2023年浙江省宁波市鄞实、曙光等六校九年级强基竞赛联考数学试题（附答案解析）

2023年浙江省宁波市邺实、曙光等六校九年级强基竞赛联考

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列计算正确的是（）

A.3x3-2x2y=6x5B.2a2-3a3=6a5

C.（-2x）•（-5x2^）=-10x3yD.（-2^）•（-3x2y）=6x3y

2.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字1、2、4.随机摸出一个小

球（不放回）其数字记为p,再随机摸出另一个小球其数字记为小则满足关于x的方

程f+px+4=o有两个不相等实数根的概率是（）

3B—2C—3，D—6

3.若a<0,b>0,贝ijZ?、b+a>b-a>〃〃中最大的一个数是（）

A.bB.b+aC.b-aD.ab

[3-2x>l

4.若关于工的不等式组、।共有2个整数解，则〃?的取值范围是（）

[X>W4-1

A.m=-\B,-2<m<-lC.D.tn<-\

5.如图所示的是反比例函数y=：（x>0）和一次函数％=皿+〃的图象，则下列结论正

确的是（）

A.反比例函数的解析式是y=gB.一次函数的解析式为为=-x+6

X

C.当x>6时，%最大值为1D.若,<必，则I<x<6

6.二次函数>=/+2工+。的图象与x轴的两个交点为A（5,O）,B（X2,0）,且为<々，

点尸（〃?,〃）是图象上一点，那么下列判断正确的是（）

A.当〃>0时，m<x{B.当〃>0时，m>x2

C.当〃<0时，m<0D.当〃<0时，x[<m<x2

7.商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不

超过5件，按原价付款：若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多

可以购买该商品的件数是（）

A.9件B.10件C.11件D.12件

8.已知I：a、人是正数，且a+b=2,则行门+>/^^的最小值是（）

A.713B.75C.四+右D.近

9.如图，在二ABC中，ZABC=6O°,A£>平分/84c交8C于点DCE平分/ACB交

AB于点E,AD,CE交于点尸.则下列说法正确的个数为（）

①ZAFC=120°；®SABn=SADC,③若AB=2AE,则CE1AB；@CD+AE=AC；

⑤SAEF-SFDC=AF：FC.

A.2个B.3个C.4个D.5个

10.如图，点A,B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以A8为边构造正方形ABC£>,

点C,。恰好都落在反比例函数y="（%w0）的图象上，点E在8C延长线上，CE=BC,

EFA.BE,交x轴于点尸，边E尸交反比例函数y=3&w0）的图象于点P,记A/E尸的

面积为S,若sg+12,则ACEP的面积是（）

A.2V17+2B.2>/17-2C.Vn+2D.y/\7-2

试卷第2页，共6页

二、填空题

11.已知两组数据3,2a,5,b与a,4,助的平均数都是6,若将这两组数据合并为

一组数据，则这组新数据的中位数是.

12.对于任意两个非零实数a、b,定义新运算“*"如下：a^b={--,例如：

3*4=。-!=-々.若x*y=2,则史2旦的值为______.

4312x-y

13.已知二次函数丫=以2+法+c,〃片0,a、b、，为常数的图象如图所示，下列4个

结论.

®abc<0；©b<a+c；③c<48；④（如+6）（%为常数，且ZHI）.

其中正确的结论有（填写序号）.

14.在直角坐标系xOy中，直线y=-号》+方交x轴、y轴于点E,凡点8的坐标是（2,2）,

过点8分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A,C.点。是线段CO上的动点，以为对

称轴，作与△BCD成轴对称的△3C'£>.当直线/经过点A时（如图），求点。由C到

。的运动过程中，线段BC'扫过的图形与△04尸重叠部分的面积.

15.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=£,把RtZWBC沿A8翻折

得到过点8作交AO于点E,点尸是线段BE上一点，且

tan/4DF=且.则下列结论中：①AE=BE；②ABEDsAABC；③〃T=AO-；

2

④AF=2姮.正确的有(把所有正确答案的序号都填上)

3

16.如图，在四边形设ABCD中，ABCD,ZB=NC=9(F,VA£)E是等边三角形，且

点E在BC上，如果A8=6,CD=9,VAZ应的面积为.

