专题03 解三角形（解密讲义）（解析版）-高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（江苏专用） - 副本

专题01解三角形01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析·解密高考03高频考点·以考定法考点一正余弦定理的简单应用命题点1三角形中的中线、角平分线问题命题点2三角形中的边与角考点二组合图形中基本量的计算命题点一组合图形中线段的计算命题点二组合图形中角的计算考点二组合图形中面积、周长问题的计算命题点一组合图形中周长问题的计算命题点二组合图形中面积问题的计算04创新好题·分层训练（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）02考情分析·解密高考解三角形作为高考必考题，高考题型一般作为1小1大或者是2小1大模式。主要考查正余弦定理的运用，其中组合图形中线段、角、面积以及周长问题是高考高频考点，考纲对解三角形的要求如下：（1）掌握正弦定理和余弦定理，会根据已知条件求三角形的边、角、面积；（2）能综合运用三角知识解决实际问题。真题多维细目表考点考向考题解三角形①正余弦定理的简单应用②组合图形中基本量的计算③组合图形中面积、周长问题的计算2023年新课标全国Ⅰ卷·T17，2023年新课标全国Ⅱ卷·T17，2023年全国甲卷理科·T16，2023年全国乙卷理科·T18，2022新高考全国I卷·T18，2022新高考全国II卷·T18，2022年高考全国乙卷数学(理)·T17，2021年新高考全国Ⅱ卷·T18，2021年高考全国甲卷理科·T8，2021年高考全国乙卷理科·T9，2021年高考全国乙卷理科·T15，2021年新高考Ⅰ卷·T19，2020年高考课标Ⅰ卷理科·T16，2020年高考课标Ⅲ卷理科·T7,2019·全国Ⅱ·理·T15，2019·全国Ⅰ·理·T17考点一正余弦定理的简单应用命题点1三角形中的中线、角平分线问题典例01(2023年全国甲卷理科·第16题)在中，，的角平分线交BC于D，则_________．【答案】【解析】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故答案为：2．【点睛】三角形角平分线的常规处理方法：（1）；（2）正余弦定理结合起来解决典例02(2023年新课标全国Ⅱ卷·第17题)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)略(2)方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以．典例03(2021年高考浙江卷·第14题)在中，，M是中点，，则___________，___________．【答案】(1)．(2)．【解析】由题意作出图形，如图，在中，由余弦定理得，即，解得(负值舍去)，所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得．故答案为：；．1）利用正弦定理求三角形的内角和时丢解；2）由于角的范围被忽略或未发现隐含条件致误；3）边角互化公式选用不当致误；4）三角式化简过程公式选择不当致误；命题点2三角形中的边与角典例01(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．【答案】(1)(2)6【解析】(1)，，即，又，，，，即，所以，．（2）略典例02(2023年北京卷·第7题)在中，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以．故选：B．典例03(2021年高考全国乙卷理科·第15题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．【答案】【解析】由题意，，所以，所以，解得(负值舍去)．故答案为：典例04(2023年新课标全国Ⅱ卷·第17题)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)方法1：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以．方法2：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以．(2)方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以．预计2024年高考仍会从三角形中线、角平分线方向进行命制.1．（2022·广东深圳·一模）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．(1)求的正弦值；(2)求的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：解法1、由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，与互补，则，解得，在中，由余弦定理，得，因为，所以．解法2、由题意可得，，由AM为边BC上的中线，则，两边同时平方得，，故，因为M为BC边中点，则的面积为面积的，所以，即，化简得，．(2)解：方法1、在中，由余弦定理，得，所以，由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P为重心，可得，，在中，由余弦定理，得，又由，所以．解法2：因为BN为边AC上的中线，所以，，，即．所以．2．（2022·江苏常州·华罗庚中学校考模拟预测）已知中内角的对边分别是，.（1）求的值；（2）设是的角平分线，求的长.【答案】（1）；（2）【解析】（1），由，可得，，可得B为锐角，则，所以sin=，由=可得，解得；（2）由（1）可得，因为是的平分线，所以,设，由，可得，化为，解得，则．考点二组合图形中基本量的计算命题点一组合图形中线段的计算典例01（2018•新课标Ⅰ，理17）在平面四边形中，，，，．