2023年新课标全国卷2理科数学模拟卷一

2023年新课标全国卷2理科数学模拟卷一

（考试时间:120分钟试卷满分:150分）

第I卷选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1.已知i是虚数单位，则复数等=（）

A.-2+iB.iC.2-iD.-i

2.已知集合M={x|f-4x<0},N={x<2X<则MUN=（）

A.[-2,4）B.（-2,4）

C.（0,2）D.（0,2]

3.采纳系统抽样的方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为

1,2,3,…』000,适当分组后，在第一组中采纳简洁随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号

落在区间[1,400]上的人做问卷A,编号落在区间[401,750]±的人做问卷B,其余的人做问

卷C,则抽到的人中，做问卷C的人数为（）

A.12B.13C.14D.15

4.已知命题p:函数产111（/+3）+号左的最小值是2;命题光>2”是5>1”的充分不必要

条件.则下列命题是真命题的是（）

A.pA^B.（Dp）A（D（7）

C.（Elp）八qD.pA（D^）

22

5.已知点A是抛物线G：V=2px（p>0）与双曲线。2喘一篇=1（。>0力>0）的一条渐近线的交

点，若点A到抛物线Ci的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于（）

A.V2B.V3C.V5D.V6

6.（次彳）2的绽开式中含光的正整数指数累的项的个数是（）

A.lB.2C.3D.4

7.若数列他”}是等差数列，则下列结论正确的是（）

A.若02+“5>0,则ai+a2>0B.若ai+“3<0,则ai+成<0

C.若0<。1<。2,则。3>皿2a4D.若。1<0,则（。2-。1）（。4-。2）>0

8.

如图，正四棱锥P-ABC。底面的四个顶点A,8,C,O在球。的同一个大圆上，点P在球面上,

若匕E四盛「次/4专,则球。的表面积是()

A.4兀B.8兀

C.12兀D.16兀

3%+y-2<0,

9.已知变量满意线性约束条件次工<2,若目标函数z=fcc-y仅在点(0,2)处取得

、y>-x-i,

最小值，则攵的取值范围是()

A.A<-3B.Z>1

C.-l<k<lD.-3<K1

10.某几何体的三视图如图所示，当a+h取最大值时，这个几何体的体积为()

正视图侧视图

俯视图

11.已知M是AABC内一点(不含边界)，且说•前=2百，/氏4C=3O°.若

△MBCqMCA,4MAB的面积分别为x,y,z,记/(x,y,z)=：+(+，则/<Xy,z)的最小值为()

A.26B.32C.36D.48

12.已知集合M={(x,y)|>=/a)},若对于随意存在(x2,y2)6M使得xix2+yiy2=0成

立，则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合：

①M={(x,y)|y=：卜②M={(x,y)|y=sin九+1};③M={(x,y)|y=k>g2%};④M={(x,y)|y=e，-2}.

其中是“商高线”的序号是()

A.①②B.②③C.①④D.②④

第II卷非选择题(共90分)

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）

13.

执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的加值为.

14.已知1x）是定义在R上的奇函数，当x20时次x）=3，+皿根为常数），则«-log35）的值

为.

15.关于函数y（x）=2（sinx-cosx）cosx的下列四个结论：

①函数/（x）的最大值为企；

②把函数_/U）=&sin2x-l的图象向右平移;个单位后可得到函数段）=2（sinx-cosx>cosx

的图象；

③函数/U）的单调递增区间为M++等快WZ;

④函数;U）的图象的对称中心为（4+，o）#ez.

其中正确的结论有个.

16.已知数列伍“｝满意3=±即|”尸竽"5》2）,则该数列的通项公式为.

三'解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）在中，角A,B,C的对边分别为a,0,c,已知A=*sinB=3sinC.

⑴求tanC的值；

⑵若a=>H，求XABC的面积.

18.（本小题满分12分）某青少年探讨中心为了统计某市青少年（18岁以下）2023年春节所

收压岁钱的状况进而探讨青少年的消费去向，随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱

的状况，得到如下数据统计表（图①）.已知"压岁钱不少于2千元的青少年”与“压岁钱少于

2千元的青少年”人数比恰好为2；3.

