![2023年浙江省宁波市鄞实、曙光等六校九年级强基竞赛联考数学试题(附答案解析)_第1页](http://file4.renrendoc.com/view10/M00/0A/23/wKhkGWWDfs6AN7g1AAFNItCvPms661.jpg)
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文档简介
2023年浙江省宁波市邺实、曙光等六校九年级强基竞赛联考
数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.下列计算正确的是()
A.3x3-2x2y=6x5B.2a2-3a3=6a5
C.(-2x)•(-5x2^)=-10x3yD.(-2^)•(-3x2y)=6x3y
2.一个盒子里有完全相同的三个小球,球上分别标上数字1、2、4.随机摸出一个小
球(不放回)其数字记为p,再随机摸出另一个小球其数字记为小则满足关于x的方
程f+px+4=o有两个不相等实数根的概率是()
3B—2C—3,D—6
3.若a<0,b>0,贝ijZ?、b+a>b-a>〃〃中最大的一个数是()
A.bB.b+aC.b-aD.ab
[3-2x>l
4.若关于工的不等式组、।共有2个整数解,则〃?的取值范围是()
[X>W4-1
A.m=-\B,-2<m<-lC.D.tn<-\
5.如图所示的是反比例函数y=:(x>0)和一次函数%=皿+〃的图象,则下列结论正
确的是()
A.反比例函数的解析式是y=gB.一次函数的解析式为为=-x+6
X
C.当x>6时,%最大值为1D.若,<必,则I<x<6
6.二次函数>=/+2工+。的图象与x轴的两个交点为A(5,O),B(X2,0),且为<々,
点尸(〃?,〃)是图象上一点,那么下列判断正确的是()
A.当〃>0时,m<x{B.当〃>0时,m>x2
C.当〃<0时,m<0D.当〃<0时,x[<m<x2
7.商店为了对某种商品促销,将定价为30元的商品,以下列方式优惠销售:若购买不
超过5件,按原价付款:若一次性购买5件以上,超过部分打八折,现有270元,最多
可以购买该商品的件数是()
A.9件B.10件C.11件D.12件
8.已知I:a、人是正数,且a+b=2,则行门+>/^^的最小值是()
A.713B.75C.四+右D.近
9.如图,在二ABC中,ZABC=6O°,A£>平分/84c交8C于点DCE平分/ACB交
AB于点E,AD,CE交于点尸.则下列说法正确的个数为()
①ZAFC=120°;®SABn=SADC,③若AB=2AE,则CE1AB;@CD+AE=AC;
⑤SAEF-SFDC=AF:FC.
A.2个B.3个C.4个D.5个
10.如图,点A,B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上,以A8为边构造正方形ABC£>,
点C,。恰好都落在反比例函数y="(%w0)的图象上,点E在8C延长线上,CE=BC,
EFA.BE,交x轴于点尸,边E尸交反比例函数y=3&w0)的图象于点P,记A/E尸的
面积为S,若sg+12,则ACEP的面积是()
A.2V17+2B.2>/17-2C.Vn+2D.y/\7-2
试卷第2页,共6页
二、填空题
11.已知两组数据3,2a,5,b与a,4,助的平均数都是6,若将这两组数据合并为
一组数据,则这组新数据的中位数是.
12.对于任意两个非零实数a、b,定义新运算“*"如下:a^b={--,例如:
3*4=。-!=-々.若x*y=2,则史2旦的值为______.
4312x-y
13.已知二次函数丫=以2+法+c,〃片0,a、b、,为常数的图象如图所示,下列4个
结论.
®abc<0;©b<a+c;③c<48;④(如+6)(%为常数,且ZHI).
其中正确的结论有(填写序号).
14.在直角坐标系xOy中,直线y=-号》+方交x轴、y轴于点E,凡点8的坐标是(2,2),
过点8分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A,C.点。是线段CO上的动点,以为对
称轴,作与△BCD成轴对称的△3C'£>.当直线/经过点A时(如图),求点。由C到
。的运动过程中,线段BC'扫过的图形与△04尸重叠部分的面积.
15.如图,在RtaABC中,ZACB=90°,AC=3,BC=£,把RtZWBC沿A8翻折
得到过点8作交AO于点E,点尸是线段BE上一点,且
tan/4DF=且.则下列结论中:①AE=BE;②ABEDsAABC;③〃T=AO-;
2
④AF=2姮.正确的有(把所有正确答案的序号都填上)
3
16.如图,在四边形设ABCD中,ABCD,ZB=NC=9(F,VA£)E是等边三角形,且
点E在BC上,如果A8=6,CD=9,VAZ应的面积为.
