专题13.3 利用轴对称的性质解决将军饮马问题之五大题型（原卷版）

专题13.3利用轴对称的性质解决将军饮马问题之五大题型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【题型一在几何中找线段和最小值的点】 1【题型二三角形中线段和的最小值问题】 6【题型三在角中线段和最小值的问题】 13【题型四在全等三角形中线段和最小值的问题】 18【题型五实际问题中的最短路径问题】 22【典型例题】【题型一在几何中找线段和最小值的点】例题：如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．

(1)在（图①）直线上找出一点，使；(2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小；(3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大．【变式训练】1.如图，在平面直角坐标系中，点．(1)在图中作出关于y轴对称的；(2)在y轴上画出点P，使得最小，并直接写出点P的坐标．2．在如图所示的直角坐标系中，已知，，．(1)在图中画出，以及关于y轴成轴对称的；(2)的面积为______；(3)在x轴上找一点P，使得的周长最小（保留作图痕迹）．3．如图，三个顶点的坐标分别为，，．

(1)请画出向右平移5个单位长度后得到；(2)在x轴上找出一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标．【题型二三角形中线段和的最小值问题】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【变式训练】1．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（

）

A．7 B．9 C．10 D．142．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为；

3．在中，，D是边上一点，，E，F分别是边上的动点，则的最小值为．4．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为．

5．如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．(1)求的最小值，并说明理由．(2)求周长的最小值．6．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．(1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是；(2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；(3)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．【题型三在角中线段和最小值的问题】例题：（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图，，M是边上的一个定点，且，N，P分别是边上的动点，则的最小值是．【变式训练】1．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，点，分别是角两边、上的定点，，．点，分别是边，上的动点，则的最小值是．

2．（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．【题型四在全等三角形中线段和最小值的问题】例题：直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题．(1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线；(2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由；(3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值．【变式训练】1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．

(1)直接填空：与的位置关系是__________；(2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值；(3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？【题型五实际问题中的最短路径问题】例题：（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．2．如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米，(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．3．（2023春·全国·七年级专题练习）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．问题提出：(1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值．问题解决：(2)如图，