三、解答题

17.一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原

路返回甲地，货车到达乙地后停止.如图所示的图象分别表示货车、轿车离甲地距离

y(km)与轿车行驶时间x(h)的关系.

(1)求轿车在返回甲地过程中的速度；

(2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处离甲地的距离.

18.已知抛物线乂=公②+法.

(1)若此抛物线与x轴只有一个公共点且过点(1,一

①求此抛物线的解析式；

试卷第4页，共6页

②直线％=-x+k与该抛物线交于点A（-2,时和点8.若凶<%，求X的取值范围.

⑵若a>0,将此抛物线向上平移c个单位（c>0）得到新抛物线丫3，当x=。时，%=0；

当0cxec时，y3>0,试比较"与1的大小，并说明理由.

19.对于任意一个四位数，我们可以记为砺，即时=1000a+100〃+10c+d.若规定:

对四位正整数砺进行尸运算，得到整数网漏）="+/+,2+/.例如，

F（1249）=l4+23+42+9'=34；F（2020）=24+03+22+01=20.

（1）计算：/（2137）；

（2）当c=e+2时，证明：*标）-尸（两）的结果一定是4的倍数；

（3）求出满足F（匈）=98的所有四位数.

20.如图，在△A8C外分另ij以AB,AC为边作正方形A8OE和正方形ACFG,连接EG,

AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H.

求证：

(1)AM=-EG；

2

(2)AH±EG；

(3)EG2+BC2=2(AB2+AC2).

21.如图1,菱形ABC。的边长为12cm,ZB=60°,M,N分别在边A8,CD.上，AM

=3cm,ON=4cm,点P从点M出发，沿折线MB-BC以Icm/s的速度向点C匀速运

动（不与点C重合）；AAPC的外接圆。。与C£>相交于点E,连接PE交AC于点F.设

点尸的运动时间为相

⑴NAPE=°；

(2)若。。与力力相切，

①判断。。与CQ的位置关系;

②求APC的长；

(3)如图3,当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系；

(4)若点N在。。的内部，直接写出f的取值范围.

22.如图1,四边形A8CQ和AEFG都是菱形，/DAB=NGAE=60。,点G,E分别在边

AD,48上，点尸在菱形43CD内部，将菱形AEFG绕点4旋转一定角度a,点E、F

始终在菱形A2C。内部.

(1)如图2,求证：△OGAZZ\BE4；

(2)如图3,点P、。分别在A8、A。的延长线上，连接AF并延长与/QQC的平分线

交于点”，连接AE并延长与/PBC的平分线交于K,连接。“、HK、CH、CK.

①求证：△ADHs△KBA；

②若AB=2ji6,DH=5,则线段BK的长度为一，线段4K的长度为一.

③菱形AEFG绕点A旋转a度(0°<a<30°),AB=m,△KBC是等腰三角形，则线段HK

的长为

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参考答案：

1.B

【分析】根据单项式乘单项式、同底数累的运算法则逐一计算即可得出答案.

【详解】解：A.3x£2x2)，=6x5y,计算错误，不符合题意；

B.2a2.3奸=6。5,计算正确，符合题意；

C.(-2x)-(-5x2y)=10x3y,计算错误，不符合题意；

D.(-2^)(-3x2y)=6x3y2,计算错误，不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查了单项式乘单项式、同底数累，熟练掌握运算法则是解题的关键.

2.A

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方

程V+px+q：。有两个不相等实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案.

【详解】解：画树状图得：

开始

p124

AAA

q241412

•••f+px+quO有两个不相等的实数根，

A=/>2-4ac=p2—4q>0,

•••共有6种等可能的结果，满足关于x的方程V+px+q=0有两个不相等实数根的有

p=4,q=l;p=4,q=2共2种情况，

•••满足关于x的方程x2+px+4=o有两个不相等实数根的概率是：9±=11

63

故选：A.

【点睛】此题考查根的判别式，列表法与树状图法，解题关键在于利用判别式进行计算.

3.C

【分析】根据有理数的加减法，有理数的大小比较可得，减去一个数等于加上这个数的相反

数，由于。<0,b>0,故b+a<b,b-a>b,进而得出结果.

【详解】解：•・%<(),b>0,

答案第1页，共27页

ab<O<b-a,

故b+aVb,h-a>b,

/.b+a<h<h-a.

