专题11 几何最值问题（专项训练）（解析版）-二轮基础过关与直击中考

专题11几何最值问题专项训练【基础过关|直击中考】1.（山东滨州，11，3分）如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．B．C．6D．3AABOPMN【答案】D【解析】分别以OA、OB为对称轴作点P的对称点P1，P2，连接点P1，P2，分别交射线OA、OB于点M、N则此时△PMN的周长有最小值，△PMN周长等于＝PM＋PN＋MN＝P1N＋P2N＋MN，根据对称的性质可知，OP1＝OP2＝OP＝，∠P1OP2＝120°，∠OP1M＝30°，过点O作MN的垂线段，垂足为Q，在△OP1Q中，可知P1Q＝,所以P1P2＝2P1Q＝3,故△PMN的周长最小值为3．2.（四川泸州，10题，3分）在平面直角坐标系内，以原点为原心，1为半径作圆，点P在直线上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（）A.3B.2C.D.【答案】D【解析】由题可知，B（-2,0），C（0，），P为直线上一点，过P作圆O的切线PA，连接AO，则在Rt△PAO中，AO=1，由勾股定理可得，要想使PA最小，要求PO最小，所以过点O作OP⊥BC于点P，此时PO=，PA=PPAOyxCB3.（四川绵阳，10，3分）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：，）A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里【答案】B.【解析】解：如图所示，