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）；（2）5【解析】（1）略（2），，，．典例02（2015•新课标Ⅱ，理17）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．（1）求；（2）若，，求和的长．【答案】（1）；（2）1【解析】（1）如图，过作于，，平分在中，，在中，，；．分（2）由（1）知，．过作于，作于，平分，，，，令，则，，，由余弦定理可得：，，，的长为，的长为1．命题点二组合图形中角的计算典例01（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)（省略）【解析】（1）因为，即，而，所以；（2）（省略）典例02(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第16题)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得．故答案为：．典例03(2020江苏高考·第16题)在中，角的对边分别为，已知．(1)求的值；(2)在边上取一点，使得，求的值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由余弦定理得，所以．由正弦定理得．(2)由于，，所以．由于，所以，所以所以．由于，所以．所以．组合图形中边、角的计算实质就是转化为三角形中边、角的计算.解决此类题的关键是：（1）根据题意或几何图形理清三角形中的边、角关系.（2）涉及四边形等非三角形图形时，可以作辅助线，将图形分割成三角形后求解预计2024年高考大概率组合图形中边、角的计算1．（2023·江苏·校联考模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．在中，内角，，所对应的边分别为，，，且满足________．(1)求；(2)若，，为边上的一点，且，求．【答案】(1)；(2)【解析】（1）选择①：在中，由正弦定理，得．因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以．选择②：因为，所以，所以，所以，即，解得或（舍去），因为，所以．（2）在中，由余弦定理，得，解得，，在中，由正弦定理得：，得，因为，所以，所．2．（2022秋·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）如图，在四边形中，已知.（1）若，求的值；（2）若，四边形的面积为4，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，∵，则∴．在中，由正弦定理得，，∴．∵，∴，∴．（2）在、中，由余弦定理得，，，从而①，由得，②，得，，∴．考点三组合图形中面积、周长问题的计算命题点一组合图形中周长问题的计算典例01(2022年高考全国乙卷数学(理)·第17题)记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】(1)证明：因为，所以，所以，即，所以；(2)因为，由(1)得由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为．典例02(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第17题)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求周长的最大值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由正弦定理可得：，，，(2)由余弦定理得：，即．(当且仅当时取等号)，，解得：(当且仅当时取等号)，周长，周长的最大值为．命题点二组合图形中面积问题的计算典例01(2023年全国乙卷理科·第18题)在中，已知，，．(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积．【答案】(1)；（2）．【解析】(1)由余弦定理可得：，则，，．(2)由三角形面积公式可得，则．预计2024年高考大概率组合图形周长、面积的计算1.（2023·河北邯郸·统考二模）已知条件：①；②；③.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在中，角，，所对的边分别为，，，满足：___________.(1)求角的大小；(2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分【答案】(1)条件选择见解析，；(2).【解析】（1）选择条件①，，在中，由余弦定理得，整理得，则，又，所以.选择条件②，，于是，在中，由正弦定理得，，因为，则，即，因为，因此，即，又，所以.选择条件③，，在中，因为，即，则，又，即有，则，所以.（2）由（1）知，，有，而与的平分线交于点，即有，于是，设，则，且，在中，由正弦定理得，，所以，，所以的周长为，由，得，则当，即时，的周长取得最大值，所以周长的最大值为.2.（2023·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．(1)求角C；(2)若外接圆的面积为，求面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)【解析】（1）选条件①．，由正弦定理得．因为，所以，故．因为，所以，得，又，所以．选条件②．由得．由正弦定理得，得，得．而，所以，即，而，所以．选条件③．由及正弦定理得，因为，所以，即，即，所以，而，所以．（2）设外接圆的半径为R，则，故．由正弦定理可得．所以，即，当且仅当时等号成立，所以，故面积的最大值为．（★精选9道最新名校模拟考试题+8道易错提升）AA·新题速递1．