故选C.

【点睛】：本题考查了有理数的乘法、减法；有理数大小比较；根据有理数的加减法，有理

数的大小比较可得答案.

4.B

【分析】先解不等式3-2x21,得xVl,结合不等式组的整数解的情况，得出关于〃?的不

等式组，求解即可.

【详解】解不等式3-2x21,得X41,

13-2x21_

••・关于x的不等式组、，共有2个整数解，

...这两个整数解为0』，

*•—1<+140,

解得一2（加4一1,

故选：B.

【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，得出关于小

的不等式组.

5.D

【分析】结合图象，求出两个函数的解析式，再逐一进行判断即可。

【详解】解：A、由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为（1,5）,

把（1,5）代入y=?x>0）得，k=5,

^,=-（A->0）,选项错误，不符合题意；

X

B、当x=6时，y=—,

6

,另一个交点坐标为：

直线解析式为：y2=nvc+n,分别代入（1,5）,1得：

答案第2页，共27页

m+n=5

<,5，

om+n=—

6

5

m=—

解得3；,

n=一

6

535

・.・M=-9+?，选项错误,不符合题意；

66

C、由图象可知，当x>6时，V随X的增大而减小，当X>6时，0<乂<2,选项错误，不

6

符合题意；

D、由图象可知，l<x<6,直线在双曲线的下方，乂<必，选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点、反比例函数的图象与性质，待定系数法求

函数解析式.解题的关键是待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解.

6.D

【分析】根据二次函数的图象与性质可进行排除选项.

【详解】解：由二次函数y=/+2x+c可知开口向上，对称轴为直线

当X<-1时，y随X的增大而减小，当X>-1时，y随X的增大而增大；

VA（x„0）,3（%,0）是二次函数与x轴的交点，点户（根,〃）是图象上的一点，

，当〃>0时，则或；故A、B选项错误；

当〃<0时，则不<根<々，故D正确；当9>°且”<。时，此时有可能加〉0，故C错误;

故选D.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关

键.

7.B

【分析】设可以购买该商品x件，根据总价=30x5+30x0.8x超过5件的数量，结合总价不超

过270元，即可得出关于尤的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论.

【详解】解：设可以购买该商品x件，

依题意得：30x5+30x0.805）<270,

解得:把10.

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故选：B

【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不

等式是解题的关键.

8.A

【分析】如图，将正不+病二的最小值转化为求AP+BP的最小值问题，利用轴对称的

性质，进行求解即可.

【详解】解：：a+b=2,

♦♦b=2-a,代入Jq，+1+yjb2+4>

得：V«2+l+7（2-«）2+22.

构造如下图形，如图，其中。=2,AE=2,3O=1,AEA.I,BD11,在££>上取一点P使

在RtZ\A£P中，根据勾股定理得：AP=yl（,2-a）2+22，

在RtBDP中,根据勾股定理得：BP=4^+\'

则Ja、l+7（2-a）2+22=AP+BP,

...当AP+8P的值最小时，小/+1+>/必+4的值最小，

作点A关于直线/的对称点C,连接8C,PC,则：AP+PB=PC+PB>BC,

.•.当B,P,C三点共线时，AP+BP的值最小，即为BC的长，

延长B。，过C作C尸垂直于BC的延长线，垂足为F,则，四边形5定为矩形,

:.DF=CE=2,ED=CF=2,

：.BF=BD+DF=3,

答案第4页，共27页

在Rt^CFB中，由勾股定理，得：BCTCP+BF=屈；

7^71+炉)的最小值为V13.

故选A.

【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，矩形的判定和性质.解题的关键，是将代数问

题转化为几何模型，利用轴对称的性质，解决线段和最小问题.

9.C

【分析】①根据三角形内角和定理可得可得NAC3+/C4B=120。，然后根据AD平分

NBAC,CE平分NACB,可得ZFC4=g乙4CB,ZFAC^ZCAB,再根据三角形内角和定

理即可进行判断；

②当AD是,ABC的中线时，SABD=SADC,进而可以进行判断；

③根据=证明。他C为等边三角形，根据三线合一的性质进而可以进行判断；

④作ZAFC的平分线交AC于点G,可得NAFG=NCFG=NAEE=60。，证明

AEF^AGF(ASA),CDF^CGF(ASA),可得AE=AG,CD=CG,进而可以判断；

⑤过G作GM_LFC,GHLAF于点G,H,由④知，FG为N4FC的角平分线，可得

GH=GM,所以可得S,3：5FGC=AF,FC,根据.AEFg.AGF,CDF£CGF,进而可

以进行判断.

