鄂州高中高三下学期月月考数学（理）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精鄂州高中2019—2020高三下学期3月月考理数一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1。已知集合，，若，则的子集个数为（）A。2 B。4 C。6 D.8【答案】D【解析】分析】先求出集合，再求出,即可得解。【详解】，即,,子集个数为个。故选：D。【点睛】本题考查了集合的运算和子集的概念，属于基础题.2.在复平面内,复数对应的点位于（)A.第一象限 B。第二象限 C。第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】试题分析：在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限,故选C．考点:复数的代数运算及几何意义．3.设为奇函数，当时，，则(）A。 B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】先计算，再利用奇函数的性质即可得解。【详解】由题意.故选：A。【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法和函数奇偶性的应用，属于基础题.4。设｛an｝为等比数列，{bn}为等差数列，且Sn为数列｛bn｝的前n项和.若a2＝1，a10＝16且a6＝b6，则S11＝（)A。20 B.30 C.44 D.88【答案】C【解析】【分析】设等比数列｛an｝的公比为q,由a2＝1,a10＝16列式求得q2,进一步求出a6，可得b6，再由等差数列的前n项和公式求解S11.【详解】设等比数列{an｝的公比为q，由a2＝1，a10＝16，得，得q2＝2。∴，即a6＝b6＝4，又Sn为等差数列｛bn｝的前n项和,∴。故选:C。【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题.5。设α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是()A.若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n⊥βB.若α⊥β，n∥α,则n⊥βC。若m∥α,m∥β，则α∥βD。若m⊥α,m⊥β，n⊥α,则n⊥β【答案】D【解析】【分析】根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．【详解】由α、β是两个不同平面，m、n是两条不同的直线，知：在A中，若α⊥β,α∩β＝m，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β,故A错误；在B中,若α⊥β，n∥α，则n与β相交、平行或n⊂β，故B错误；在C中，若m∥α，m∥β,则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，∴若n⊥α,则n⊥β，故D正确。故选:D.【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力,是中档题。6.如图是数学界研究的弓月形的一种，是以为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A B。 C。 D。【答案】A【解析】【分析】由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解。【详解】不妨设六边形的边长为1,由题意得，,.故选：A.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题.7.已知函数的部分图象如图所示,则的解析式可以为（）A。 B。C。 D。【答案】D【解析】【分析】由图可得即可求出,图像过点即可求出，即可得解。【详解】由图像可知即，，，。又图像过点即，，,当时，。则.故选:D.【点睛】本题考查了三角函数解析式的确定和导数的应用，属于中档题。8.已知向量，向量在方向上的投影为，若,则实数的值为(）A。 B。 C。 D。3【答案】A【解析】【分析】设，转化条件得,，整体代换即可得解。【详解】设,在方向上的投影为，即。又,即，即,解得。故选：A。【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.9.已知双曲线的一条渐近线与轴所形成的锐角为,则双曲线的离心率为（）A。 B. C.2 D.或2【答案】C【解析】【分析】转化条件得，再利用即可得解。【详解】由题意可知双曲线的渐近线为，又渐近线与轴所形成的锐角为,，双曲线离心率。故选：C。【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题。10。设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为()A。 B. C。 D。【答案】B【解析】【分析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算与OE的距离,计算，即可．【详解】结合题意，绘制图形结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得,解得，故选B．【点睛】本道题考查了直线与平面平行的判定，难度较大．11.已知直线与直线相交于点,线段是圆的一条动弦,且，则的最大值为（）A。 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得点的轨迹为,将转化为点到弦的中点的距离的两倍，利用图形即可得解。【详解】由题意得圆的圆心为，半径,易知直线恒过点，直线恒过,且，点的轨迹为，圆心为，半径为，若点为弦的中点,位置关系如图：。连接，由易知。，.故选：D.【点睛】本题考查了直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系以及向量的线性运算，考查了转化化归思想和数形结合的思想，属于难题.12.已知不等式(,且）对任意实数恒成立,则的最大值为(）A。 B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】转化条件得,求出的最小值后即可得，可得，最后求出的最大值即可得解.【详解】由题意得恒成立，令，则，若,，单调递增，当时，不合题意；若，当时,，单调递减,当时,，单调递增,所以最小值为。,，令，则，当时,，单调递减，当时，，单调递增，，即的最大值为.故选：B。【点睛】本题考查了导数的应用和恒成立问题的解决方法，考查了转化化归的思想，属于难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13。已知，则的结果为____。【答案】【解析】【分析】转化条件得，，求出后即可得解.【详解】,即，即，.故答案为：.【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用和二倍角公式的应用，属于基础题.14.设样本数据的方差是5，若，则的方差为_______【答案】20.【解析】【分析】利用方差的性质直接求解即可.【详解】因为样本数据的方差是5，若，所以的方差为.故答案为：20【点睛】本题考查了方差的性质，属于基础题.15.某单位在庆祝新年的联欢晚会中，要安排一个有6个节目的节目单，要求歌曲和舞蹈相邻，且歌曲要排在舞蹈的前面；歌曲和舞蹈不相邻,且歌曲和舞蹈均不排在最后，则这6个节目的排法有____种.【答案】36【解析】【分析】先用捆绑法把歌曲和舞蹈看成一个整体，再和其他两个节目全排列,最后把歌曲和舞蹈插空即可得解.【详解】把歌曲排在舞蹈前面后把两个节目看成一个整体，再和其他两个节目全排列，有种排法，再用歌曲和舞蹈插空且均不排在最后，有种排法.