2023年人教版高考数学总复习情境试题创新练（五）平面解析几何

情境试题创新练（五）平面解析几何

1.《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆，令我们印象深刻.如

图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为：圆Q/+（y+3）2

=9,圆£：U+4）2+/=4,圆S：（x—4产+”=4,若过原点的直线/与圆£、S均相切，则

/截圆0所得的弦长为（）

3

A.3B.2C.-D.1

【解析】选A由已知得到两圆的圆心坐标分别为£（一4,0）,5（4,0）,

设公切线方程为尸加斤。）且左存在，则谭=舟=2,解得人

,故公切

x,则0到直线，的距离/=芈，故/截圆0的弦长=2

线方程为尸

2.著名的天文学家、数学家约翰尼斯•开普勒（JohannesKepler）发现了行星运动三大定律,

其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在

椭圆的一个焦点上.设地球绕太阳运动的轨道为椭圆C,在地球绕太阳运动的过程中，若地

球与太阳的最远距离与最近距离之比为4，则。的离心率为（）

X2-11A—1A-1-1

A.A2+Ib-、4+1c-T+id-8+]

【解析】选c.原问题抽象为数学问题即：

已知椭圆上距离同一个焦点最远的点和最近点的距离之比为儿，求椭圆的离心率.

据此可得：一a+c=入1+产e=4，解得e=几---17.

a-ci-e人十1

3.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的

22

切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.该圆称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆a

T4+m-=

15>0,肾4）的离心率为叩，则椭圆。的“蒙日圆”方程为（）

A.，+/=5或系+/=7

B.1+/=7或/+/=20

C.f+*=5或/+/=20

D.*+/=7或，+/=28

ZQ2__j2Q121]A]

【解析】选C.因为椭圆的离心率为手，所以a「'=：，1，所以曰=4或一=15

乙cl~Lc2x44HlA

解得力=1或16.

X2

当两条切线分别为x=a,y=b时，切线的交点（a,6）在圆/十/二4十才上，即椭圆C：-+

a

222

方=l（a>6>0）的“蒙日圆”的方程为*+/=@2+况故椭圆Gj+?=1（">0,加W4）

的“蒙日圆”的方程为*+/=5,或/+/=20.

4.古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与

短轴长的积.已知椭圆。的中心在原点，焦点£,£在9轴上，其面积为4嫄n,过点£

的直线/与椭圆。交于点46旦的周长为16,则椭圆。的方程为（）

22

C.2+£=1

【解析】选A.因为焦点E,£在夕轴上，

所以设椭圆的方程为4+/=l（a>6>0），

ab

4s

由题意可得一JI=2a•2b,所以S=a，“，

所以4/Ji=abn,所以加?=44①，

因为的周长为16,所以4a=16,解得a=4,代入①，解得力=4,

22

所以椭圆的方程为£=1.

Io3

5.双曲线的光学性质为：如图，从双曲线上焦点£发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线

V2X2

的反向延长线经过下焦点凡某双曲线方程为与一N=bE,£为其下、上焦点，若从下焦

ab

点£发出的光线经双曲线上的点力和点8反射后（点4R,5三点共线），满足N4?C=90°,

5

tanZBAD=--,则该双曲线的离心率为（）

A.而B.芈C.y/29D.岁

乙0

【解析】选D.设|以|=〃,

sin/DAB5

由tanZ.DAB—

cosADAB12

sin2AABC+cos2ZABC=1,

5

an5

可得sinZDAB=—即sinXBAFt=~,

在直角三角形力防中，可得I/n,|AB\=—n,由双曲线的定义可得|力用=三n~2a,

oi?b

则I班|.=W12n—(1\—3n—c2a)\=2a—1-n,

b13Jo

由双曲线的定义可得I跖|一I防I=2a,

即〃一(2a—=2a解得〃=¥a,

在直角三角形加仍中，|跖|=〃，|=2a-，|FyF2\=2C,则(2a—‘'+//=(2C)\n

10即c2=y3可得e=§.

Ta,

6.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没

有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间

无处寻觅，已知"（0,2）,直线/：7=0,若某直线上存在点R使得点尸到点材的距离比

到直线，的距离大2.则称该直线为“最远距离直线”.则下列结论正确的是（）

A.产=一；x+1是“最远距离直线”

B.夕=2x—6不是“最远距离直线”

C.点尸的轨迹与直线/：y=2是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）

D.点P的轨迹曲线是一条线段

【解析】选A.因为点尸到点"的距离比到直线1的距离大2,所以点尸至U点"的距离等于到

直线尸一2的距离，因此点尸的轨迹是以"为焦点的抛物线，故D错误；

则可得点尸的轨迹方程为/=8y,

联立方程11,，可得V+2x—8=0,

[尸一二+1

则/=4—4x（—8）=36>0,有解，

故尸一；x+1是“最远距离直线”