2023年青海省玉树州高考数学第三次联考试卷（文科）及答案解析

2023年青海省玉树州高考数学第三次联考试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合A={x|%242x},集合8={xeZ|0<x<3},则24nB=（）

A.{1}B.{1,2}C.{%|0<x<2）D.[x|0<x<3}

2.已知复数z满足（2+i）z+3i=4（i是虚数单位），则|z|=（）

A.AT3B.V_5C.3D.5

3.记等差数列{册}的前71项和为又，若S"=44,则。4+&6+&8=（）

A.12B.13C.14D.15

4.已知样本数据Xi，x2>X2022的平均数和方差分别为3和56,若%=2阳+3。=

1,2，…,2022）,则%,y2....及022的平均数和方差分别是（）

A.12,115B.12,224C.9,115D.9,224

5.执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）

A.112B.168C.240D.330

6.已知m、n是两条不同的直线，a、/?是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若mla,al/?,则m〃£

B.若沉〃a,a〃6,则

C.若mua,nua,m///?,n//p,贝ija〃/?

D,若m_La,m1j5,n1a,则n_L?

7.己知函数/（x）=ax2+bZnx的图象在点（l,f（l））处的切线方程为y=3x-1.则a-b的值

为（）

A.1B.2C.3D.4

c-rj人…小c।「15COS2J+SE26+1、

8.已知角。的终边落在直线y=-3%上，则一sin2(e+［)—=()

93C89

A.-4--4-3-2-

9.已知七，七为双曲线C：［一<=1的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则第7的

4Z\'^2\

最小值为()

A.16B.18C.8+4y/~2D.9+^^

10.己知函数/'(x)=2sin(<ox—3)(3>0),/&)-/(次)=4,且出一不1加=今则()

A./(%)的图象关于％=一称对称

B.f(x)的单调递增区间为［弋+2时(+2阿(kGZ)

C.当％c［-］勺时,/(%)的值域为［一黑］

J。ZZ

D./(%)的图象可由函数y=2sin(3x+9的图象向右平移着个单位长度获得

11.在等比数列｛即｝中0<的<Cig=1.则能使不等式(即一J+(。2-J--1-(an-

JW0成立的正整数n的最大值为（）

A.13B.14C.15D.16

12.设。=2,6=111日,©=5E2,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知向量五=(一4,一3),石=(一2,加一1)，若0+2了)_1花则m=—.

14.如图，在正方体48。。一&81。:1。1中，E是BC的中点，则异面直线

BQ和DiE所成角的大小为

15.若/(x)是定义在R上的奇函数，且/'(x+1)是偶函数，当0Wx<1时，/(x)=log3(x+1),

则樗)=_.

16.已知抛物线C：y2=2Px(p>0)的准线方程为x=-2,焦点为产，准线与x轴的交点为4

B为C上一点，且满足|4B|则|BF|=.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举

行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外,

卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家

举办的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分

钟），将所得到的数据分成7组：［0,40）,［40,80）,［80,120）,［120,160）,［160,200）,［200,240）,

［240,280］（观看时长均在［0,280］内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图.

（1）求a的值，并估计样本数据的中位数；

（2）采用分层抽样的方法在观看时长在［200,240）和［240,280］的学生中抽取6人.现从这6人中

随机抽取3人分享观看感想，求抽取的3人中恰有2人的观看时长在［200,240）的概率.

18.（本小题12.0分）

^（l）acos-=bsinA；@acosB=bsinA；③tan（B+》=2+V?这三个条件中任选一个，

补充在下面问题中，并给出解答.

问题：在A4BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,Ab=且,求△ABC的

面积.

注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

19.（本小题12.0分）

如图，四棱锥P—ABCD的底面为菱形，/-ABC=2AB=AP=2,PA_L底面4BCD,E是线

段PB的中点，G,“分别是线段PC上靠近P,C的三等分点.

(1)求证：平面AEG〃平面8DH；

(2)求点A到平面BDH的距离.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆C：1+4=l(a>b>0)的左、右焦点分别为居，F2,过F2的直线/交C于4B两

ab

点(不同于左、右顶点)，AABFi的周长为4/7,且存,_争在C上.

(1)求C的方程；

(2)若MF/.IBFJ=y,求直线，的方程.

21.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=2x3—(a+3)x2+2ax,ae.R.

(1)当a=0时,求/(x)的极值；

(2)当|a|>1时,求/(%)在［0,|a|］上的最小值.

22.(本小题10.0分)

£=-1+3

在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为1,2(t是参数)，以。为极点，x轴的正半

卜=1+万

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=-4COS0.

