点在轴上，故C错误；焦点坐标为，故D正确；长轴长是故B错误因为所以离心率故A正确.故选：AD.43．AC【分析】设出点，，的坐标，将点，分别代入椭圆方程，两式作差，构造直线和的斜率之积，得到，即可求椭圆的离心率，利用，求出，可知点在轴上，且为的中点,则.【详解】设，，，则，，，两式相减并化简得，即，则,则正确；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，则点在轴上，且为的中点即，则正确.故选：.44．ACD【解析】利用椭圆定义替换为后易得最小值，判断A；假设短轴长为2，得椭圆方程，确定点在椭圆外，判断B；由在椭圆内得，求出的范围，从而可得离心率的范围，判断C；由得点坐标，利用代入椭圆方程求得，判断D．【详解】A.因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；B．若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；C．因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；D．若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故正确．故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程，本题还用到了两个知识点：设椭圆方程为（，（1）在椭圆内部，在椭圆上，在椭圆外部；（2）求椭圆上点到椭圆内定点和一个焦点的距离之的最小值问题，一般把椭圆上运动到一个焦点的距离利用椭圆定义转化为到另一焦点的距离，然后易得最小值．45．AB【分析】由题意可得，从而可求出的值，进而可求出的值和离心率【详解】由已知可得，解得或（舍去），∴长轴长为，短轴长为，离心率为，故选：AB.46．BC【解析】结合椭圆的对称性，只需要考虑三种情况，即以、，作为三角形的三个顶点；以、、作为三角形的三个顶点或以、、作为三角形的三个顶点，分别根据图形列出关于以、、的齐次式，化简求离心率.【详解】①如图，若以、，作为三角形的三个顶点，则，由勾股定理可得，，由，可得，即，因为，解得；②如图，若以、、作为三角形的三个顶点，则，故，则；③如图，若以、、作为三角形的三个顶点，则，，则；故选：BC．47．【分析】由题意分析为直角三角形，得到关于a、c的齐次式，即可求出离心率.【详解】设，则.由椭圆的定义可知：，所以.所以因为轴，所以为直角三角形，由勾股定理得：，即，即，所以离心率.故答案为：48．③④【分析】举反例，得到①错误，取点得到②错误，③，计算得到③正确，根据双曲线定义知，得到轨迹方程得到④正确，得到答案.【详解】①举反例，，有最大值为，最小值为，函数没有极值，①错误；②取点满足，不满足，不具有充分性，②错误；③根据题意，故，设，则，③正确；④根据题意：当两圆外切时，，当两圆内切时，，即，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线，，，故双曲线方程为：，④正确.故答案为：③④.【点睛】本题考查了极值，充分必要条件，椭圆双曲线离心率，轨迹方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.49．【分析】设抛物线的方程为得到，把代入椭圆的方程化简即得解.【详解】设抛物线的方程为.由题得，代入椭圆的方程得，所以，所以，所以因为，所以.故答案为：【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（根据已知求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（直接由已知得到关于离心率的方程解方程即得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.50．【分析】首先根据题意得到，从而得到，再求离心率即可.【详解】，设一条渐近线方程为，所以.又因为，，所以，即，故离心率．故答案为：51．【解析】由三角形相似可得，从而可知，再结合即可求出离心率.【详解】，又与相似，则，解得，又得.故答案为:.52．13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.53．．【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为矩形，．，，．，，，，∴椭圆的离心率．54．（1）；（2）：，：.【分析】（1）根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中.不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；又因为抛物线的方程为，所以当时，有，所以的纵坐标分别为，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的离心率为.（2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为.由已知得，即.所以的标准方程为，的标准方程为.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.55．（1）；（2）.【分析】（1）因为，可得，，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）方法一：过点作轴垂线，垂足为，设与轴交点为，可得，可求得点坐标，从而求出直线的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积.【详解】（1），，根据离心率，解得或(舍)，的方程为：，即．（2）［方法一］：通性通法不妨设,在x轴上方，过点作轴垂线，垂足为，设直线与轴交点为根据题意画出图形，如图，，，又，，，根据三角形全等条件“”，可得：，，，，设点为，可得点纵坐标为，将其代入，可得：，解得：或，点为或，①当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图,，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为，根据两点间距离公式可得：，面积为：；②当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图,，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为，根据两点间距离公式可得：，面积为：，综上所述，面积为：.［方法二］【最优解】：由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作轴，垂足为E．设，由题知，．故，①因为，如图，所以，．②因为，如图，所以．综上有［方法三］：由已知可得，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，由对称性可设，联立方程消去y得，由韦达定理得，所以，将其代入直线的方程得，所以，则．因为，则直线的方程为，则．因为，所，，即，故或，即或．当时，点P，Q的坐标分别为，直线的方程为，点A到直线的距离为，故的面积为．当时，点P，Q的坐标分别为，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为．综上所述，的面积为．［方法四］：由（1）知椭圆的方程为，．不妨设在x轴上方，如图．设直线．因为，所以．由点P在椭圆上得，所以．由点P在直线上得，所以．所以，化简得．所以，即．所以，点Q到直线的距离．又．故．即的面积为．［