【详解】解：①在_ABC中，/ABC=60°,

：.ZACB+ZCAB=nO0,

•：AD平分NBAC,CE平分ZACB,

：.ZFC4=-ZACB,AFAC=ZCAB,

2

ZAFC=180°-(ZFC4+ZMC)=180°-(ZACB+ZC4B)=120°,故①正确；

②当AD是"C的中线时，$,即=590,故②错误；

③；AB=2AE,

:.CE为ABC的中线，

为/ACB的角平分线，

二AC-BC,

二A8C为等边三角形,

答案第5页，共27页

145,故③正确；

④如图，作NAEC的平分线交AC于点G,

由①得NAfC=120°,

二ZAFG=NCFG=60°,

二ZAFE=60°,

：.ZAFG=/CFG=ZAFE=60°,

ZEAF=ZGAF,NDCF=NGCF,

AAEF^.AGF（ASA）,.CDF^CGF（ASA）,

：.AE^AG,CD=CG,

CD+AE=CG+AG=AC,故④正确：

⑤过G作GMLFC,3万，人尸于点6,H,

由④知，FG为NAFC的角平分线，

：.GH=GM,

•••S.W：SFCC=AF:FC,

V,.AEF^AGF,-CDF—CGF,

SAFF~.SFnc=AF-.FC,故⑤正确.

综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，

故选：C.

【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判

定，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是解题关键.

10.B

【分析】如图，过点Z）作QM-Ly轴，过点C作CN_Lx轴，设。4=。，OB=b,证明

DMA^.AOB^^VC（AAS）,并得到C（a+b,A）,。（。,4+3，根据反比例函数的性质得

答案第6页，共27页

b^a+b')=a(a+b),^a=h,继而得到△BEF是等腰直角三角形，己知△BEF的面积为S,

k1

可得5啊=5+12=T(5。-。*2。，又因为。(a,2。)在反比例函数的图象上,可得左=2凡

即可求出a=2,%=8,再求出直线EF的表达式，利用方程组确定点尸的坐标，求出PE和

CE,即可得出的面积.

【详解】解：如图，过点。作轴，过点C作CNLx轴，设。4=a,OB=b,

：.ZDMA=ZCNB=ZAOB=90°f

•・,四边形"CO是正方形，

：.AD=AB=BC,ZDAB=ZABC=90°f

：.NMDA+ZMAD=ZM4O+NQ48=90°,

ZOBA+ZOAB=ZOBA+ZCBN=90°,

:.ZMDA=ZOAB=/CBN,

•・•在△OM4和403中，

4MDA=NOAB

<ZDMA=ZAOBf

AD=AB

・・.DM4g一AQB(AAS),

/.AM=OB=b,MD=OA=a,

・・•在498和BNC中,

ZOAB=ZCBN

</AOB=/CNB,

AB=BC

；._AO哙BNC(AAS),

：.OB=NC=b,OA=NB=a,

答案第7页，共27页

/.C（a+b,b）,D^a,a+b）,

又•:C（a+b,b）,。（“々+。）在反比例函数y=、（攵。0）的图象上,

.力（a+Z?）=q（a+Z?）,

*a+Z?wO,

a=b,

・OA=OB,

.ZABO=45°,ZEBF=900-ZABO=45°,

•EFLBE,

•△跳尸是等腰直角三角形,

•BC=EC,

・E（3a,2a）,F（5tz,O）,

BEF=g+12=；x（5a-a）x2a,

*5

--+\2=4a2,

2

.£＞（q,2a）在反比例函数y=§ZwO）的图象上，即％=2/,

・。=2,k=8，

Q

.£（6,4）,尸（10,0）,反比例函数的表达式为y=1,

设：直线EF的表达式为y

4=mx6+nm=-\

031。+〃,解得:

w=10

・,・直线EF的表达式为y=-x+\0,

8

y=­X=5+yfV7X=5-y/n

X,解得：■或<

.--旧一y=5+V17，

y=-x+10

...P（5+屈,5-后）,

”（6,4）,C（4,2）,

/.PE=^（5+>/i7-6）2+（5-7i7-4）2=同/_*=用-近，

CE=7（4-6）2+（2-4）2=2夜,

答案第8页，共27页

SECP=；义CE义PE=2立X1用一吟=2屈-2,

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性

质，求一次函数的解析式等，利用设出的。4=“，OB=b表示出相关点的坐标是解答本题的

关键.

