考研数学二分类模拟241

考研数学二分类模拟241解答题1.

设f(x)在[0，1]上可微，且满足

求证：在(0，1)内至少存在一点ξ，使．正确答案：证明：由式①及积分中值定理知，存在，使

所以

f(1)=ξ1f(ξ1)②

令F(x)=xf(x)，则F(1)=1，f(1)=ξ1f(ξ1)=F(ξ1)，故F(x)在[ξ1，1]上满足罗尔中值定理的条件，故存在，使得F'(ξ)=0，即．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

2.

设h(x)是[a，b]上的正值连续函数，求证：．正确答案：证明：在上题的施瓦兹不等式中，令，即证得结论．[考点]一元函数微积分

3.

求．正确答案：解：由，得

[考点]函数、极限

4.

设求．正确答案：解：由

x2+y2=(eucosv)2+(eusinv)2=e2u

得，．

又由，则，于是

[考点]多元函数微分学

5.

设αi=(ai1，ai2，…，ain)(i=1，2，…，m)为齐次线性方程组

①

的行向量，已知方程组①有非零解β=(b1，b2，…，bn)T，且行向量的秩r(α1，α2，…，αm)=m．证明：向量组α1，α2，…，αm，βT线性无关．正确答案：证1：用定义．设

k0βT+k1α1+k2α2+…+kmαm=0②

式②两边右乘β，得

k0βTβ+k1α1β+k2α2β+…+kmαmβ=0③

因β是方程组①的非零解，故有αiβ=0(i=1，2，…，m)，且ββT≠0，从而由式③得

将k0=0代入式②得

k1α1+k2α2+…+kmαm=0④

由于r(α1，α2，…，αm)=m，即α1，α2，…，αm线性无关，故k1=k2=…=km=0，即证得α1，α2，…，αm，βT线性无关．

证2：因r(α1，α2，…，αm)=m，故α1，α2，…，αm线性无关．要证α1，α2，…，αm，βT线性无关，只需证βT不能由α1，α2，…，αm线性表出，用反证法，假设βT可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，设为

βT=k1α1+k2α2+…+kmαm⑤

式⑤两边右乘β，因αiβ=0(i=1，2，…，m)，故

βTβ=k1α1β+k2α2β+…+kmαmβ=0

这和β是方程组的非零解即矛盾，故βT不能由α1，α2，…，αm线性表出，从而可知α1，α2，…，αm，βT线性无关．[考点]线性方程组

A是任意n阶矩阵，证明：6.

A+AT是对称矩阵，A-AT是反对称矩阵；正确答案：证明：(A+AT)T=AT+(AT)T=A+AT，故A+AT是对称矩阵；

(A-AT)T=AT-(AT)T=AT-A=-(A-AT)，故A-AT是反对称矩阵．[考点]矩阵

7.

任何n阶方阵都可以表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和．正确答案：证1：因为，再由第一小题的结论，命题成立．

证2：设A可表示成

A=B+C

①

其中B是对称矩阵，C是反对称矩阵，即BT=B，CT=-C，则AT=BT+CT，从而

AT=B-C

②

①+②，得，①-②，得．故

所以，得证．[考点]矩阵

8.

讨论下列函数

的可导性．正确答案：解：对于f(x)，当x0≠0时，由于

因此f(x)在x0处不连续，所以不可导．

当x=0时，由于上式当x→0时极限不存在，因此f(x)在x=0处也不可导．

同理，对于g(x)，当x0≠0时，g(x)在x0处也不连续，从而也不可导．而

所以g'(0)=0．[考点]一元函数微积分

9.

设n个方程的n元齐次线性方程组的系数矩阵A的行列式等于0，并且A的第k行l列元素akl的代数余子式Akl≠0．证明：η=(Ak1，Ak2，…，Akn)T是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系．正确答案：证明：由于Akl≠0，因此A有一个n-1阶子式不为0．又因为|A|=0，所以r(A)=n-1．则Ax=0的基础解系中所含向量的个数为n-r(A)=n-(n-1)=1．

考虑Ax=0的第i个方程：ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0．

当i≠k时，利用行列式展开式的性质，有ai1Ak1+ak2Ak2+…+ainAkn=0．

当i=k时，有ai1Ak1+ai2Ak2+…+ainAkn=ak1Ak1+ak2Ak2+…+aknAkn=|A|=0．

因此，η=(Ak1，Ak2，…，Akn)T是Ax=0的一个解．由于Akl≠0，因此η是非零解，从而η线性无关，即η是Ax=0的一个基础解系．[考点]线性方程组

10.