(1)求直线I的普通方程和C的直角坐标方程；

(2)若点P的直角坐标为(一1,1),且直线/与C交于4、B两点，求|P*2+仍引2的值.

23.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=|x+1|+\x-2］.

(1)求不等式门x)<5的解集；

(2)若关于x的不等式/(x)<|x+a|-2x+1的解集包含［一1,1］,求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：ix2<2xf#0<x<2,所以A=[0,2],

又8={1,2},所以4nB={1,2}.

故选：B.

先化简，再运算即可求解.

本题考查集合的基本运算，属基础题.

2.【答案】B

【解析】解:由(2+i)z+3t=4,

得z=爱，

2+i

所以Z=崇=(呆肾广)=坐绊冲=1_2Z,

2+1(2+i)x(2-04-2i+2i-C5

所以|z|=7l2+(-2)2=7-5.

故选：B.

利用复数的除法法则及复数的模长公式即可求解.

本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：根据题意，数列{斯}为等差数列，

则Su="a产)=lla6=44,变形可得。6=4,

又由。4+。8=。6，则&4+=3a6=12.

故选：A.

根据题意，由等差数列的前n项和公式可得另1=小殁皿=11。6=44,变形可得。6=4,又由

a4+a6+a8=3a6,计算可得答案.

本题考查等差数列前兀项和的性质，涉及等差数列的性质，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：因为样本数据*1，&，・・・，X2022的平均数和方差分别为3和56,且%=24+3。=

1,2..2022),

所以数据先，y2...丫2。22的平均数为2'3+3=9,方差为22x56=224.

故选：D.

根据样本数据的平均数和方差的性质，计算即可.

本题考查了样本数据的平均数和方差的性质与应用问题，是基础题.

5.【答案】B

【解析】解：按照程序框图执行程序，输入i=l,5=0,

则S=0+1x2=2,满足i<7,进入循环；

则i=2,S=2+2x3=8,满足i<7,进入循环；

则i=3,5=8+3x4=20,满足i<7,进入循环；

则i=4,S=20+4x5=40,满足i<7,进入循环；

则i=5,S=40+5x6=70,满足i<7,进入循环；

则i=6,S=70+6x7=112,满足i<7,进入循环；

贝iji=7,S=112+7x8=168,不满足i<7,终止循环，输出S=168.

故选：B.

按照程序框图执行程序，直到不满足i<7时，输出结果即可.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属

于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：对4选项，若m1a,a1P，则m〃0或mu0,故A错误，

对B选项，若m〃a,a//p,则?n〃口或mu/?,故8错误；

对C选项，若mua,naa,m///?,n///3,则a与0相交或a〃夕，故C错误；

对。选项，由于m_La,nA.a,所以m〃n,又m1.0,所以n_L/?,故。正确.

故选：D.

对4,B选项可能存在mu?的情况，对C选项可能存在a与3相交的情况，对。选项根据垂直于同

一平面的两直线平行得m〃兀结合mJ./?,则可判断其正确.

本题主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解:函数/1(x)=a，+blnx,则尸(x)=2ax+g,

函数fQ)的图象在点处的切线方程为y=3x-l,

所以隐1?1吃I?’解得｛广之1，则a—b=3.

故选：C.

对函数求导，再求出x=1处的切线方程，即可求得a,b.

本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：因为角。的终边落在直线y=—3x上，

所以tan。=—3,

5cos29+sin2d+l_6cos26+2sin6cos0+sin29_6cos26+2sin8cos9+sin26_12cos20+4sin9cos6+2sin28_

'sin2(0+^)(与sine+¥cos6)2^sin20+^cos20+sin0cosdsin26+cos20+2sin0cos9

12+46ane+2tan2e_12-12+18_9

tan28+l+2tan99+1—62

故选：D.

根据角。的终边落在直线y=-3x上，可得tcm。=-3,再根据平方关系商数关系及两角和的正弦

公式化弦为切即可求解.

本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题.

9.【答案】A

【解析】解：已知&,F2为双曲线C；挤―[=1的左、右焦点，点P是C的右支上的一点,

由双曲线的定义可得：\PFt\-\PF2\=4,

即|PR|=4+|PF2|,

又由双曲线的性质可得|P&I6-2,+00),

则噌=喘平=叫+湍+822/即|x湍+8=16,

1〃卜211〃卜211〃卜2171^21

当且仅当仍6|=焉，

即IPF2I=4时取等号，

2

即用的最小值为16.

附2|

故选：A.