11.5

【分析】首先根据平均数的定义列二元一次方程组并求出a、b的值，即可确定两组数据的

值，再将数据合并，按从小到大的顺序排序，然后根据中位数的定义确定这组新数据的中位

数即可.

【详解】解：根据题意，

3+2。+5+6r

4-[a=6

可得,”，解得八,，

a+4+2b/\h=4

--------------=61

I3

,这两组数据为3,12,5,4与6,4,8,

将这两组数据合并后，按从小到大的顺序排序为3,4,4,5,6,8,12,

.•.这组新数据的中位数是5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了平均数、中位数以及二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意

列二元一次方程组求出久6的值.

12.1011

【分析】根据新运算法则可得工-'=2,即x-y=2外,代入原式化简即可求解.

【详解】解：由题意得：

x*y=2,即工-1=2,贝!]：x-y=2xy,

yx

则垩出=迎生=1。”，

x-y2xy

故答案为：1011.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，理解新运算法则，将已知化为未知的形式进行化简是

解题的关键.

13.①③

【分析】由抛物线的开口方向判断。的符号，由抛物线与）'轴的交点判断c的符号，然后根

答案第9页，共27页

据对称轴及抛物线与X轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：①由图象可知：。>0,

-±>o,

2a

b>0,

cibc<0,故①正确；

②当x=—l时，y=a-h+c<0f

：.b>a+caLb<a+c,故②错误；

③当x=3时,函数值小于0，y=9〃+3b+c<0,且工=一~—=1,

2a

即a=_2,弋入得9(-2)+3〃+C<0,得c<*b,

222

b>0,

:.c<4b,故③正确；

④当x=l时，>的值最大.此时，y=a+b+c,

而当x=%时，y=ak2+hk+c,

所以a+b+c>a《2+bk+c

故a+b>a心+bk,B|Ja+b>k(ak+b),故④错误.

故①③正确.

故答案为：①③.

【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数)，=以2+/»+。系数符

号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，灵活

运用二次函数的性质是解题的关键.

14.—7C-V3

3

【分析】先求出直线y=-3x+逑，再确定C点的运动轨迹是以点8为圆心，8c为半

33

径的圆，可知所求面积为弓形，利用扇形和等边三角形的面积公式即可求解.

答案第10页，共27页

：点8的坐标是（2,2）,

/.A（2,0）,C（0,2）,

・•,直线y=经过点A,

••b=----，

3

.古国\/32y/3

33

•.•/。4/=30。,/84尸=60。，点。由C至IJO的运动过程中，线段3C'扫过的图形是扇形，

二当点。与。重合时，点C'与A重合，且线段BC'扫过的图形与△GMF重叠部分是弓形，

；•当点C在直线y=一立》+辿上时，BC=BC=AB,

33

，△ABC'是等边三角形，

,ZABC'=60。，

•••重叠部分的面积为71X60X4一且x4=2w-6，

36043

故答案为：,K-&.

【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，

能够根据题意确定C点的运动轨迹是以点8为圆心，8c为半径的圆是解题的关键.

15.③④

【分析】①利用折叠和平行线的性质可知ND4B=NABE,从而利用等角对等边即可证明；

②利用相似三角形的判定判断即可；③首先证明VD3ESVZMB,然后利用相似三角形的性

质即可证明；④利用折叠的性质及勾股定理即可证明.