三、解答题
17.一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地,轿车到达乙地后立即以另一速度原
路返回甲地,货车到达乙地后停止.如图所示的图象分别表示货车、轿车离甲地距离
y(km)与轿车行驶时间x(h)的关系.
(1)求轿车在返回甲地过程中的速度;
(2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时,求相遇处离甲地的距离.
18.已知抛物线乂=公②+法.
(1)若此抛物线与x轴只有一个公共点且过点(1,一
①求此抛物线的解析式;
试卷第4页,共6页
②直线%=-x+k与该抛物线交于点A(-2,时和点8.若凶<%,求X的取值范围.
⑵若a>0,将此抛物线向上平移c个单位(c>0)得到新抛物线丫3,当x=。时,%=0;
当0cxec时,y3>0,试比较"与1的大小,并说明理由.
19.对于任意一个四位数,我们可以记为砺,即时=1000a+100〃+10c+d.若规定:
对四位正整数砺进行尸运算,得到整数网漏)="+/+,2+/.例如,
F(1249)=l4+23+42+9'=34;F(2020)=24+03+22+01=20.
(1)计算:/(2137);
(2)当c=e+2时,证明:*标)-尸(两)的结果一定是4的倍数;
(3)求出满足F(匈)=98的所有四位数.
20.如图,在△A8C外分另ij以AB,AC为边作正方形A8OE和正方形ACFG,连接EG,
AM是△ABC中BC边上的中线,延长MA交EG于点H.
求证:
(1)AM=-EG;
2
(2)AH±EG;
(3)EG2+BC2=2(AB2+AC2).
21.如图1,菱形ABC。的边长为12cm,ZB=60°,M,N分别在边A8,CD.上,AM
=3cm,ON=4cm,点P从点M出发,沿折线MB-BC以Icm/s的速度向点C匀速运
动(不与点C重合);AAPC的外接圆。。与C£>相交于点E,连接PE交AC于点F.设
点尸的运动时间为相
⑴NAPE=°;
(2)若。。与力力相切,
①判断。。与CQ的位置关系;
②求APC的长;
(3)如图3,当点P在BC上运动时,求CF的最大值,并判断此时PE与AC的位置关系;
(4)若点N在。。的内部,直接写出f的取值范围.
22.如图1,四边形A8CQ和AEFG都是菱形,/DAB=NGAE=60。,点G,E分别在边
AD,48上,点尸在菱形43CD内部,将菱形AEFG绕点4旋转一定角度a,点E、F
始终在菱形A2C。内部.
(1)如图2,求证:△OGAZZ\BE4;
(2)如图3,点P、。分别在A8、A。的延长线上,连接AF并延长与/QQC的平分线
交于点”,连接AE并延长与/PBC的平分线交于K,连接。“、HK、CH、CK.
①求证:△ADHs△KBA;
②若AB=2ji6,DH=5,则线段BK的长度为一,线段4K的长度为一.
③菱形AEFG绕点A旋转a度(0°<a<30°),AB=m,△KBC是等腰三角形,则线段HK
的长为
试卷第6页,共6页
参考答案:
1.B
【分析】根据单项式乘单项式、同底数累的运算法则逐一计算即可得出答案.
【详解】解:A.3x£2x2),=6x5y,计算错误,不符合题意;
B.2a2.3奸=6。5,计算正确,符合题意;
C.(-2x)-(-5x2y)=10x3y,计算错误,不符合题意;
D.(-2^)(-3x2y)=6x3y2,计算错误,不符合题意;
故选B.
【点睛】本题考查了单项式乘单项式、同底数累,熟练掌握运算法则是解题的关键.
2.A
【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方
程V+px+q:。有两个不相等实数根的情况,继而利用概率公式即可求得答案.
【详解】解:画树状图得:
开始
p124
AAA
q241412
•••f+px+quO有两个不相等的实数根,
A=/>2-4ac=p2—4q>0,
•••共有6种等可能的结果,满足关于x的方程V+px+q=0有两个不相等实数根的有
p=4,q=l;p=4,q=2共2种情况,
•••满足关于x的方程x2+px+4=o有两个不相等实数根的概率是:9±=11
63
故选:A.