由双曲线的定义及性质，结合均值不等式的应用求解即可.

本题考查了双曲线的定义及性质，重点考查了均值不等式的应用，属基础题.

10.【答案】D

【解析】解：函数/Q)=2SW3X-5(3>0),最大值为2,最小值为一2,

•••/(%1)-/(x2)=4,f(Xi)为函数/(x)的最大值，/(上)为函数/(x)的最小值，

又•••氏-亚版=],.•《=热

:.T=71,

27r

co=y=2,

・•・/(x)=2sin(2x—,

对于4当x=T时,/(一勺=2sin(-v-z)=-2sin^=一1,所以x=不是f(x)的对称轴,

；3JOO3

故A错误；

对于B,令-3+2/CTTS兀(k6Z),得一3+k兀SxS,+/OT(/CeZ),

所以/(X)的单调递增区间为[一名+而(+时(keZ),故8错误；

对于C,当x6[一黑]时，一期W2X-34，

sin(2x-2)e

.-./"(x)6[-2,1],即/(x)的值域为[—2,1],故C错误；

对于D,函数y=2s讥(2x+»的图象向右平移看个单位长度，得到的函数为y=2sm[2(x-^)+

2=2sin(2x—5),故。正确.

故选：D.

由题意可得3所以3=2,所以/(%)=2sin(2x-》利用正弦函数的图象和性质可判断ABC,

利用三角函数的图象变换规律可判断D.

本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了三角函数的图象变换，属于中档题.

11.【答案】c

【解析】解：因为0<%<&8=1,所以公比q，=詈>1，则q>11n>8时，an-'>0,n<8

U1an

时，an<0,

Q九

_111

又底==…=。7a9，所以=­»a2=—»…，a7~

则Q.)+&/)+•••+&5―2)=0，

又当九>8时，d--->0,

nan

所以能使不等式(由-5)+5-J+…+(an-£)<。成立的最大正整数n是15.

故选：C.

首先可得q>1,即可得到？i>8时，a九一;>0,nV8时，an-^-<0,再根据下标和性质得到

anan

=J-，。2=；，•••，a7—即可得至一;)+(。2------(a15~~)~0，从而得

a15a14a9ala2a15

解.

本题主要考查等比数列的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】D

【解析】解：设/(x)=Inx-甯2/>0,

•••f(x)=---=-^^220,

X(X+1)%(%+1)

・・・/(%)在(0,+8)上单调递增,

2(1—1)

又f(1)=Ini-=o..••/■(y)>/(l)=0,

1+1

•/谭-3

>0,即1吟>",

T+1

・•・a<b・

设g(%)=x—s讥%>o,

•'g'(x)=1—cosx>0,

・•・g(%)在(0,+8)上单调递增,

所，g(%)>g(°)=0—sinO=0,

*,­4?(1)=1-sin7>o，即［>sing

・•・c<a9

综合可得c<a<b.

故选：D.

根据已知条件构造函数f(x)=-半苧,%>0,g{x}=x-sinx,%>0,再利用导数法研究

函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.

本题考查利用函数单调性比较大小，构造函数利用导数研究函数的单调性与最值，化归转化思想，

属中档题.

13.【答案】今

【解析】解:因为五=(―4,—3)涉=(―2,m—1)，

所以行+23=(-4,-3)+(-4,2m-2)=(-8,2m-5)，

因为位+21)JL五,

所以(3+2至)・五=32—6租+15=0,解得m=

故答案为：

6

根据向量坐标运算及垂直关系的向量表示求解即可.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

14.【答案吟

【解析】解：以点。为原点，棱D4DC,DD］所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系，设正方体的棱长为2,则：

£)1(0,0,2),E(l,2,0),B(2,2,0),”0,2,2),

:.西二(-2,0,2),庠=(1,2,-2)，

前丁庠=-2-4=-6，|辐|=2，1,|布|=3,

COS(西取"箫需=高=

设异面直线BCi和0】E所成角为。，则cos0=¥，且。€(0,孔

L乙

9=l-

故答案为：京

以点。为原点，棱ZM,DC,CD1所在的直线分别为久，y,z轴，建立空间直角坐标系，并设正方

体的棱长为2,然后可得出向量殖和庠的坐标，从而可求出cos＜监，布〉的值，进而可得出

异面直线Bq和AE所成角的大小.

本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线所成角的方法，向量夹角的余弦公式，

向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题.