【详解】①由折叠可知NC48=ND48,

VZACB=90°,BE上BC,

答案第11页，共27页

BE//AC,

：.ZCAB=ZABE,

，ADAB=ZABE,

；.AE=BE,①正确；

@VZACB=90°,AC=3,8c=6，

,AB=,+(可=26

：.ABAC=30°,ZABC=60°,

"：NEBA=NEAB,

由折叠性质可知48C=NAM=60。，ZBAC=^BAD=30°,

即：NEBA=NEW=30。，

贝|JZ£>BE=3O°,由N£>BE=ZR4C=30。，NBDE=NC=90°,

可得ABEfJs"BC,②正确；

③在②中有△BE£)s△ABC,再根据折叠可知：ABD^ABC,

..BDDE

即nn有：V8EZ)sVA^£),n即n有：———t

ADBD

即有：BD1=ADDE>③正确；

向

④由tanAADF=—及NDEB=60°,作FG，DE于点、G,

2

由题易得：BD=BC=上,DE=T,AD=AC=3,BE=AE=2,

由tan/AQF=4,设GF=W，DG=2a,

2

由NOE8=60°得GE=a,

由DE=DG+GE=2a+a=\ai^a=~,

3

则6尸=^^,——,

33

答案第12页，共27页

在Rt^A月G中由勾股定理可得AF=豆叵，④正确；

3

故答案为：①②③④,.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，折叠的性质，三角函数，掌握

这些性质是关键.

16.2173

【分析】作N3EF=30。，交AB于点G,过点A作AF_L所，垂足为尸，证明

AFEW.ECD(AAS),可得FE=9,设：BG=m,则AG=6-，w,EG=2m,FG=9-2m,

A(ZFG

证明AG/sEGB,根据相似三角形对应边成比例可得多=会，即可解出机，即可求出

EGBG

VADE的面积.

【详解】解：如图，作N8£F=30。，交AB于点G,过点A作AFLEF,垂足为F,

二ZF=90°,

V?B90?,

二ZAE8=90°-ZR4£,

,?NBEF=30。,

：.ZAEF=ZAEB-ZBEF=900-ZBAE-30°=60°-/BAE,

・••V4）E是等边三角形，

AZAED=6O°,AE=DE,

：./DEC=180°-ZAEB-ZAED=180°-（90°-ZBAE）-60°=30°+ZBAE,

又,:ZC=90°,

Z./EDC=90°-ZDEC=90°-（30°+ZBAE）=60°-ZBAE,

二NEDC=ZAEF,

•••在话和EC。中，

答案第13页，共27页

ZAEF=/EDC

<ZF=ZC=90°

AE=DE

：..AFE^ECD(AAS),

；・FE=CD=9,AF=CE,

设：BG=m,贝ljAG=6—6，

,?NBEF=30。,

：.EG=2BG=2m,

：.FG=FE-EG=9-2m,

VZB=ZF=90°,ZAGF=/EGB,

：.AGFSHGB,

.AGFG

.6—m_9-2m右殂

••一,角毕存于m—4,

2mm

；・BG=4,EG=8,AG=2,FG=],

•，•BE=JEG?-5G2=荷-彳=4g，AF7AG?-FG。=依-F=也,

：.CE=AF=旧,

SADE~S榜形BAC。—SABE-SCDE>

SADE=gx(6+9)x[百+b)-gx6x46-gx9xe=2h/5,

故答案为：2173.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定及相似三角形的性质和判定，等边三角形的性

质等，熟练掌握全等三角形及相似三角形的性质和判定，并根据题目作出辅助线是解答本题

的关键.

17.(1)80km/h

【分析】(1)用两地间距离除以轿车在返回甲地过程中所用的时间，即可求解；

(2)分别求出货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式，轿车从乙地返回甲地的函数关系

答案第14页，共27页

式，再求出它们的交点，即可求解.

【详解】（1）解：根据题意得：轿车在返回甲地过程中的速度为三12三0;=80km/h；

3.5-2

（2）解：设货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式为^=匕》，

把点（3,120）代入得：

3K=120,解得：勺=40,

二货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式为V=40x,

设轿车从乙地返回甲地，离甲地距离与行驶时间的函数关系式为y=

把点（2,120）,（3.5,0）代入得：

[2上,+6=120fA：,=-80

...「，解得：V，

[3.5K2+/?=0[b=280

...轿车从乙地返回甲地的函数解析式为y=-80%+280,

'_7

…[y=-80x+280,"二彳

联立得：=40.，解得：28。,

,当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇处离甲地的距离为晋km/h.