【点睛】此题考查根的判别式,列表法与树状图法,解题关键在于利用判别式进行计算.
3.C
【分析】根据有理数的加减法,有理数的大小比较可得,减去一个数等于加上这个数的相反
数,由于。<0,b>0,故b+a<b,b-a>b,进而得出结果.
【详解】解:•・%<(),b>0,
答案第1页,共27页
ab<O<b-a,
故b+aVb,h-a>b,
/.b+a<h<h-a.
故选C.
【点睛】:本题考查了有理数的乘法、减法;有理数大小比较;根据有理数的加减法,有理
数的大小比较可得答案.
4.B
【分析】先解不等式3-2x21,得xVl,结合不等式组的整数解的情况,得出关于〃?的不
等式组,求解即可.
【详解】解不等式3-2x21,得X41,
13-2x21_
••・关于x的不等式组、,共有2个整数解,
...这两个整数解为0』,
*•—1<+140,
解得一2(加4一1,
故选:B.
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解,解答本题的关键是明确题意,得出关于小
的不等式组.
5.D
【分析】结合图象,求出两个函数的解析式,再逐一进行判断即可。
【详解】解:A、由图象可知,两个函数图象相交于两个点,其中一个点坐标为(1,5),
把(1,5)代入y=?x>0)得,k=5,
^,=-(A->0),选项错误,不符合题意;
X
B、当x=6时,y=—,
6
,另一个交点坐标为:
直线解析式为:y2=nvc+n,分别代入(1,5),1得:
答案第2页,共27页
m+n=5
<,5,
om+n=—
6
5
m=—
解得3;,
n=一
6
535
・.・M=-9+?,选项错误,不符合题意;
66
C、由图象可知,当x>6时,V随X的增大而减小,当X>6时,0<乂<2,选项错误,不
6
符合题意;
D、由图象可知,l<x<6,直线在双曲线的下方,乂<必,选项正确,符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点、反比例函数的图象与性质,待定系数法求
函数解析式.解题的关键是待定系数法求出函数解析式,利用数形结合的思想进行求解.
6.D
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行排除选项.
【详解】解:由二次函数y=/+2x+c可知开口向上,对称轴为直线
当X<-1时,y随X的增大而减小,当X>-1时,y随X的增大而增大;
VA(x„0),3(%,0)是二次函数与x轴的交点,点户(根,〃)是图象上的一点,
,当〃>0时,则或;故A、B选项错误;
当〃<0时,则不<根<々,故D正确;当9>°且”<。时,此时有可能加〉0,故C错误;
故选D.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关
键.
7.B
【分析】设可以购买该商品x件,根据总价=30x5+30x0.8x超过5件的数量,结合总价不超
过270元,即可得出关于尤的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论.
【详解】解:设可以购买该商品x件,
依题意得:30x5+30x0.805)<270,
解得:把10.
答案第3页,共27页
故选:B
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用,根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不
等式是解题的关键.
8.A
【分析】如图,将正不+病二的最小值转化为求AP+BP的最小值问题,利用轴对称的
性质,进行求解即可.
【详解】解::a+b=2,
♦♦b=2-a,代入Jq,+1+yjb2+4>
得:V«2+l+7(2-«)2+22.
构造如下图形,如图,其中。=2,AE=2,3O=1,AEA.I,BD11,在££>上取一点P使
在RtZ\A£P中,根据勾股定理得:AP=yl(,2-a)2+22,
在RtBDP中,根据勾股定理得:BP=4^+\'
则Ja、l+7(2-a)2+22=AP+BP,
...当AP+8P的值最小时,小/+1+>/必+4的值最小,
作点A关于直线/的对称点C,连接8C,PC,则:AP+PB=PC+PB>BC,
.•.当B,P,C三点共线时,AP+BP的值最小,即为BC的长,
延长B。,过C作C尸垂直于BC的延长线,垂足为F,则,四边形5定为矩形,
:.DF=CE=2,ED=CF=2,
:.BF=BD+DF=3,
答案第4页,共27页
在Rt^CFB中,由勾股定理,得:BCTCP+BF=屈;
7^71+炉)的最小值为V13.
故选A.
【点睛】本题考查轴对称的性质,勾股定理,矩形的判定和性质.解题的关键,是将代数问
题转化为几何模型,利用轴对称的性质,解决线段和最小问题.