所以共有种排法.故答案为：。【点睛】本题考查了排列组合的应用，属于基础题。16.在边长为的菱形中，,沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点在同一个球面上，则该球的表面积为____。【答案】【解析】【分析】取的中点，连接、，可知外接球的球心在面中，再作,分别求出与的长度后即可得解.【详解】如图1，取的中点,连接、,由已知易知面面,则外接球的球心在面中。由二面角的大小为可知.在面中,设球心为，作,连接，易知在面上的投影即为，平分，为的中心，,,，。故答案为：【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题。三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答)（—）必考题：共60分。17.已知向量,，设函。在中，角的对边分别是,.（1）求的大小;（2)若,，求的大小。【答案】(1）（2）【解析】【分析】（1）转化条件得，由即可得解;（2）转化条件得,利用正弦定理可得，利用余弦定理即可得解.【详解】根据题意得。（1）因为，且，所以（2)因为.所以,所以.因为，所以。根据正弦定理得。又由余弦定理，得，即，解得。【点睛】本题考查了向量数量积的运算、三角恒等变换和解三角形的应用，属于中档题.18。如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC＝EB＝1，AB＝4。(1)证明：平面ADE⊥平面ACD;（2)当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值。【答案】（1）证明见解析(2）【解析】【分析】（1）由BC⊥AC,BC⊥CD得BC⊥平面ACD，证明四边形DCBE是平行四边形得DE∥BC，故而DE平面ACD，从而得证面面垂直;（2）建立空间坐标系,求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小。【详解】(1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC,∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC,∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD,∵DC∥EB,DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE,∴平面ACD⊥平面ADE。（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1）,E(0，2，1）,A(2,0，0），B（0，2,0）,∴（﹣2，2,0),（0，0，1）,（0，2，0），（2，0，﹣1），设平面DAE的法向量为（x1，y1,z1），平面ABE的法向量为（x2，y2，z2）,则,,即，，令x1＝1得（1，0，2），令x2＝1得（1，1，0）.∴cos。∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角,∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为。【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算,属于中档题。19。2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段:，,…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（1)现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望;（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为．当最大时，求的值．【答案】（1)分布列见解析,（2)【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；的可能取值为0，1,2,由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值,即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望。（2）先求得年龄在内的频率,视为概率。结合二项分布的性质,表示出，令，化简后可证明其单调性及取得最大值时的值．【详解】（1）按分层抽样的方法拉取的8人中，年龄在的人数为人,年龄在内的人数为人．年龄在内的人数为人．所以的可能取值为0,1，2．所以,,,所以的分市列为012．（2)设在抽取的20名市民中，年龄在内的人数为,服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，所以，所以．设,若，则，；若,则，．所以当时，最大，即当最大时，．【点睛】本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法，二项分布的综合应用，属于中档题.20.已知椭圆G:的右焦点为F，过F的直线l交椭圆于A、B两点，直线与l不与坐标轴平行,若AB的中点为N，O为坐标原点,直线ON交直线x＝3于点M。(1）求证：MF⊥l;(2）求的最大值，【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意的方程可得右焦点F的坐标，由题意设直线l的方程与椭圆联立可得两根之和,求出AB的中点N的坐标，进而可得直线ON的斜率，求出直线ON的方程，令x＝3可得M的纵坐标，即求出M的坐标，求出直线MF的斜率可证得与直线l的斜率互为负倒数，所以可证得MF垂直直线l；（2）由（1）MF，AB的值，求出两者之比,由均值不等式可得的最大值。【详解】（1)由椭圆的方程开发右焦点F的坐标(2,0），有题意设直线AB的方程为x＝my+2，设A（x1，y2),B(x2，y2），整理可得（3+m2)y2+4my﹣2＝0，y1+y2，y1y2，所以AB的中点N的纵坐标yN，代入直线AB的方程可得N的横坐标xN2,即N（,），所以kON，所以直线ON的方程为:yx，令x＝3，所以y＝﹣m,即M（3，﹣m），所以kMFm，而，所以kMF•＝﹣1,所以MF⊥l；（2）由（1)可得|MF|，|AB|｜y1﹣y2|，所以,当且仅当，即m＝±1时取等号。所以的最大值为。【点睛】本题考查线段的中点的求法，即两条直线的交点的求法和直线垂直的求法，即直线与椭圆的综合，解题中使用了设而不求的思想方法,这是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，本题属于中档题.21。已知函数.(1）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围;（2）已知函数，，若是的极大值点,求的取值范围.【答案】(1)（2）【解析】【分析】(1）转化条件得，利用导数求出在区间上的最小值即可；（2）求导得,由极大值可得可知且，则,利用导数求出在的值域即可得解。【详解】(1)若不等式在上有解，则。因为，所以.令，，则易知在上单调递减，且,。故存在，使得在区间上单调递增,在区间上单调递减。所以，当时，，故实数的取值范围为。（2)由题意知，所以,.记，则，所以,仅在在区间上单调递减。若是的极大值点，则,且,所以，记，则.所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增,易知,，，所以，当时，,所以,，即取值范围为.【点睛】本题考查了导数的应用和存在问题的解决方法,考查了转化划归思想和计算能力，属于难题。(二）选考题：