【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题，一次函数的应用，明确题意，准确从函数图

象获取信息是解题的关键.

18.⑴①②A（-2,—2）,B（4,—8）

（2）ac<l,证明见解析

【分析】（1）①由抛物线乂=幺2+云与x轴只有一个公共点得到公=6_4.=从=。求出

b=Q,然后抛物线》=0^+版过点（1,_；）.把坐标代入函数解析式即可求解；

②首先把A的坐标代入二次函数解析式中求出〃?，然后联立两个解析式解方程组得到A、B

两点坐标即可求解；

（2）ac<l,首先设此抛物线解析式为），=62+反+。，接着把（。,0）代入解析式得到

-b=ac+\,然后利用函数图象的示意图即可得到-《2c,即可得到acWl.

答案第15页，共27页

【详解】(1)①;抛物线％=奴2+加与X轴只有一个公共点,

A=/?2—4ac=b1=0,

；・b=0,

又；抛物线乂=ar2+云过点(1,-1).

.1

・・Cl——,

2

抛物线的解析式,=-夫2：

②当x=-2时，y=-lx(-2)2=-2,

/..A(—2,—2),

：.-2=2+k,

.,•左="4,

y2=r-4,

y=-x-4

联立10,

y=——x"

I2

(x=-2[x=4

解得。或u

[y=-2[y=-8

A(-2,-2),8(4,—8),

由题知a>0,将此抛物线y=a?+方向上平移c个单位(c>0),

答案第16页，共27页

其解析式为y=+加;+c,且过点（c,0）,

ac2+反+c=0，

/.ac+〃+l=0,

/.-b=ac+\，

且当x=o时，y=j

—b>2ac,

/.ac+l>2ac,

•*.ac<\.

【点睛】此题分别考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与直线的交点坐标及抛物线与不等式

的关系，综合运用以上知识是解题的关键.

19.(1)33；(2)详见解析；(3)满足条件的四位数有3209,3218,3225,3230.

【分析】(1)直接根据定义求解可得；

⑵先根据定义，化简求出尸(旃)一网两)，将。=6+2代入，发现刚好是4倍关系;

(3)尸(西)=3,+2，+*2+>,根据x、y都必须是0至9之间的整数，可判断求解.

【详解】解：(1)F(2137)=24+13+32+7'=16+1+9+7=33；

(2)F(abed)-F^abed)

=R“+b}+c2+d)-(a”+bf+e2+")

=c2-e"2

答案第17页，共27页

•/c=e+2,

原式二（6+2）、/

=4e+4

=4（e+l）.

'：e>0,且e是整数，.•.4（e+l）是4的倍数.

所以，当c=e+2时，尸（旃）一网疯）的结果一定是4的倍数.

（3）VF（32^）=34+23+x2+y,

34+23+x2+产98.即V+），=9.

V0<y<9,.,.0<X2<9.

••.04x43,且X为整数.

A。=闯［尸九=L8，或［x>=25，，或］x…=3,

所以，满足条件的四位数有3209,3218,3225,3230.

【点睛】本题是定义新运算的运用，解题关键是根据题干定义的运算规则进行转化求解.

20.（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析

【分析】（1）延长AM到点N,使连接BM先证得AW8N四△MC4,得到NBNM

=NCAW,NB=AC,从而得到BN〃AC,NB=AG,进一步得到/GAE,根据SAS

证得ANBA咨AGAE,即可证得结论；

（2）由"VBA丝ZXGAE得N8AN=NAEG,进一步求得/HAE+/AEa=90。，即可证得/AHE

=90°,得到4H_LEG；

（3）连接CE、BG,易证AACE丝/XAPG,得出CELBG,根据勾股定理得到Et^+BCZn

CG2+BE2,从而得到2（AB2+AC2）.