(1)试确定x,y,p,q的值，并补全频率分布直方图(图②)；

(2)该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向，将这60名青少年按“压岁

钱不少于2千元”和“压岁钱少于2千元”分为两部分，并且用分层抽样的方法从中抽取

10人，若需从这10人中随机抽取3人进行问卷调查设4为抽取的3人中“压岁钱不少于

2千元的青少年”的人数，求4的分布列和均值；

(3)若以频率估计概率，从该市青少年中随机抽取15人进行座谈，若15人中“压岁钱不少

于2千元的青少年”的人数为〃，求〃的均值.

压岁

频频

钱/千

数率

元

10,0.5)30.05

[0.5,1)XP

[1,1.5)90.15

[1.5,2)150.25

[2,2.5)180.3()

[2.5,31y

一q

合

计601.00

-

图①

图②

19.(本小题满分12分)

在如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形,EO〃FB,ED，平面

ABCD,AD=BD=2,BF=2DE=2y[2.

(1)求证力后_1。死

(2)求二面角A-FC-E的余弦值.

20.(本小题满分12分)已知椭圆。的中心在原点,焦点在％轴上，长轴长为4,且点(1,，)

在椭圆C上.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设尸是椭圆。长轴上的一个动点，过点P作斜率为西勺直线/交椭圆C于两点，求

证:|PA|2+|P8|2为定值.

21.(本小题满分12分)已知函数於户-炉+在^6对召㈤满意g3=?(4eR,x>0),且

g(e)=a,e为自然对数的底数.

(1)已知/心)=/-次为,求曲线g)在点(1,九(1))处的切线方程；

⑵若存在xd[l,e],使得g(x)X+(a+2)x成立，求a的取值范围；

⑶设函数凡；’0为坐标原点，若对于尸产(幻在xW-1时的图象上的任一点

P,在曲线y=F(x)aGR)上总存在一点。，使得方­丽<0,且PQ的中点在y轴上，求a的

取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题评分.

22.(本小题满分10分)选修4—:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点2轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线

+VT2

C:pcos20=2asin。3>0),过点P(-4,-2)的直线/的参数方程为]2

-4(r为参数)，直线

(7-2+VT2

2

/与曲线C分别交于点M,N.

(I)写出C的直角坐标方程和/的一般方程；

⑵若|PM,|MN|,|PN|成等比数列，求a的值.

23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

已知函数.*x)=|x-l|+|x+l|.

(1)求不等式/U)23的解集；

⑵若关于x的不等式式》)>层4+级在R上恒成立,求实数a的取值范围.

参考答案

2+3i_(2+3i)(3+2i)_13i_.

1.B解析(方法一)3-2i-(3-2i)(3+2i)-17T

(方法-、2+3i_(2+3i)i_(2+3i)i_.

(7'.1>3-21=(3-2i)i=2+3i-L

2.A解析M={x\0<x<4},^={x|-22],：.MUN=[-2,4).

3.A解析若采纳系统抽样的方法从1000人中抽取50人做问卷调查，则须要分为50组,

每组20人若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88/08,…，

所以编号落在区间［1,400］上的有20人,编号落在区间［401,750］上的有18人.所以做问卷

C的有12人.

4.C解析因为命题p为假命题，命题q为真命题，所以Op)A4为真命题.

5.C解析因为点A到抛物线Ci的焦点的距离为p,所以点A到该抛物线准线的距离为

p.所以点A的坐标为啰，±p).所以双曲线C2的渐近线方程为产±2x.所以，=2.所以

Z?2=4a2.又b1=c1-cr,^以。2=54.所以双曲线。2的离心率为V5.

6.B解析(匠：厂的绽开式中第什］项为4(伪12工(-/=(-1)幻；2%6亨.当6专为正

整数时，可知r=0或r=2,故(«-£)12的绽开式中含X的正整数指数幕的项的个数是2.

7.C解析设等差数列｛〃“｝的公差为d,若。2+〃5>0,则a\+a2=(a2-d)+(a5-3d)=(a2+a5)-4d.

由于d的正负不确定，因而0+G2的符号不确定，故选项A错误.

