2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第7章 第4节　空间直线、平面的垂直

空间直线、平面的垂直

［考试要求］从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空

间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.

［走进教区2节实基础］回顾知识•激活技能

©梳理•必备知识

1.异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点。分别作直线"〃a,b'

//b,我们把直线，与少所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)异面直线所成的角8的取值范围：0°<^90°.

⑶当8=90°时,。与人互相垂直，记作

2.直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线

/与平面a互相垂直.

(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理:

文字语言图形语言符号语言

ILa、

如果一条直线与一个平面内

1

判定ILb

的两条相交直线垂直,那么该>=>/J_a

定理7

直线与此平面垂直

a,bUa>

性质垂直于同一个平面的两条直7

定理线平行b-La]

(3)直线和平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这

个平面所成的角.

②范围：〔0°，90。］.

3.二面角

⑴从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱

上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成

的角叫做二面角的平面角.

(2)二面角的平面角的范围：［0。，180。］.

4.平面与平面垂直

(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个

平面互相垂直.

(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：

文字语言图形语言符号语言

判定如果一个平面过另一个平面的l-La]

定理垂线,那么这两个平面垂直3彘3

两个平面垂直，如果一个平面

性质内有一直线垂直于这两个平面aC8=a

>=/_La

定理的交线,那么这条直线与另一£lA-a

个平面垂直lu/3>

提醒：两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时

要注意“平面内的直线”这一条件.

［常用结论］

直线与平面垂直的五个结论

(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.

(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂真于这个平面.

(3)垂直于同一条直线的两个平面土豆.

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

2

c>激活•基本技能

一、易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)垂直于同一个平面的两平面平行.()

(2)若aJ-夕，a_L4=>a〃a.()

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.

()

(4)若平面a内的一条直线垂直于平面夕内的无数条直线，则()

［答案］⑴X(2)X(3)X(4)X

二'教材习题衍生

1.a,4为两个不重合的平面，a,。为两条不同的直线，下列命题正确的为

()

A.若aUa,bup,a〃4，则a〃。

B.若allb,bu§,则a〃月

C.若aUa,则a_L£

D.若a_La,b_L尸，a^Lb,则a，B

D［对于A选项，若aUa,bufj,a〃夕，则a与〃平行或异面，A选项错

'X3

1天;

对于B选项，关aHb,bU0,则aU£或a〃4，B选项错误；

对于C选项，若aUa,则a〃4，aUR,aJ■4或a与夕斜交，C选项

错误；

对于D选项，由面面垂直的判定定理知D选项正确.］

2.如图，正方形SGiG2G3中，E,E分别是G1G2,G2G3的中点，D是EF

的中点，现在沿SE,SF及Eb把这个正方形折成一个四面体，使Gi,G2,G.3

三点重合，重合后的点记为G,则在四面体S-EFG中必有()

A.SGLaEFG所在平面B.SDLaEFG所在平面

C.GFLASEf所在平面D.所在平面

3

A[四面体S-EFG

如图所示：

由SGLGE,SG.LGF.

且GEC1GF=G#

SG^Z^EVG所在的平面.

故选A.]

3.如图，在长方体中，AB=BC=2,AAi=l,则ACi与平

面A\B\C\D\所成角的正弦值为.

；［NAG4为AC与平面AiBC◎所成的角.

因为AB=BC=2,所以4G=AC=2，1

又A4i=l,所以AG=3,

AA,1

所以sinZAC1A1=77^=7.］

ACi3

4.在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC上的射影为点。

(1)若PA=PB=PC,则点。是△ABC的心；

(2)若巩_LPB,PBLPC,PCLPA,则点。是△ABC的心.

(1)外(2)垂［(1)如图①，连接。A,OB,OC,0P,

在RtAPOA,Rt/\POB和RtAPOC中，PA=PC=PB,

所以OA^OB=OC,

即O为△ABC的外心.

4

图①图②

(2)如图②，延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于点”，D,G.

VPCA.PA,PB1.PC,PAr\PB=P,PA,PBU平面以B,

...PCJ■平面附3,又ABU平面巩3,：.PC±AB.

\'AB±PO,POCPC=P,PO,PCX平面PGC,

...ABJ•平面PGC,又CGU平面PGC,

：.AB±CG,即CG为△ABC边A3上的高.

同理可证8D,AH分别为△ABC边AC,上的高，

即。为△ABC的垂心.］

［细研考虑•突破题型］重难解惑■直击高考

□考点一直线与平面垂直的判定与性质«师生共研

［典例1］(2021•全国甲卷)已知直三棱柱ABC-A1BC1中，侧面为正

方形，AB=BC=2,E,尸分别为AC和CG的中点，BFLA\B\.

(1)求三棱锥F-EBC的体积；

(2)已知。为棱481上的点，证明：BFLDE.

［解］(1)如图，取BC的中点为M,连接EM,

由已知可得AB=BC=2,CF=\,

EM=^AB=1,AB//A\B\,

由得

又EMLCF,BFCCF=F,

5

所以EM，平面BCF,

故VF-EBC=V三椁括E-FBC=|XXCFX£M=|X|X2X1X1=1.

(2)证明：连接4E,B\M,由⑴知EM〃43i,

所以ED在平面EMBiAi内.