9.C
【分析】①根据三角形内角和定理可得可得NAC3+/C4B=120。,然后根据AD平分
NBAC,CE平分NACB,可得ZFC4=g乙4CB,ZFAC^ZCAB,再根据三角形内角和定
理即可进行判断;
②当AD是,ABC的中线时,SABD=SADC,进而可以进行判断;
③根据=证明。他C为等边三角形,根据三线合一的性质进而可以进行判断;
④作ZAFC的平分线交AC于点G,可得NAFG=NCFG=NAEE=60。,证明
AEF^AGF(ASA),CDF^CGF(ASA),可得AE=AG,CD=CG,进而可以判断;
⑤过G作GM_LFC,GHLAF于点G,H,由④知,FG为N4FC的角平分线,可得
GH=GM,所以可得S,3:5FGC=AF,FC,根据.AEFg.AGF,CDF£CGF,进而可
以进行判断.
【详解】解:①在_ABC中,/ABC=60°,
:.ZACB+ZCAB=nO0,
•:AD平分NBAC,CE平分ZACB,
:.ZFC4=-ZACB,AFAC=ZCAB,
2
ZAFC=180°-(ZFC4+ZMC)=180°-(ZACB+ZC4B)=120°,故①正确;
②当AD是"C的中线时,$,即=590,故②错误;
③;AB=2AE,
:.CE为ABC的中线,
为/ACB的角平分线,
二AC-BC,
二A8C为等边三角形,
答案第5页,共27页
145,故③正确;
④如图,作NAEC的平分线交AC于点G,
由①得NAfC=120°,
二ZAFG=NCFG=60°,
二ZAFE=60°,
:.ZAFG=/CFG=ZAFE=60°,
ZEAF=ZGAF,NDCF=NGCF,
AAEF^.AGF(ASA),.CDF^CGF(ASA),
:.AE^AG,CD=CG,
CD+AE=CG+AG=AC,故④正确:
⑤过G作GMLFC,3万,人尸于点6,H,
由④知,FG为NAFC的角平分线,
:.GH=GM,
•••S.W:SFCC=AF:FC,
V,.AEF^AGF,-CDF—CGF,
SAFF~.SFnc=AF-.FC,故⑤正确.
综上所述:正确的有①③④⑤,共4个,
故选:C.
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质,等边三角形的性质,等腰三角形的性质与判
定,三角形全等的性质和判定,作辅助线,构建三角形全等是解题关键.
10.B
【分析】如图,过点Z)作QM-Ly轴,过点C作CN_Lx轴,设。4=。,OB=b,证明
DMA^.AOB^^VC(AAS),并得到C(a+b,A),。(。,4+3,根据反比例函数的性质得
答案第6页,共27页
b^a+b')=a(a+b),^a=h,继而得到△BEF是等腰直角三角形,己知△BEF的面积为S,
k1
可得5啊=5+12=T(5。-。*2。,又因为。(a,2。)在反比例函数的图象上,可得左=2凡
即可求出a=2,%=8,再求出直线EF的表达式,利用方程组确定点尸的坐标,求出PE和
CE,即可得出的面积.
【详解】解:如图,过点。作轴,过点C作CNLx轴,设。4=a,OB=b,
:.ZDMA=ZCNB=ZAOB=90°f
•・,四边形"CO是正方形,
:.AD=AB=BC,ZDAB=ZABC=90°f
:.NMDA+ZMAD=ZM4O+NQ48=90°,
ZOBA+ZOAB=ZOBA+ZCBN=90°,
:.ZMDA=ZOAB=/CBN,
•・•在△OM4和403中,
4MDA=NOAB
<ZDMA=ZAOBf
AD=AB
・・.DM4g一AQB(AAS),
/.AM=OB=b,MD=OA=a,
・・•在498和BNC中,
ZOAB=ZCBN
</AOB=/CNB,
AB=BC
;._AO哙BNC(AAS),
:.OB=NC=b,OA=NB=a,
答案第7页,共27页
/.C(a+b,b),D^a,a+b),
又•:C(a+b,b),。(“々+。)在反比例函数y=、(攵。0)的图象上,
.力(a+Z?)=q(a+Z?),
*a+Z?wO,
a=b,
・OA=OB,
.ZABO=45°,ZEBF=900-ZABO=45°,
•EFLBE,
•△跳尸是等腰直角三角形,
•BC=EC,
・E(3a,2a),F(5tz,O),
BEF=g+12=;x(5a-a)x2a,
*5
--+\2=4a2,
2
.£>(q,2a)在反比例函数y=§ZwO)的图象上,即%=2/,
・。=2,k=8,
Q
.£(6,4),尸(10,0),反比例函数的表达式为y=1,
设:直线EF的表达式为y
4=mx6+nm=-\
031。+〃,解得:
w=10
・,・直线EF的表达式为y=-x+\0,
8
y=X=5+yfV7X=5-y/n
X,解得:■或<
.--旧一y=5+V17,
y=-x+10
...P(5+屈,5-后),
”(6,4),C(4,2),
/.PE=^(5+>/i7-6)2+(5-7i7-4)2=同/_*=用-近,
CE=7(4-6)2+(2-4)2=2夜,
答案第8页,共27页
SECP=;义CE义PE=2立X1用一吟=2屈-2,
故选:B.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的特征,正方形的性质,全等三角形的判定和性
质,求一次函数的解析式等,利用设出的。4=“,OB=b表示出相关点的坐标是解答本题的
关键.