若41+々3<0,则0+。2=(。1+。3)".由于4的正负不确定，因而Ql+〃2的符号不确定，故选

项B错误.

若0<。1<。2,贝1|4>0.所以。3>0,。4>0.

所以房・。2。4=(。1+2疗・(。1+67)(。1+360=淤>0.所以2a4•故选项C正确.

由于(〃2-0)(。4-。2)=或2e=2片,而d有可能等于0,故选项D错误.

8.D解析连接PO,由题意知,POJ_底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2K.

因为心枝…BCD=¥，所以，R2.R=¥，解得火=2.所以球。的表面积是1671.

9.D解析如图，作出题中不等式组所表示的平面区域.由2=依-丁得y=日-z,要使目标函

数z二"-y仅在点4(0,2)处取得最小值，则阴影部分区域在直线产丘+2的下方，故目标函

数线的斜率%满意・3<女<1.

10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥，且从点A动身的三

条棱两两垂直,A8=1/C=&,P8=a,8C=A

p

c

R

2

可次口PA2+AC2=a2-l+b2-l=6,^/+〃=8古攵（。+份2=8+2。力.8+2（竽），即a+b^4,

当且仅当a=8=2时,a+b取得最大值，此时PA=bHC=Vl所以该几何体的体积V=1x

|xlxV3xV3=1.

U.C解析由希•前=2百,NBAC=30°,可得SAABC=L即x+y+z=l.

故*£+2=(泻+孤+y+z)

xyz

=1+4+9+]+^+y+y+y+^>14+4+6+12=36,

当且仅当x=，,y=g,z=；时等号成立.因此於,y,z)的最小值为36.

12.D解析若对于函数图象上的随意一点M(xi,y),在其图象上都存在点NS,”),使0M

LON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①，若取则不存在这样的点;对于

③，若取ML。),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.

13.0解析若输入尤=0.1,则〃?=lg0.1=-1.因为〃z<0,所以，”=-1+1=0.所以输出的"?值为

0.

14.-4解析因为兀X)是定义在R上的奇函数，

所以火0)=1+机=0.所以m=-l.

所以次-log35)=7/(log35)=-(3i°g35-l)=-4.

15.2解析因为凡r)=2sinx-cosj;-2cos2x=sin2v-cos2x-l=&sin(2x-；)-l,所以其最大值

为a-1.所以①错误.

因为函数/)=&sin2x-1的图象向右平移方个单位后得到函数段)=V^sin[2(x-J)]-

l=V2sin(2x-^)-l的图象，所以②错误.

由1+2EW2W<92也斥2,得函数於)的单调递增区间为[1+而,等+女巾£

Z,即为恃+k'm等+〃巾GZ.故③正确.

由2x-)=kn,kGZ,得x=^+”次ez,故④正确.

4OL

16.4,尸舞解析因为在1S=华鲁(〃22),所以如色=所以工一--=

5n+3n(n+l)cLn_^ann(n+l)anan_\n

1

n+1,

所以」一4±-±=1-1±_±=1_1...±_J-=1_J-

a223'。3。234’。4。345'"anan_^nn+1

所以工一工=:一七.

ana12n+1

所以/=?一击.

所以a尸黑|(〃22).经检验，当〃=1时也适合此公式.

所以〃_2n+2

加以斯一5计3・

17，W(1)VA=2AB+C=y.

..•sin(竽-C)=3sinC.

・•・亨cosC+|sinC=3sinC.

・•・苧cosC=|sinC.tanC=-y-.

⑵由&=肃，sinB=3sinC,得b=3c.

1

^LLABC中，由余弦定理得a2=b2+c1-2bccosy4=9c2+c2-2x(3c)xcx-=7c2.

♦:a=巾,Ac=l,/?=3.

/.AABC的面积为5=^/?csinA

Z4

(3+x+9+15+18+y=60,

18.解⑴依据题意，有18+y=2

(3+-+9+15=3,

解得已

故p=0.15,(7=0.10.

补全的频率分布直方图如图所示.

(2)用分层抽样的方法从中抽取10人，则其中“压岁钱不少于2千元的青少年'‘有

10x1=4人,“压岁钱少于2千元的青少年''有10x|=6人.