15.【答案】l-log32

【解析】解：由/(x)是定义在R上的奇函数，/Q+1)为偶函数，

可得/(-无)=-/(X),f(-x+1)=/(x+1),即/(r)=f(x+2),

所以/(x+2)=-/(x),可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

则/(x)的最小正周期为4,

当04x41时，/(%)=log3(x4-1),

则/（等）=f（|）=/（1）=，。。31=l-log32.

故答案为：1—log32.

由奇、偶函数和周期函数的定义，可得/（X）的最小正周期，结合对数的运算性质可得答案.

本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于基础题.

16.【答案】4

【解析】解：由抛物线C：、2=22％9>0）的准线方程为久=一2,可得与=2,解得p=4,

所以抛物线的方程为C：好二.，焦点坐标为尸（2,0）,

由抛物线的定义，可得|8M|=|BF|=m+，=m+2,

因为|48|=/至出?|，即所以AABM为等腰直角三角形，

所以18Ml=|4M|,即m+2=V8zn,可得m?一4rn+4=0,解得m=2,

所以|BF|=2+2=4.

故答案为：4.

根据抛物线的几何性质，求得p=4,过点B作设B（m,/丽），由抛物线的定义得|BM|=

\BF\=m+2,根据|力B|=得到|BM|=|4M|,列出方程求得m=2,进而求得|BF|的

长.

本题考查了抛物线的定义和性质，属于基础题.

17.【答案】解：（1）由频率分布直方图性质得：

（0.0005+0.0020+a+0.0060+0.0065+a+0.0020）x40=1,

解得a=0.0040.

[0,160）的频率为（0.0005+0.0020+0.0040+0.0060）x40=0.5,

二估计样本数据的中位数为160.

（2）采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，

则[200,240）中抽取6x菽黑斯=4人，分别记为a,b,c,d,

[240,280]中抽取6Xooo黑b2。=2人，分别记为儿B,

现从这6人中随机抽取3人分享观看感想，包含的基本事件有20个，分别为：

{a,b,c}f{a,b,d}t{atb,A]f（a,c,d}9{a,c,A},{a,c,B}9{a,d,A}9（a,d,B}f{b,c,d},

{b,C,A}9[b,ctB}f{b,d,A}f{b,d,B}9{c,dfA}9{c,d,B}9[a,A,B}f{b,A,B}f{c,A,B}f

抽取的3人中恰有2人的观看时长为[200,240）包含的基本事件有12个，分别为：

（a,b,A],{a,b,B},{a,c,A],{a,c,B],{a,d,A},

{bfc,A}f{b,C,B}9{b,d,A}f[b,d,{c,d,4},{c,d,B]t

•••抽取的3人中恰有2人的观看时长在[200,240）的概率为P=第=|.

【解析】（1）由频率分布直方图的性质列方程，能求出a的值，利用直方图能估计样本数据的中位

数；

（2）采用分层抽样的方法能求出观看时长在[200,240）和[240,280）内应抽取人数，然后利用古典概

型的概率计算公式求解即可.

本题考查频率、中位数，概率、列举法、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

18.【答案】解：若选①：因acos^=bsinA,由正弦定理可得sinZcos?=sinAs讥B,

因为4、B6（0,7T）,则0＜：＜。所以sin4＞0,cos：＞0,

则cos弓=2s讥号cos?,可得sin与=：,所以与=，，解得B=亨,

LZLLLZO。

因为4=/，b=，至，所以，△4BC是边长为，至的等边三角形，

所以，S^ABC=\bcsinA=gx2x?=?；

若选②：因为QCOSB=bsinA,由正弦定理，可得sirMcosB=sinBsinA,

又因为4£（0,〃），可得sirM>0,所以cosB=即tanB=1,

由8E（0,兀），可B=*

又由4=或b=根据正弦定理得Q=今翳=0争-=V~3

mH.七.5n.,Jr,7i\.71n,n.nx/-64-V-2

则sinC=sin—=sin（7+7）=sin-cos7+cos-sin7=——-——，

12'46，46464

所以44BC的面积为S-BC=IbasinC=；x「xx乌匚=空；

2244

若选③：因为tmB=tan［（B+》-币=瞿篙蒜=告捐=?，

因为86（0,兀），故8屋，又因为所以C=*

所以，AABC为直角三角形，则c=2b=2，*^,则a=1c?_b?=T8-2=

所以SAABC=gba=gy/-6xy/-2=V-3.