11.5
【分析】首先根据平均数的定义列二元一次方程组并求出a、b的值,即可确定两组数据的
值,再将数据合并,按从小到大的顺序排序,然后根据中位数的定义确定这组新数据的中位
数即可.
【详解】解:根据题意,
3+2。+5+6r
4-[a=6
可得,”,解得八,,
a+4+2b/\h=4
--------------=61
I3
,这两组数据为3,12,5,4与6,4,8,
将这两组数据合并后,按从小到大的顺序排序为3,4,4,5,6,8,12,
.•.这组新数据的中位数是5.
故答案为:5.
【点睛】本题主要考查了平均数、中位数以及二元一次方程组的应用,解题关键是根据题意
列二元一次方程组求出久6的值.
12.1011
【分析】根据新运算法则可得工-'=2,即x-y=2外,代入原式化简即可求解.
【详解】解:由题意得:
x*y=2,即工-1=2,贝!]:x-y=2xy,
yx
则垩出=迎生=1。”,
x-y2xy
故答案为:1011.
【点睛】本题考查了分式的化简求值,理解新运算法则,将已知化为未知的形式进行化简是
解题的关键.
13.①③
【分析】由抛物线的开口方向判断。的符号,由抛物线与)'轴的交点判断c的符号,然后根
答案第9页,共27页
据对称轴及抛物线与X轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
【详解】解:①由图象可知:。>0,
-±>o,
2a
b>0,
cibc<0,故①正确;
②当x=—l时,y=a-h+c<0f
:.b>a+caLb<a+c,故②错误;
③当x=3时,函数值小于0,y=9〃+3b+c<0,且工=一~—=1,
2a
即a=_2,弋入得9(-2)+3〃+C<0,得c<*b,
222
b>0,
:.c<4b,故③正确;
④当x=l时,>的值最大.此时,y=a+b+c,
而当x=%时,y=ak2+hk+c,
所以a+b+c>a《2+bk+c
故a+b>a心+bk,B|Ja+b>k(ak+b),故④错误.
故①③正确.
故答案为:①③.
【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系,二次函数),=以2+/»+。系数符
号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定,灵活
运用二次函数的性质是解题的关键.
14.—7C-V3
3
【分析】先求出直线y=-3x+逑,再确定C点的运动轨迹是以点8为圆心,8c为半
33
径的圆,可知所求面积为弓形,利用扇形和等边三角形的面积公式即可求解.
答案第10页,共27页
:点8的坐标是(2,2),
/.A(2,0),C(0,2),
・•,直线y=经过点A,
••b=----,
3
.古国\/32y/3
33
•.•/。4/=30。,/84尸=60。,点。由C至IJO的运动过程中,线段3C'扫过的图形是扇形,
二当点。与。重合时,点C'与A重合,且线段BC'扫过的图形与△GMF重叠部分是弓形,
;•当点C在直线y=一立》+辿上时,BC=BC=AB,
33
,△ABC'是等边三角形,
,ZABC'=60。,
•••重叠部分的面积为71X60X4一且x4=2w-6,
36043
故答案为:,K-&.
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质,扇形的面积公式,等边三角形的判定和性质,
能够根据题意确定C点的运动轨迹是以点8为圆心,8c为半径的圆是解题的关键.
15.③④
【分析】①利用折叠和平行线的性质可知ND4B=NABE,从而利用等角对等边即可证明;
②利用相似三角形的判定判断即可;③首先证明VD3ESVZMB,然后利用相似三角形的性
质即可证明;④利用折叠的性质及勾股定理即可证明.
