专题13 垂美四边形模型与378、578模型（原卷版）

专题13垂美四边形模型与378、578模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、垂美四边形模型规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形图1图2图3条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。【变形1】条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP；结论：DP2+BP2=AP2+PC2【变形2】条件：如图3，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP；结论：AP2+PC2=DP2+BP2用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。例1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则____________．例2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形的对角线，互相垂直，若，，则的长为（

）A．2.5 B．3 C．4 D．例3．（2023·江苏南通·九年级校考期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝时，四边形ABCD的面积最大．例4．（2023·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为_____．例5．（2022秋·江苏·八年级专题练习）我们给出如下定义：若一个四边形中，从一个顶点出发的两条边与一条对角线满足：两条边的平方和等于该对角线的平方，则称这个四边形为“爪勾股四边形”．如图1，四边形的顶点都是正方形网格中的格点，每个小正方形的边长为1，，则称四边形是“爪勾股四边形”．（1）如图1，在正方形网格中找一格点（异于点），使四边形是“爪勾股四边形”，并画出四边形；（2）如图2，，，，连接、，且．求证：四边形是“爪勾股四边形”．例6．（2022春·江西上饶·八年级统考期末）定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．(1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果，，，则______，______．(2)猜想论证：如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．(3)拓展应用：如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知，，求GE长．模型2、378和578模型当我们遇到两个三角形的三边长分别为3，7，8和5，7，8的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为8的等边三角形。条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时；结论：①这两个三角形的面积分别为63、103；②3、8与5、8夹角都是60°。例1．（2023·山东八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°例2．（2022·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°例3．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高．例4．（2023·成都市·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（

）A．24 B．56 C．48 D．112例5．（2023·河北·八年级校考阶段练习）若△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边长分别为5，2x，3x－5，若这两个三角形全等，则△DEF的周长为______________，x的值为_______________．例6．（2023·重庆·八年级专题练习）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则△ABC的面积为．课后专项训练1．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形内任意一点，连接，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．2．（2023·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是（

）A．16 B．32 C．36 D．643、当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是．4．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等于．5．（2023·河北·八年级专题练习）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为．6．（2023春·湖北·八年级期中）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是；如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为．7．（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于，若，，则．

8．（2023春·广西崇左·八年级统考期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则．9．（2023·山东·八年级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．10．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．

(1)性质探究：如图1，已知四边形中，，垂足为，求证：；(2)解决问题：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰．如图2，当，连接，求．11．（2023·江西九江·八年级统考期末）模型介绍（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即AB2+CD2=BC2+AD2，请结合图1证明这个结论．（2）如图2，在长方形ABCD中，AB=6，P是AD边上一点，且AP=2PD，CP⊥BD，求AD的长．12．（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．(2)性质探究：如图1，试探索垂美四边形两组对边、与、之间的数量关系并说明理由．(3)问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，，，已知，，求的值．

13．（2023春·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：在下列四边形中，正方形；矩形；菱形；平行四边形．是垂美四边形的是：______（填写序号）；(2)性质探究：如图，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：两组对边，与，之间的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，且与相交于点，已知，，求长．

14．（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是__________．(2)性质探究：如图2，已知四边形是垂美四边形，求证：．(3)问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，交于点，已知，，求的长．15．（2023春·河南新乡·八年级校考期中）小明学习了平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形．(1)【理解定义】在“平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中，一定是垂美四边形的是．(2)【探究性质】如图1，在垂美四边形中，对角线相交于点O，猜想之间的数量关系，并写出证明过程．(3)【综合运用】如图2，在中，，分别以为腰向外侧作等腰和等腰，且，连接．①图中哪个四边形是垂美四边形？并证明你的结论．②求的长（直接写出答案）．16．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E．求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵四边形ABCD是垂美四边形∴AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．拓展探究：（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=A