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）在中，，，，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理得，因为，，，所以，故，则，因为，所以，，故，故.故选：D2．（2023秋·湖南·校考）在中，，，且的面积为，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设中角所对的边分别为，因为，所以由正弦定理可得，又解得，所以由余弦定理可得，因为，所以，故选：D3．（2023秋·江苏盐城·高三联盟五校第一次联考）中，分别是角对边，且，则的形状为（）A.直角三角形 B.钝角三角形C.直角或钝角三角形 D.锐角三角形【答案】B【解析】由得，即，因为，所以，则，，，，，又，所以，，所以角为钝角，为钝角三角形.故选：B.4．（2023·湖北宜昌·高三协作体期中统测）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺､国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位､国家3A级旅游景区，小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高为，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（）（参考数据：）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，则，所以，而，，所以，又，则.故选：C5．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学10月月考）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则是锐角三角形C.若，，，则符合条件的有两个D.对任意，都有【答案】ABD【解析】对于A选项，由，根据正弦定理得，（为外接圆半径），即，则，故A正确；对于B，，所以，所以，所以三个数有个或个为负数，又因最多一个钝角，所以，即都是锐角，所以一定为锐角三角形，故B正确；对于C，由正弦定理得，则，又，则，知满足条件的三角形只有一个，故C错误；对于D，因为，所以，又函数在上单调递减，所以，所以，故D正确；故选：ABD6.在中，角，，所对的边分别为，，.，的平分线交于点，且，则的最小值为________.【答案】【解析】因为，所以，所以，可得．所以，（当且仅当，即，时取等号）．故答案为：．7．（2023秋·江苏盐城·高三联盟五校第一次联考改编）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则角B=___________；若，D为AC的中点，求线段BD长度的取值范围为___________．【答案】【解析】因为所以，则，即，所以，又，则，所以，即，由，得，所以，所以；因为，所以，因为D为AC的中点，所以，则，因为，所以，，则，因为，所以，所以，则，所以，所以故答案为：8．（2023·江苏南通如皋·高三期中统测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）若，求角A；（2）若，，求a的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以，即，即.因为所以即.因为，所以或.由题意知，则当时，，此时，这与矛盾，故舍去.当时，因为，所以，所以.综上可得：.（2）因为，即，则.由（1）可得.因为所以在中，由正弦定理得：.因为，所以.因为，所以.9.（2023·江苏南通海安·高三期中统测）在中，角，，对边分别为，，，.（1）证明：；（2）求的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）∵，∴，，.（2），当且仅当即，时取“=”，所以的最小值为.BB·易错提升1．（2023春·陕西西安·高三学校联考）在中，角的对边分别为，且，则的值为（）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】因为，所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得.故选：A2．（2023春·江苏苏州·高三常熟中学校考）的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（）A． B． C．3 D．或3【答案】A【解析】由，因为，可得，又由边上的角平分线，所以，在中，可得，在中，可得,因为，且，所以，即，在中，由余弦定理可得，所以，又由，即，因为，可得，即，可得，所以.故选：A.3．（2023秋·湖北·高三六校新高考联盟学校11月联考）已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b＝2ccosB，则的最小值为（）A. B.3 C. D.4【答案】B【解析】由余弦定理得，，∴，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为3．故选：B．4．（2023秋·江苏苏州·高三期中摸底考试）中，，则的最小值为（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】且∴原式若A为钝角，则为钝角，∴与条件矛盾，舍故A为锐角，∴，，当且仅当时取“=”故选：A．5．（2023秋·江苏扬州·高三期中统测）（多选）在中，角所对的边分别为，则能推出的有（）.A.B.C.D.【答案】ACD【解析】对于A中，因为，由正弦定理得，因为，可得，可得，即，又因为，所以，所以A正确；对于B中，因为，由正弦定理得，即，因为，可得，所以，又因为，所以，因为，可得，所以，可得，所以B不正确；对于C中，因为，因为，可得，所以，可得，因为，可得，所以，即，又因为，所以，所以C正确；对于D中，因为由