故4的可能取值为0,1,2,3,

且P(4=0)=净=3占1)=净=*4=2)=竽=±%=3)=岩=春

5o05o5o5o

所以4的分布列为

0123

1131

6210；?0

所以E©=0x5[+1x12x-2+3x以1A=I

(3)以频率估计概率，从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱不少于2千元的青少

年”的概率是意=|,则故随机变量〃的均值为E(〃)=15x|=6.

19.⑴证明(方法一)由题意知，在"Eb中,4/=6,防=遍4尸=2百.

：.AE?+EF2=AF2,

C.AELEF.

在A4EC中,4七=倔£。=圾4。=2遮

AE^+EC2=AC2,：.AE1EC.

又平面ECF.

又FCu平面ECF,AELFC.

(方法二)：四边形ABC。是菱形,AD=3D=2,，AC，BO,AC=2b.

故可以O为坐标原点，以04,08所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐

标系.

由平面ABCD,ED〃FB,BD=2,BF=2近,DE=a，可知A(W,O,O),E(O,-1,&),C(-

V3,0,0),F(0,l,2V2).

AE=(-V3,-1,V2),CF=(V3,1,2V2).

•••AE-CF=(-V3,-l,V2)-(V3,l,2V2)=-3-l+4=0.

C.AELCF.

⑵解由(1)中方法二可知A(V3,O,O),E(O,-1,V2),C(-V3,0,0),F(0,1,2A/2),

则^F=(-V3,1,2V2),^C=(-2V3,0,0),EF=(0,2,V2),£C=(-V3,l,-V2).

设平面AR?的一个法向量为m=(xi,yi,zi),

由AF，111=0,4。•111=0,得-百工|+/1+2/2|=0,且-2/5%|=0.

令zi=l,得ni=(0,-2V2,l).

设平面ER7的一个法向量为n2=(X2j2,Z2),

由EF-n2=0,前,112=0,得2y2+V2Z2=0,JL-V3x2+y2-V2Z2=0.

令”=・1,得n2=(-V3,-l,V2).

设二面角AS的大小为。，则cos小犒=尹=苧

20.⑴解因为2。=4,所以。=2.又因为焦点在x轴上，所以设椭圆方程为§+^2=1.

(2)证明设点P(m,0)(-2WmW2),可得直线/的方程是尸号，

(y=

由方程组(2消去y得2X2-2/?7X+7772-4=0.(*)

信+y2=i,

设A(xiJ1),5(X2,”),则XI42是方程(*)的两个根.

所以九1+X2=m^\X2=-2~-

所以|PAF+1PB\2=(x\-m)2+yf+(X2-m)2+y1

=(xi-m)2+^(xi-7?7)2+(X2-m)2+^(X2-m)2

=^[(xi-m)2+(x2-m)2]=^[%i+xf-2w(xi+x2)+2m2]

=)2)222(22

74[(^i+x2-2m(xi+x2-2xiX2+2m]=47[m-2/T7-7?7-4)+2/T7]=5.

所以|PA|2+|P8|2为定值.

21.解(1)/?(x)=(-x3+jr)e1-x,

.,./i,(x)=(x3-4x2+2x)eI-x,

:.〃(l)=0,力(1)=-L

，曲线〃(x)在点(l,/z(l))处的切线方程为y=・(%・l),即y=-%+L

(2)；g3=%aeR/>0),

/.g(x)=alnx+c(c为常数).

/.g(e)=tzlne+c=a+c=a.

/•c=0.

•\g(x)=alnx.

由gOON-f+S+Z)%,得(尤-lnx)aWf-2x.

•••当日1,e]时,InxW1且等号不能同时成立，

Ain即x-lnx>0.

..X2-2X/(X2-2X\

・・a<—：—.^a<——

x-lnx\x-lnx/max

X2-2X

设/(%)=

x-\nx

则「3」土1)口+2-誓1

(x-lnx)

Vx^[l,e],/.x-l^O,lnxWl/+2-21nx>0..•・，'(x)20.

...r(x)在[l,e]上为增函数.

./、，、e2-2e一e2-2e

•♦f(x)max=/(e)="-.T-.

e-1e-1

(3)设P(r,F⑺)为产F(x)在时的