在正方形COBB中，由于F,M分别是CO,的中点，所以由平面几

何知识可得BFLB\M,

又所以8口L平面EMBAi,

又DEU平面EMB\A\,所以BFLDE.

令板思领悟判定线面垂直的四种方法

②个：利用线面垂直的判定定理:

今;利用“两平行歧而的一不与平面垂.而另;

「条也与这个平面垂直”:

行于、q；'•--'i-ta<¥«¥®+w-^7；

千：则与另一个也垂直"，；

今：利用面面垂直的性质定理：

［跟进训练］

1.如图，在直三棱柱ABC-AiBiG中，AC=BC=\,ZACB=90°,D是

A\B\的中点，尸在BBi上.

(1)求证：GO,平面A4iB&

(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB_L平面CiDF?并证明

你的结论.

①尸为BBi的中点；②A8i=小；③A4i=di

［解］(1)证明：•.•A8C43C1是直三棱柱，AC=BC=\,ZACB=90°,

.•.AICI=BICI=1,且N4CiBi=90°.

又。是481的中点，

ACiD±AiB\.

AAi~L平面AiBiCi,CiZ)u平面A\B\C\,

6

AAAiXCiD,又AiEnA4i=Ai,

.♦.CiDJ■平面AAiBiB.

(2)选①③能证明AB，平面C\DF.

如图，连接OF,A\B,

：.DF//A\B,

F

/\C，

在△ABC中，AC=BC=1,

ZACB=90°,则AB=小,

又AAi=y/2,

则：.DF±AB\.

•.'CiDJ•平面AAiBiB,ABiU平面AAiBB,

ACiD±ABi.

\'DFnC\D=D,...AB」平面GDF.

□考点二平面与平面垂直的判定与性质枷生共研

［典例2］在矩形ABC。中，A8=2AD=4,E是A3的中点，^DE^/XADE

折起，得到如图所示的四棱锥P-BCDE.

(1)若平面PDE，平面BCDE,求四棱锥P-BCDE的体积;

(2)若PB=PC,求证：平面PDE，平面BCDE.

［解］(1)如图所示，取。E的中点M,连接PM,

由题意知，PD=PE,：.PMA-DE,

又平面PDE1.平面BCDE,平面PDEA平面BCDE=DE,PMU平面PDE,

I.PM1.平面BCDE,即PM为四棱锥P-BCDE的高.

在等腰直角三角形PDE中，PE=PD=AD=2,

7

；.PM=：DE=表,

而梯形BCOE的面积S=1(BE+CD)BC=^X(2+4)X2=6,

，四棱锥P-BCDE的体积V=|PM-S=|X^/2X6=2^2.

(2)证明：取BC的中点N,连接PN,MN,则BCA-MN,

,:PB=PC,：.BC±PN,

■:MNCPN=N,MN,PNU平面PMN,，台。，平面PMN,

■:PMU平曲PMN,：.BC±PM,由(1)知，PMLDE,

火BC,DEU平面BCDE,且BC与。E是相交的，

.•.PMJ■平面BCDE,

'：PMU平面PDE,二平面PDEL平面BCDE.

令反思领悟证明面面垂直的两种方法

:利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的

|定.法|~i二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转

〔九岁更见七可制冬皂曳吃风色

:利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个

|定理法H平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转

：化成证明线线垂直加以解决

［跟进训练］

2.如图，在三棱锥V鞭ABC中，平面以B_L平面ABC,为等边三角

形，ACLBC,RAC=BC=y[2,0,M分别为A3,以的中点.

(1)求证：平面MOC_L平面VAB-,

⑵求三棱锥8鞭以C的高.

［解］(1)证明：因为AC=3C,。为45的中点，

所以OC_LAB.

因为平面以3_1_平面ABC,平面E43A平面A8C=A8,。。=平面ABC,

所以OC_L平面VAB.

8

因为OCU平面MOC,

所以平面MOC_L平面VAB.

(2)在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=y［2,

所以AB=2,OC=］,

2

所以等边三角形例8的面积为5AE4e=1x2Xsin60°=小，

又因为OC，平面VAB,所以OCLOM.

在△AMC中，AM=1,AC=®MC=巾,

所以5\AA/C=5义IX2=4，

于

所以S^VAC=2.S^MAC=2.

由三棱锥B^VAC的体积与三棱锥C鞭侬5的体积相等，

即聂四C•〃=聂%B,OC,

昕田,V3X12^21

所以〃一五一7,

2

即三棱锥B-VAC的高为2用.

□考点三平行与垂直的综合问题枷生共研

［典例3］如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8CO为矩形，平面布。，平

ffiABCD,PALPD,PA=PD,E,b分别为A。，P8的中点.求证：

(1)PE工BC；

(2)平面山8,平面PCO；

(3)£7"平面PCD

［证明］⑴因为以=PO,E为A。的中点,

所以PE1AD.

因为底面ABC。为矩形，所以BC〃AD

所以PELBC.

9

(2)因为底面ABC。为矩形，所以

又因为平面附。平面ABCD,平面如£>C平面ABCD=AD,ABU平面

ABCD,所以A3,平面附D

又PQU平面必。，所以A3LPD

又因为用，PO,且以C