【详解】①由折叠可知NC48=ND48,
VZACB=90°,BE上BC,
答案第11页,共27页
BE//AC,
:.ZCAB=ZABE,
,ADAB=ZABE,
;.AE=BE,①正确;
@VZACB=90°,AC=3,8c=6,
,AB=,+(可=26
:.ABAC=30°,ZABC=60°,
":NEBA=NEAB,
由折叠性质可知48C=NAM=60。,ZBAC=^BAD=30°,
即:NEBA=NEW=30。,
贝|JZ£>BE=3O°,由N£>BE=ZR4C=30。,NBDE=NC=90°,
可得ABEfJs"BC,②正确;
③在②中有△BE£)s△ABC,再根据折叠可知:ABD^ABC,
..BDDE
即nn有:V8EZ)sVA^£),n即n有:———t
ADBD
即有:BD1=ADDE>③正确;
向
④由tanAADF=—及NDEB=60°,作FG,DE于点、G,
2
由题易得:BD=BC=上,DE=T,AD=AC=3,BE=AE=2,
由tan/AQF=4,设GF=W,DG=2a,
2
由NOE8=60°得GE=a,
由DE=DG+GE=2a+a=\ai^a=~,
3
则6尸=^^,——,
33
答案第12页,共27页
在Rt^A月G中由勾股定理可得AF=豆叵,④正确;
3
故答案为:①②③④,.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质,勾股定理,折叠的性质,三角函数,掌握
这些性质是关键.
16.2173
【分析】作N3EF=30。,交AB于点G,过点A作AF_L所,垂足为尸,证明
AFEW.ECD(AAS),可得FE=9,设:BG=m,则AG=6-,w,EG=2m,FG=9-2m,
A(ZFG
证明AG/sEGB,根据相似三角形对应边成比例可得多=会,即可解出机,即可求出
EGBG
VADE的面积.
【详解】解:如图,作N8£F=30。,交AB于点G,过点A作AFLEF,垂足为F,
二ZF=90°,
V?B90?,
二ZAE8=90°-ZR4£,
,?NBEF=30。,
:.ZAEF=ZAEB-ZBEF=900-ZBAE-30°=60°-/BAE,
・••V4)E是等边三角形,
AZAED=6O°,AE=DE,
:./DEC=180°-ZAEB-ZAED=180°-(90°-ZBAE)-60°=30°+ZBAE,
又,:ZC=90°,
Z./EDC=90°-ZDEC=90°-(30°+ZBAE)=60°-ZBAE,
二NEDC=ZAEF,
•••在话和EC。中,
答案第13页,共27页
ZAEF=/EDC
<ZF=ZC=90°
AE=DE
:..AFE^ECD(AAS),
;・FE=CD=9,AF=CE,
设:BG=m,贝ljAG=6—6,
,?NBEF=30。,
:.EG=2BG=2m,
:.FG=FE-EG=9-2m,
VZB=ZF=90°,ZAGF=/EGB,
:.AGFSHGB,
.AGFG
.6—m_9-2m右殂
••一,角毕存于m—4,
2mm
;・BG=4,EG=8,AG=2,FG=],
•,•BE=JEG?-5G2=荷-彳=4g,AF7AG?-FG。=依-F=也,
:.CE=AF=旧,
SADE~S榜形BAC。—SABE-SCDE>
SADE=gx(6+9)x[百+b)-gx6x46-gx9xe=2h/5,
故答案为:2173.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定及相似三角形的性质和判定,等边三角形的性
质等,熟练掌握全等三角形及相似三角形的性质和判定,并根据题目作出辅助线是解答本题
的关键.
17.(1)80km/h
【分析】(1)用两地间距离除以轿车在返回甲地过程中所用的时间,即可求解;
(2)分别求出货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式,轿车从乙地返回甲地的函数关系
答案第14页,共27页
式,再求出它们的交点,即可求解.
【详解】(1)解:根据题意得:轿车在返回甲地过程中的速度为三12三0;=80km/h;
3.5-2
(2)解:设货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式为^=匕》,
把点(3,120)代入得:
3K=120,解得:勺=40,
二货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式为V=40x,
设轿车从乙地返回甲地,离甲地距离与行驶时间的函数关系式为y=
把点(2,120),(3.5,0)代入得:
[2上,+6=120fA:,=-80
...「,解得:V,
[3.5K2+/?=0[b=280
...轿车从乙地返回甲地的函数解析式为y=-80%+280,
'_7
…[y=-80x+280,"二彳
联立得:=40.,解得:28。,
,当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇处离甲地的距离为晋km/h.