若f(x)在[a，b]上连续，证明：f(x)可以取到f(a)，f(b)之间的一切值．反之，若f(x)可以取到f(a)，f(b)之间的一切值，讨论f(x)在[a，b]上是否连续．正确答案：解：若f(x)在[a，b]上连续，则由连续函数的介值定理，f(x)可以取到f(a)，f(b)之间的一切值；反之不一定．例如

则f(x)的值域为[0，3]，显然f(x)能取到f(0)=0，f(3)=3之间的一切值，但f(x)在x=1，x=2处不连续．

所以，当f(x)可以取到f(a)，f(b)之间的一切值时，f(x)在[a，b]上不一定连续，如图所示．

[考点]函数、极限

11.

设f(u)是可微函数，求全微分的原函数．正确答案：解：根据

推知所求原函数存在．所求原函数为

[考点]多元函数微积分

证明：12.

；正确答案：证明：利用的递减性，有

依此对前半不等式的k=1，2，…，n-1所得n-1个不等式进行相加，即得本题所要证明的不等式右边；依此对后半不等式的k=1，2，…，n所得n个不等式进行相加，即得本题所要证明的不等式左边．[考点]一元函数微积分

13.

．正确答案：证明：由上一小题的结论，当n→∞时，有

于是结论成立．[考点]一元函数微积分

14.

设f(x)是(0，+∞)上单调递减的连续函数，试证：对任意a≥0都有不等式

其中D={(x，y)|0≤x≤a，0≤y≤x}．正确答案：证明：将二重积分化为先对y后对x的二次积分，有

记

由于f(x)是单调递减的函数，因此f(x)＞f(a)，故F'(a)≥0．再由F(0)=0，故对任意a≥0，有F(a)≥F(0)=0，因此．[考点]二重积分

15.

设g(x)在[0，+∞]上有二阶导函数，试问：当a，b，c为何值时，函数

在x=0处有二阶导数f"(0)．正确答案：解：因为g(x)在[0，+∞)上有二阶导函数，所以g(x)，g'(x)在x=0处右连续，且g"+(0)存在．又因为f(x)在x=0处有二阶导数，所以f(x)，f'(x)在x=0处连续，从而有

于是

因为f(x)在x=0处二阶可导，所以f"+(0)=f"-(0)=f"(0)．而

由此得2a=g"+(0)，从而．于是得

[考点]函数、极限

16.

确定常数a，使向量组α1=(1，1，A)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T线性表出，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表出．正确答案：解：记A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)．由于β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表出，所以A的秩r(A)＜3，从而行列式

解得a=1或a=-2．

当a=1时，α1=α2=α3=β1=(1，1，1)T，显然α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表出，而β2=(-2，1，4)T不能由向量组α1，α2，α3线性表出，即a=1符合题意．

当a=-2时，考虑

再考虑非齐次线性方程组Bx=α2，由上述阶梯型矩阵可知，r(B)=2，而r(B，α2)=3，则方程组Bx=α2无解．即α2不能由向量组β1，β2，β3线性表出，所以a=-2不符合题意，应舍去．

综上a=1．[考点]向量

设A是3×4阶矩阵且r(A)=1，设(1，-2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(-1，2，0，1)T，(2，-4，3，a+1)T均为Ax=0的解．17.

求常数a；正确答案：解：因为r(A)=1，所以方程组Ax=0的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，-2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(-1，2，0，1)T，(2，-4，3，a+1)T线性相关，即

解得a=6．[考点]线性方程组

18.

求方程组Ax=0的通解．正确答案：解：因为(1，-2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(-1，2，0，1)T线性无关，所以方程组Ax=0的通解为x=k1(1，-2，1，2)T+k2(1，0，5，2)T+k3(-1，2，0，1)T(k1，k2，k3为任意常数)．[考点]线性方程组

19.

设矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，αi(i=1，2，3，4)均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，向量b=α1+α2+α3+α4，求方程Ax=b的通解．正确答案：解：由已知可得Ax=0的基础解系中只含有一个向量．

由α1=2α2-α3得

再由

b=α1+α2+α3+α4

得

故通解为x=k(1，-2，1，0)T+(1，1，1，1)T，k为任意常数．[考点]矩阵、向量、方程组

20.

设A为实矩阵，B=AAT，且，求A.正确答案：解：因，故aij=0，i=1，2，…，n；j=1，2，…，n．故A=0．[考点]矩阵

21.

证明：向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性相关向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出．正确答案：证明：必要性．设α1，α2，…，αs线性相关，则有不全为0的数k1，k2，…，ks，使得

k1α1+k2α2+…+ksαs=0

设ki≠0，则由上式得

充分性．设αj=l1α1+…+lj-1αj-1+lj+1αj+1+…+lsαs，则l1α1+…+lj-1αj-1+(-1)αj+lj+1αj+1…+…+lsαs=0．从而α1，α2，…，αs线性相关．

注由本例的结论显然可得，向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关向量组中每一个向量都不能由其余向量线性表出．[考点]向量

22.

设z=siny+f(sinx-siny)，其中f为