专题 实际问题与一元二次方程的常见题型（八大题型）（原卷版）

（苏科版）九年级上册数学《第1章一元二次方程》专题实际问题与一元二次方程的常见题型题型一传播问题题型一传播问题1．（2022•平原县模拟）某年冬天流感大暴发，有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？2．有一种传染性疾病，蔓延速度极快．据统计，在人群密集的某城市里，通常情况下，每人一天能传染给若干人，现有一人患了这种疾病，开始两天共有225人患上此病，通过计算解答下面的问题：（1）求每天一人传染了几人？（2）两天后，人们有所觉察，这样平均一个人一天以少传播5人的速度在递减，求再过两天共有多少人患有此病？3．（2022秋•南海区月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数．4．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？5．某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒，经两轮传播后，就有五十个人被感染，求每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有多少人被感染？题型二单循环与双循环问题题型二单循环与双循环问题1．（2023春•大连期末）区教育局要组织辖区内学校进行足球友谊赛，赛制为单循环形式，即每两所学校之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少所学校参加比赛？2．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了两份合同，所有公司共签定了90份合同，共有多少家公司参加商品交易会？3．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，问参加酒会的有多少人？4．中秋节期间，我校数学兴趣小组同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信，据统计，发了210条祝福语，问这个数学兴趣小组有多少学生？5．（2022秋•江夏区校级月考）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．（1）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；（2）小明由握手问题想到了另一个数学问题：若某一直线上共有m个点，则由这些点中任意两点所连线段的总数为．题型三数字问题题型三数字问题1．有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字与十位数字的平方和比这两个数大18，求这个两位数．2．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．3．（2022秋•连云港期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？4．一个两位数的两个数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，他与原两位数的积为1458，求原两位数．5．（2023春•绿园区期末）如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数（如12，13，14，19，20，21，26，27，28）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为161，求这9个数中最小数.题型四平均变化率问题题型四平均变化率问题1．（2023春•湛江期末）我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人．（1）求这两个月游客人数的月平均增长率；（2）若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？2．（2023春•余姚市期末）随着科技的发展，某省正加快布局以5G等为代表的新兴产业．据统计，目前该省5G基站数量约1.5万座；计划到今年底，全省5G基站数是目前的4倍；到后年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划在今年底，全省5G基站数量是多少万座？（2）按照计划，从今年底到后年底，全省5G基站数量的年平均增长率为多少？3．（2023•东莞市校级开学）台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？4．（2023•清镇市模拟）贵州省政府近日宣布，从2023年8月1日起，将推出一系列旅游优惠政策，以激励更多游客到贵州旅游，某旅游景点为了响应政府号召，将对旅游团体购买门票实行优惠活动，决定在原定票价基础上每张降价40元，这样按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续两次降价后降为97.2元，求平均每次降价的百分率．5．（2023春•仓山区校级期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？题型五市场销售问题题型五市场销售问题1．（2023•九江一模）永佳超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？2．（2022秋•大渡口区校级期末）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件45元，每月可卖出1500件，市场前期调查反映，如调整价格，每涨1元，每月少卖出60件，每月销量不少于1200件．（1）每件售价最高为多少元？（2）实际销售时，发现商品积压较多，为尽快减少库存，经重新调查评估，发现每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每月销量比最低销量1200件多卖120件，要使利润达到25920元，则每件应降价多少元？3．（2023•梅县区一模）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？4．（2023春•怀宁县期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个．若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．（1）设售价在40元/个的基础上涨价x元，则月销售量为个，每个头盔的利润是元．（用x的代数式表示）（2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？（3）要想使月销售利润达到13000元，问这个要求能否实现？请说说你的理由．5．（2022春•江北区校级月考）社区是我家，建设为大家，为了丰富社区生活，提高社区美誉度，幸福社区计划投入9.9万元购进一批健身器材和劳动器材，且准备购进劳动器材的数量是健身器材的6倍，现从商家了解到，一套健身器材和一套劳动器材的售价分别为3000元和600元．（1）求最多购进健身器材多少套？（2）恰逢五一优购节，每套健身器材的售价下降35m%，每套劳动器材的售价下降5m元，社区决定健身器材和劳动器材的数量在（1）中购进健身器材最多量时的基础上都增加m%，这样，实际投入资金和计划投入资金完全相同，求m6．（2023春•临泉县期末）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？（2）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？题型六规则图形的面积问题题型六规则图形的面积问题1．（2022秋•中山市期末）如图，矩形ABCD是一块长16米、宽12米的荒地，要在这块荒地上建造一个矩形花园EFGH，在花园的外围是宽度相等的小路．要使花园所占面积为荒地面积的一半，则小路的宽为多少米？2．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为40m，若将短边长增长到与长边长相等（长边长不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，且面积比原来增加500m2．求原来绿地的长边长为多少米．3．（2022秋•宜州区期中）现有一块长40cm，宽20cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为384cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．4．如图，一个正方形花圃ABCD，在一次绿化改造中，该花圃在AB方向延伸了3米，AD方向上被占用了1米后，变成一个面积为21平方米的矩形花圃．求原来花圃的边长．5．（2022秋•鞍山期末）如图1，将一张宽10cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后，恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为32cm2，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：cm）6．（2023春•庐阳区校级期中）如图，已知线段AB＝10cm，点C在线段AB上，分别以AC，BC，AB为边向下作正方形．（1）当阴影部分的面积为42cm2时，请求出AC的长；（2）阴影部分的面积能否为60cm2？如果能，请求出AC的长；如果不能，请说明理由．题型七边框与甬道问题题型七边框与甬道问题1．（2022秋•新抚区期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），小路与矩形的一边垂直，余下部分种植草坪，要使草坪面积为540平方米，求小路的宽．2．（2022秋•涟源市期中）如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米．（1）求小路的宽．（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．3．（2023•和平区校级三模）如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度．4．（2022•大同二模）如图，某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地面积的一半区域种花，其余部分硬化．小亮同学设计了一个宽度相同的“U”形区域，求花带的宽度．5．（2022秋•绥中县期末）如图，要设计一个长为15cm，宽为10cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5：4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？6．（2023•灞桥区校级模拟）2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，在中国进出口交易会展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m2．求通道的宽是多少米？题型八围墙类问题题型八围墙类问题1．（2023春•昌平区期末）如图，用80m长的篱笆在墙边（墙长40米）围一个矩形草坪，当矩形面积是750m2时，它的长和宽应为多少？2．（2022秋•小店区校级期末）义务教育劳动课程以丰富开放的劳动项目为载体．学校准备在校园内利用校围墙的一段（墙体的最大可用长度a＝10米）和篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形劳动实践菜园ABCD（如图），已知篱笆长24米（篱笆全部用完），如果要围成面积为45平方米的菜园，AB的长是多少米？3．如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地ABCD（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏BC的长为x米，解答下列问题：（1）AB＝米（用含x的代数式表示）；（2）若矩形场地