【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题,一次函数的应用,明确题意,准确从函数图
象获取信息是解题的关键.
18.⑴①②A(-2,—2),B(4,—8)
(2)ac<l,证明见解析
【分析】(1)①由抛物线乂=幺2+云与x轴只有一个公共点得到公=6_4.=从=。求出
b=Q,然后抛物线》=0^+版过点(1,_;).把坐标代入函数解析式即可求解;
②首先把A的坐标代入二次函数解析式中求出〃?,然后联立两个解析式解方程组得到A、B
两点坐标即可求解;
(2)ac<l,首先设此抛物线解析式为),=62+反+。,接着把(。,0)代入解析式得到
-b=ac+\,然后利用函数图象的示意图即可得到-《2c,即可得到acWl.
答案第15页,共27页
【详解】(1)①;抛物线%=奴2+加与X轴只有一个公共点,
A=/?2—4ac=b1=0,
;・b=0,
又;抛物线乂=ar2+云过点(1,-1).
.1
・・Cl——,
2
抛物线的解析式,=-夫2:
②当x=-2时,y=-lx(-2)2=-2,
/..A(—2,—2),
:.-2=2+k,
.,•左="4,
y2=r-4,
y=-x-4
联立10,
y=——x"
I2
(x=-2[x=4
解得。或u
[y=-2[y=-8
A(-2,-2),8(4,—8),
由题知a>0,将此抛物线y=a?+方向上平移c个单位(c>0),
答案第16页,共27页
其解析式为y=+加;+c,且过点(c,0),
ac2+反+c=0,
/.ac+〃+l=0,
/.-b=ac+\,
且当x=o时,y=j
—b>2ac,
/.ac+l>2ac,
•*.ac<\.
【点睛】此题分别考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与直线的交点坐标及抛物线与不等式
的关系,综合运用以上知识是解题的关键.
19.(1)33;(2)详见解析;(3)满足条件的四位数有3209,3218,3225,3230.
【分析】(1)直接根据定义求解可得;
⑵先根据定义,化简求出尸(旃)一网两),将。=6+2代入,发现刚好是4倍关系;
(3)尸(西)=3,+2,+*2+>,根据x、y都必须是0至9之间的整数,可判断求解.
【详解】解:(1)F(2137)=24+13+32+7'=16+1+9+7=33;
(2)F(abed)-F^abed)
=R“+b}+c2+d)-(a”+bf+e2+")
=c2-e"2
答案第17页,共27页
•/c=e+2,
原式二(6+2)、/
=4e+4
=4(e+l).
':e>0,且e是整数,.•.4(e+l)是4的倍数.
所以,当c=e+2时,尸(旃)一网疯)的结果一定是4的倍数.
(3)VF(32^)=34+23+x2+y,
34+23+x2+产98.即V+),=9.
V0<y<9,.,.0<X2<9.
••.04x43,且X为整数.
A。=闯[尸九=L8,或[x>=25,,或]x…=3,
所以,满足条件的四位数有3209,3218,3225,3230.
【点睛】本题是定义新运算的运用,解题关键是根据题干定义的运算规则进行转化求解.
20.(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析
【分析】(1)延长AM到点N,使连接BM先证得AW8N四△MC4,得到NBNM
=NCAW,NB=AC,从而得到BN〃AC,NB=AG,进一步得到/GAE,根据SAS
证得ANBA咨AGAE,即可证得结论;
(2)由"VBA丝ZXGAE得N8AN=NAEG,进一步求得/HAE+/AEa=90。,即可证得/AHE
=90°,得到4H_LEG;
(3)连接CE、BG,易证AACE丝/XAPG,得出CELBG,根据勾股定理得到Et^+BCZn
CG2+BE2,从而得到2(AB2+AC2).