【详解】（1）证明：延长AM到点N,使MN=MA,连接BN,

答案第18页，共27页

G

H

E

MP。

\J/

Nc*

，.工用是^ABC中3c边上的中线，

:・CM=BM,

在4^8"和4MCA中

AM=MN

<ZAMC=4NMB

CM=BM

•••△M3N0△MCA(SAS),

:・/BNM=NCAM,NB=AC,

:.BN〃AC,NB=AG,

・・・NNBA+N8AC=180。，

ZGAE+ZBAC=360°-90°-90°=180°,

:・/NBA=/GAE,

在^可b4和4GAE中

NB=AG

,/NBA=4GAE

BA=EA

:.XNBAeAGAE(SAS),

:.AN=EG,

：.AM=^EG；

(2)证明：由(1)ANBA出△GAE得NBAN=NAEG,

•/ZHAE+ZBAN=\S00-90°=90°,

AZ/7AE+ZAEH=90°,

・・・ZAH£=90°,

即AHLEG；

(3)证明：连接CE、BG,

答案第19页，共27页

,/四边形ACFG和四边形ABDE是正方形,

，AC=AG,AB=AE,ZCAG=ZBAE=90°,

二NBAG=NCAE,

Z.△ACEdABG

：.CE±BG,

:.EG+B-CG+BE2,

J.E^+BC2^!C+AC2).

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线

的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键.

21.（1）60°

（2）①。。与8相切；②APC="Y"

3

（3）CF的最大值为3cm,此时AC_LPE

（4）当0<r<l时或17V<21时，点N在圆内部;

【分析】（1）根据菱形的性质易证4人。。为等边三角形，根据同弧所对的圆周角相等即可

得到/APE的度数；

（2）①先找出。。与AO相切时的情况，根据切线长定理即可证明。。与C。相切；②根据

切线长定理和菱形的性质，可求得圆的半径，根据弧长公式即可求解；

（3）要使CF取得最大值，则AF应该取最小值，当ACLPE时，AF最小，此时CF取得最

大值，求出即可；

（4）分两种情况进行讨论，当户在AB上时和当点P在BC上时.

【详解】（1）解：...四边形A5CD为菱形，ZB=60°,

.•.NQ=NB=60。，AD=CD,

.♦.△AC。为等边三角形，

二ZACE=60°,

答案第20页，共27页

ZAPE=ZACE=60°,

故答案为：60°.

①•••四边形ABC。为菱形，

：.AD=CD,

：。0与A。相切，

，。。与C。相切；

②连接OD,

由(1)可知，ZADC=6Q°,

,：AD,CD分别与。O相切，

，ZADO=^ZADC=30°,

.,M(9=A£)xtan30o=12x—=473,

3

由图可知：CF^AC-AF,

"：AB=BC,ZB=60°,

...△ABC为等边三角形，则4c=12cm,NACB=60。,

；•要使CF取得最大值，则4尸应该取最小值，

当AC_LPE时，A尸最小，此时CF取得最大值，

•.•点。为△APC外接圆圆心，

OA=OC=OP=—AC=6cm,

2

答案第21页，共27页

•/ZACB=60°,

/.CF=CP.cos60°=3cm,

综上：CF的最大值为3cm,此时ACLPR

(4)①当点P在AB上时，

•・•四边形APCE为圆的内接四边形，

，NAPC+NA£C=180。，

,?ZAED++ZAEC=180°,

・・・ZAPC=ZAEDf

在△4尸。和4DEA中，

AC=AD9ZR\C=ZDfZAPC=ZAEDf

：.AAPC^ADEA,

:・AP=DE,

当点E与点N重合时，DE=DN=AP=4f

AMP=4-3=lcm,

当0＜《l时，点N在圆内部；

②当点尸在BC上运动时，

•・•ZA£P=ZACP=60°,

・・・△APE为等边三角形,

：.AP=AE9ZB4£=60°,

*/ZBAC=60°,

：.ZBAP=ZCAEf

答案第22页，共27页

在4区4尸和4CAE中,

AB=AC,NBAP=/CAE,AP=AE,

.♦.△BAP0△CAE,

：.BP=CE,

当点E与带你N重合时，CE=CN=BP=12-4=8cm,

当点P到达点C时，U21s,

当17y<21时，点N在圆内部；

综上：当OU<1时或17V<21时，点N在圆内部.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，切线长定理，以及和圆相关的内容，熟练掌握相关知

识点是解题的关键.注意在解题过程中灵活运用”同弧所对的圆周角相等''这一定理.

22.(1)见解析；(2)8,7；(3)m或叵加

3

【分析】(1)根据菱形的性质可得4