【解析】若选①，利用正弦定理求出角8的值，分析可知△ABC是边长为「的等边三角形，结合

三角形的面积公式可求得该三角形的面积；

若选②，利用正弦定理可得出tanB的值，结合角B的取值范围可求得B的值，求出sinC的值，利

用三角形的面积公式可求得结果；

若选③，利用两角差的公式结合角B的取值范围可求得角B的值，分析可知AABC为直角三角形,

求出a的值，利用三角形的面积公式可求得该三角形的面积.

本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了运算能力和转化

思想，属于中档题.

19.【答案】（1）证明：连接4C,交BD于点。，连接OH,APBH中，E,G分别为PB,PH的中点，

所以EG〃BH,又因为EGC平面BDH,BHu平面BDH,

所以EG〃平面BDH,同理：4G〃平面BDH,因为4G,EGu平面AEG,4GflEG=G,

所以平面AEG〃平面BDH.

p

(2)解：记点4H至lj平面BDH,平面4BD的距离分别为勾，hH,S^ABD=1x2x2x^=<3,

因为24,平面4BCD,PA=2,CH=^CP,所以丽=1

在APBC中，COS4PCB=#5=?，

QO

在^BCH中，BH2=BC2+CH2-2BC-CH-cos乙HCB=学

同理，=殍，又因为。为BD中点，所以。H1BD.

在ABDH中，BD=2<3.SABDW=|X2/3XJ机3=空，

因为匕_BDH=VH-，所以旗=穿普=等=亨.

3

【解析】(1)根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定定理进行证明即

可；

(2)利用三棱锥的体积等积性进行求解即可.

本题主要考查面面平行的证明，点面距离的计算等知识，属于中等题.

20.【答案】解：(1)由椭圆的定义可得AABFi的周长为|力&|+|4?2|+|B&|+|8尸2|=4，至，所

以，a=V-2,

将点(孕,—?)的坐标代入椭圆C的方程可得受+仁里=1(b>0)>

2

所以，b=l,故椭圆C的方程为5+y2=1.

(2)在椭圆C中，c="。2-炉=1，则&(一1,0),F2(1,0),

设点B(%2*Vz)9则一V2<X]VV2,—yj2<不<弋~2,

由题意，设直线/的方程为％=my+1,

=my+1

联立｛:可得(m?+2)y2+2my—1=0,

2+2y2=2

4=4m2+4(m2+2)>0,

由韦达定理可得力+丫2=-^2>yiy2=一总p

Mal=JQi+l)2+y/=J*+2*1+1+1-？=|亨X]++2),

同理可得田&|=,(尤2+2)，

所以|4&|•IBF1I=1(%!+2)(%2+2)=^(myi+3)(my2+2)

22

m+6m0

=|解2yly2+3nl(为+y2)+9]=叱2_=鬲1

解得ZH—+三,

所以，直线，的方程为x=?y+1或x=-?y+1,即V'Nx—y—/N=0或，+y—=

0.

【解析】⑴利用椭圆的定义可求得a值，再将点的坐标代入椭圆(子,-^)的方程，求出C的值,

即可得出椭圆C的方程；

(2)设点4(/,yi),B(x2,y2),则—JI</<，N,-y/~2<x2<y/~2>由题意，设直线，的方程

为4=^^+1,将直线I的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，求得/&|=?(%1+2),

|B&|=号(g+2)，结合题干条件以及韦达定理求出m的值，即可得出直线1的方程.

本题考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，属中档题.

21.【答案】解：⑴当a=0时,/(%)=2X3-3X2,

f'(x)=6x2-6x=6x(x—1),

故当xe(-8,0),(L+8)时，f'(x)>0,

故当久e(0,1)时，f(x)<0,

则/(x)在(-8,0),(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减.

所以/(x)的极大值为/(0)=0,极小值为/'(1)=-1.

(2)因为/(x)=2%3—(a+3)x2+2ax,

所以/'(x)=6x2-2(a+3)x+2a=2(x—1)(3%—a),

①当a>3时，f(x)在［0,1)上单调递增，在(1成)上单调递减，在(*a)上单调递增,

、(0,3<a<9,

aa)

所以/(x)min==min{0,2~}=^(9-a)。>9，

②当a=3时,/'(x)在［0,3］上单调递增,f(.x)min=/(0)=0,

③当lWa<3时，/Q)在［0,今上单调递增，第1)上单调递减，在(l,a)上单调递增,

所以/(x)min==min{0,a-1)=0,

④当a〈—l时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(L|a|)上单调递增，所以/(为加“=f(1)=a-1，

CL—1,Q4一1,

综上=g(a)=0,1<a<9,

【解析】(1)当a=0时，f(x)=2x3-3x2,求导得广⑺,分析/(x)的单调性，进