【详解】(1)证明:延长AM到点N,使MN=MA,连接BN,
答案第18页,共27页
G
H
E
MP。
\J/
Nc*
,.工用是^ABC中3c边上的中线,
:・CM=BM,
在4^8"和4MCA中
AM=MN
<ZAMC=4NMB
CM=BM
•••△M3N0△MCA(SAS),
:・/BNM=NCAM,NB=AC,
:.BN〃AC,NB=AG,
・・・NNBA+N8AC=180。,
ZGAE+ZBAC=360°-90°-90°=180°,
:・/NBA=/GAE,
在^可b4和4GAE中
NB=AG
,/NBA=4GAE
BA=EA
:.XNBAeAGAE(SAS),
:.AN=EG,
:.AM=^EG;
(2)证明:由(1)ANBA出△GAE得NBAN=NAEG,
•/ZHAE+ZBAN=\S00-90°=90°,
AZ/7AE+ZAEH=90°,
・・・ZAH£=90°,
即AHLEG;
(3)证明:连接CE、BG,
答案第19页,共27页
,/四边形ACFG和四边形ABDE是正方形,
,AC=AG,AB=AE,ZCAG=ZBAE=90°,
二NBAG=NCAE,
Z.△ACEdABG
:.CE±BG,
:.EG+B-CG+BE2,
J.E^+BC2^!C+AC2).
【点睛】本题是四边形的综合题,考查了正方形的性质,三角形全等的判定和性质,平行线
的判定和性质,勾股定理的应用等,作出辅助线构建全等三角形是解题的关键.
21.(1)60°
(2)①。。与8相切;②APC="Y"
3
(3)CF的最大值为3cm,此时AC_LPE
(4)当0<r<l时或17V<21时,点N在圆内部;
【分析】(1)根据菱形的性质易证4人。。为等边三角形,根据同弧所对的圆周角相等即可
得到/APE的度数;
(2)①先找出。。与AO相切时的情况,根据切线长定理即可证明。。与C。相切;②根据
切线长定理和菱形的性质,可求得圆的半径,根据弧长公式即可求解;
(3)要使CF取得最大值,则AF应该取最小值,当ACLPE时,AF最小,此时CF取得最
大值,求出即可;
(4)分两种情况进行讨论,当户在AB上时和当点P在BC上时.
【详解】(1)解:...四边形A5CD为菱形,ZB=60°,
.•.NQ=NB=60。,AD=CD,
.♦.△AC。为等边三角形,
二ZACE=60°,
答案第20页,共27页
ZAPE=ZACE=60°,
故答案为:60°.
①•••四边形ABC。为菱形,
:.AD=CD,
:。0与A。相切,
,。。与C。相切;
②连接OD,
由(1)可知,ZADC=6Q°,
,:AD,CD分别与。O相切,
,ZADO=^ZADC=30°,
.,M(9=A£)xtan30o=12x—=473,
3
由图可知:CF^AC-AF,
":AB=BC,ZB=60°,
...△ABC为等边三角形,则4c=12cm,NACB=60。,
;•要使CF取得最大值,则4尸应该取最小值,
当AC_LPE时,A尸最小,此时CF取得最大值,
•.•点。为△APC外接圆圆心,
OA=OC=OP=—AC=6cm,
2
答案第21页,共27页
•/ZACB=60°,
/.CF=CP.cos60°=3cm,
综上:CF的最大值为3cm,此时ACLPR
(4)①当点P在AB上时,
•・•四边形APCE为圆的内接四边形,
,NAPC+NA£C=180。,
,?ZAED++ZAEC=180°,
・・・ZAPC=ZAEDf
在△4尸。和4DEA中,
AC=AD9ZR\C=ZDfZAPC=ZAEDf
:.AAPC^ADEA,
:・AP=DE,
当点E与点N重合时,DE=DN=AP=4f
AMP=4-3=lcm,
当0<《l时,点N在圆内部;
②当点尸在BC上运动时,
•・•ZA£P=ZACP=60°,
・・・△APE为等边三角形,
:.AP=AE9ZB4£=60°,
*/ZBAC=60°,
:.ZBAP=ZCAEf
答案第22页,共27页
在4区4尸和4CAE中,
AB=AC,NBAP=/CAE,AP=AE,
.♦.△BAP0△CAE,
:.BP=CE,
当点E与带你N重合时,CE=CN=BP=12-4=8cm,
当点P到达点C时,U21s,
当17y<21时,点N在圆内部;
综上:当OU<1时或17V<21时,点N在圆内部.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质,切线长定理,以及和圆相关的内容,熟练掌握相关知
识点是解题的关键.注意在解题过程中灵活运用”同弧所对的圆周角相等''这一定理.
22.(1)见解析;(2)8,7;(3)m或叵加
3
【分析】(1)根据菱形的性质可得4
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