由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，

作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，

则∠BED=30°，BE=CE，

设BD=x，则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，∴AC=AD+DE+CE=2x+2x，∵AC=30，∴2x+2x=30，解得：x=≈5.49.故选B.4.（四川省宜宾市，8，3分）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A.eq\r(\s\do1(),10)B.eq\f(19,2)C.34D.10【答案】D【思路分析】取GF的中点为O，连接PO，则根据材料可知PF2+PG2=2PO2+2OG2=2PO2+2×22=8+2OP2，若使PF2+PG2的值最小，则必须OP的值最小，所以PO垂直于GF时PO的值最小，即此时才有最小值.【解题过程】取GF的中点为O，连接PO，则根据材料可知PF2+PG2=2PO2+2OG2=2PO2+2×22=8+2OP2，若使PF2+PG2的值最小，则必须OP的值最小，所以PO垂直于GF时PO的值最小，此时PO=1，所以PF2+PG2的最小值为10.5.（天津市，11，3）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）A．ABB．DEC.BDD．AF【答案】D【解析】分析：本题考查正方形的性质，轴对称的性质，取CD中点E′连结AE′、PE′，根据正方形是轴对称图形，可得EP=E′P,AF=AE′，结合图形由线段公理可得AE′为AP+EP最小值，进而可得结果.解：取CD中点E′连结AE′、PE′,由正方形的轴对称性质，可知EP=E′P,AF=AE′∴AP+EP=AP+E′P,∴AP+EP最小值是AE′,即AP+EP最小值是AF.故选D6.（山东德州，12，3分）如图，等边三角形的边长为4,点是△的中心，.绕点旋转,分别交线段于两点，连接,给出下列四个结论:①;②;③四边形的面积始终等于;④△周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是()第12题图第12第12题图第12题答图1第12题答图2A．1B．2C.3D．4【答案】C【解析】如图1，连接OB、OC，因为点是△的中心，所以，OA=OB=OC，所以，，所以，所以（ASA），所以OD=OE，结论①正确；通过画图确定结论②错误，如当点E为BC中点时，；因为，所以，所以=，结论③正确；因为，所以BD=CE，所以BD＋CE=BC=4，因为，OB=OC，易得，如图2，当OD⊥AB时，OD最小=BD×tan∠OBD=，所以DE最小=2，所以△周长的最小值为6,结论④正确.故选C.7.（四川绵阳）不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。【答案】5【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h因为，所以又因为，代入得，所以又因为，代入得，所以所以3<h<6，故整数h的最大值为5。8.（四川泸州，题，3分）如图5，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为.【答案】18【解析】做△ABC的高AH，因为S=120，BC=20，所以AH=12，△CDF的周长=CF+CD+DF，CF=5，因为EG是腰AC的垂直平分线，连接AD，AF，可得DA=DC，所以AD+DF的最小值为AF的长度，在Rt△AHF中，HF=5，AH=12，由勾股定理可得AF=13，因此△CDF周长的最小值为18HH9.（江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是．【答案】．【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN=BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，∴BC′===5，∴MN最大=．10.（四川攀枝花，15，4）如图5，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为.【答案】【解析】设△PAB中AB边上的高是h，∵，∴，∴，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线L上，如图，作点A关于直线L的对称点A'，链接AA',BA',则BA'即为所求的最短距离。在∴，即11.（云南）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为．【答案】2．【解析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴=，∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=2，即PA+PB的最小值2．12.（年黑龙江省大庆市）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？【答案】见解析。【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式.动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴，∴，∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．（2）由S＝•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．13.（年宁夏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．【答案】见解析。【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．（1）∵MQ⊥BC，∴∠MQB＝90°，∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC，∴△QBM∽△ABC；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，∵MN∥BQ，BQ＝MN，∴四边形BMNQ为平行四边形；（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵△QBM∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，解得，QM＝x，BM＝x，∵MN∥BC，∴＝，即＝，解得，MN＝5﹣x，则四边形BMNQ的面积＝×（5﹣x+x）×x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．14.（广西省贵港）已知：是等腰直角三角形，，将绕点顺时针方向旋转得到△，记旋转角为，当时，作，垂足为，与交于点．（1）如图1，当时，作的平分线交于点．①写出旋转角的度数；②求证：；（2）如图2，在（1）的条件下，设是直线上的一个动点，连接，，若，求线段的最小值．（结果保留根号）.【思路分析】（1）①解直角三角形求出即可解决问题．②连接，设交于点．在时截取，连接．首先证明是等边三角形，再证明△，即可解决问题．（2）如图2中，连接，，，作交的延长线于．证明△△，推出，推出，关于对称，推出，推出，求出即可解决问题．【解题过程】（1）①解：旋转角为．理由：如图1中，，，，，，旋转角为．②证明：连接，设交于点．在时截取，连接．，，平分，，，，，△，，，，，，△是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，，△，，．