专题23 三角函数的定义及诱导公式（3知识点3题型3考法）（原卷版）

专题23：三角函数的定义及诱导公式（3知识点+3题型+3考法）三角函数的定义及诱导公式常考题型诱导公式三角函数的定义及诱导公式常考题型诱导公式三角函数值在各象限的符号三角函数的定义题型一：利用三角函数的定义求三角函数值题型二：三角函数值的符号判定题型三：诱导公式的应用考法一：给角求值、化简求值考法二：给值(或式)求值考法三：利用诱导公式证明恒等式知识点一：三角函数的定义（1）任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①点P的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sinα＝y；②点P的横坐标叫角α的余弦函数，记作cosα＝x；③点P的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tanα＝eq\f(y,x).它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y＝sinx，x∈R；余弦函数y＝cosx，x∈R；正切函数y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）．设α是一个任意角，角α的终边任意一点P(x，y)，那么设r=，则sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．知识点二：三角函数值在各象限的符号（1）设α是一个任意角，角α的终边任意一点P(x，y)，那么设r=，则sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x).通过正弦、余弦和正切的计算公式可以确定符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).知识点三：诱导公式公式终边关系图示公式公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin（α＋k·2π）＝sinα，,cos（α＋k·2π）＝cosα，其中k∈Z.,tan（α＋k·2π）＝tanα，))公式二角π＋α与角α的终边关于原点对称sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三角－α与角α的终边关于x轴对称sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四角π－α与角α的终边关于eq\a\vs4\al(y)轴对称sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα公式五公式六记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“偶”当k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k取偶数时（－π±α，π±α，±α），三角函数名不变，符号由原三角函数角所在象限决定；②“奇”当k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k取奇数时（，±eq\f(π,2)±α），三角函数名改变，符号由原三角函数角所在象限决定；题型一：利用三角函数的定义求三角函数值解题思路：设α是一个任意角，角α的终边任意一点P(x，y)，那么设r=，则sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．例1．已知是角的终边上一点，，则（

）A． B． C． D．例2．如果角的终边过点，则（

）A． B． C． D．例3．已知角的顶点为原点，起始边为轴非负半轴，若点是角终边上一点，且，则（

）A． B． C． D．变式训练4．若角的终边经过点，则等于（

）A． B． C． D．5．已知角的终边落在直线上，则的值为（

）A． B． C． D．6．已知角的终边经过点，且，则．7．（多选题）已知角的终边经过点，则的值可能为（

）A． B． C． D．题型二：三角函数值的符号判定解题思路：设α是一个任意角，角α的终边任意一点P(x，y)，那么设r=，则sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x).通过正弦、余弦和正切的计算公式可以确定符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).主要考查两类题：第一类通过角所在象限确定三角函数的符号；第二类：通过三角函数的符号来确定角所在象限。例1．已知，，则角的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例2．“”是“为第一或第三象限角”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例3．若，则（

）A． B．C． D．变式训练4．已知，，则角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知为第二象限角，则（

）A． B．C． D．6．（多选题）若，则可能在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型三：诱导公式的应用考法一：给角求值、化简求值解题思路：利用诱导公式公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.例1．（

）A． B． C． D．例2．化简（

）A． B． C．1 D．例3．化简下列各式：(1)；(2)．变式训练：4．已知．(1)化简；(2)若为第三象限角，且，求的值．5．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．6．已知角的终边经过点，则的值等于（

）A． B． C． D．7．已知.(1)化简；(2)若，求.考法二：给值(或式)求值解题思路：（1）设α是一个任意角，角α的终边任意一点P(x，y)，那么设r=，则sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．利用诱导公式公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.例1．已知，则的值为（

）A． B．C． D．例2．已知为第二象限角，若则（

）A． B． C． D．例3．已知，且，化简并求的值.变式训练4．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角的终边与角的终边相同，则(

)A． B． C． D．5．（多选题）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（

）A． B．C． D．6．（多选题）已知，则下列式子恒成立的是（

）A． B．C． D．7．若、是关于的方程的两个根，则.8．已知是第三象限角，，则.考法三：利用诱导公式证明恒等式解题思路：利用诱导公式化简和证明恒等式例1．求证：当或3时，.例2．（1）求证：；（2）设，求证.变式训练：3．求证：．4．若，求证：.一、单选题1．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则（

）A．1 B． C． D．22．在中，给出下列四个式子：①；②；③；④.其中为常数的是（

）A．①③ B．②③C．①④ D．②④3．已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．4．已知角的终边过点，则的值是（

）A． B． C． D．5．已知，则函数的值可能是（

）A．1 B． C．4 D．6．若角满足，，则是（

）A．第二象限角 B．第三象限角C．第一或者第三象限角 D．第二或者第四象限角7．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（

）A． B． C． D．二、多选题8．若，则角的终边