（2）解：如图2中，连接，，，作交的延长线于．由②可知，，，，△△，，，关于对称，，，在△中，，，，，．的最小值为．15.（四川省成都市，27，10）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A´B´C´(点A、B的对应点分别为A´、B´)，射线CA´、CB´分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A´重合时，求∠ACA´的度数；（2）如图2，设A´B´与BC的交点为M，当M为A´B´的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA´，CB´的延长线上时，试探究四边形PA´B´Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA´B´Q的最小面积；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）当P与A´重合时，解Rt△A´BC，求出∠BA´C的度数，即为∠ACA´的度数；（2）当M为A´B´的中点时，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得∠MA´C＝∠BCA，解Rt△PBC求出PB，利用同角余角相等，得∠BQC＝∠PCB，解Rt△CBQ求出BQ，根据PQ＝PB＋BQ即可求得PQ；（3）作Rt△PCQ斜边中线CM，由S四边形PA´B´Q＝S△PCQ－S△PA´B´＝PQ·BC－S△PA´B´＝CM·BC－S△PA´B´，根据垂线段最短，当CM⊥PQ时，S四边形PA´B´Q最小，求出其最小值即可．【解题过程】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝＝，当P与A´重合时，A´C＝AC＝2，在Rt△A´BC中，sin∠BA´C＝＝，∴∠BA´C＝60°，∵m∥AC，∴∠ACA´＝∠BA´C＝60°．（2）∵∠A´CB´＝90°，M为A´B´的中点时，∴A´M＝CM，∴∠MA´C＝∠A´CM＝∠A，∵在Rt△ABC中，tan∠A＝＝，∴在Rt△PBC中，tan∠A´CB＝＝，∴PB＝．∵∠PCB＋∠BCQ＝∠BCQ＋∠BQC＝90°，∴∠BQC＝∠PCB，∴tan∠BQC＝tan∠A´CB＝，∴BQ＝＝2，∴PQ＝PB＋BQ＝．（3）取PQ的中点M，连接CM．∵S△CA´B´＝A´C·B´C＝×2×＝，S△PCQ＝PQ·BC＝PQ，∴S四边形PA´B´Q＝S△PCQ－S△CA´B´＝PQ－，∵M为PQ的中点，∠PCQ＝90°，∴PQ＝2CM，∴S四边形PA´B´Q＝S△PCQ－Q－S△CA´B´＝CM－，当CM最小时，S四边形PA´B´Q最小．∵CM≤BC＝，∴当CM＝时，S四边形PA´B´Q的最小值＝ CM－＝3－．1.（山东威海，24，12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．（1）求证：CE＝EF；（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求△BEF面积的最大值．【解题过程】（1）证明：过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB⊥AD，∴MN⊥AD，MN⊥BC，∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE＋∠FEN，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠AEM＋∠FEN＝90°，∴∠AEM＝∠NFE，∵∠DBC＝45°，∠BNE＝90°，∴BN＝EN＝AM.∴△AEM≌△EFN（AAS）.∴AE＝EF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝CE＝EF.（2）在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝10，∴0≤x≤5.由题意，得BE＝2x，∴BN＝EN＝x.由（1）知：△AEM≌△EFN，∴ME＝FN，∵AB＝MN＝10，∴ME＝FN＝10－x，如图（1），当0≤x≤时，∴BF＝FN－BN＝10－x－x＝10－2x.∴y＝BF·EN＝＝－2x2＋x（0≤x≤）；如图（2），当＜x≤时，∴BF＝BN－FN＝x－（10－x）＝x－10，∴y＝BF·EN＝＝2x2－x（≤x≤）.∴（1）（2）（3）y＝－2x2＋5x＝－2（x－）2＋，∵－2＜0，∴当x＝时，y有最大值是；即△BEF面积的最大值是；当＜x≤时，y＝2x2－x＝－，此时2＞0，开口向上，对称轴为直线x＝，∵对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴当x＝时，y最大值＝50.∴当x＝时，△BEF面积的最大值是50.2．（山东省威海市，题号25，分值12）（1）方法选择如图①，四边形ABCD是OO的内接四边形，连接AC，BD.AB＝BC＝AC.求证：BD＝AD＋CD.小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM..……小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD……请你选择一种方法证明.（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD.BC是⊙O的直径，AB＝AC.试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论.【探究2】如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD.若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是.（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD.若BC是O0的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是.【思路分析】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB上截取DM＝AD，连接AM，由旋转全等得BM＝CD，∴BD＝MD＋BM＝AD＋CD（2）【探究1】数量关系为：BD＝AD＋CD如图②，在DB上截取AD＝AN，连接AN，可得△AND为等腰直角三角形，∴ND＝AD，由旋转全等得BN＝CD，∴BD＝ND＋BN＝AD＋CD【探究2】数量关系为：BD＝2AD＋CD如图③，在DB上截取2AD＝PD，连接AP，可得△APD为30°的直角三角形，由旋转相似得BP＝CD，∴BD＝PD＋BP＝2AD＋CD（3）拓展猜想数量关系为：BD＝AD＋CD如图④，过A作AQ⊥AD交BD于Q，连接AQ，由旋转相似得，，∴BQ＝CD，BQ＝AD，∴BD＝PD＋BP＝AD＋CD【解题过程】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB上截取DM＝AD，连接AM，可得△AMD为等边三角形，可证△BAM≌△CAD（SAS）得BM＝CD，∴BD＝MD＋BM＝AD＋CD（2）【探究1】数量关系为：BD＝AD＋CD如图②，在DB上截取AD＝AN，连接AN，可得△AND为等腰直角三角形，∴ND＝AD，∠BAN＝∠CAD，可证△BAN≌△CAD（SAS）得BN＝CD，∴BD＝ND＋BN＝AD＋CD【探究2】数量关系为：BD＝2AD＋CD如图③，在DB上截取2AD＝PD，连接AP，可得△APD为30°的直角三角形，∴，∠BAP＝∠CAD，可证△BAP∽△CAD得BP＝CD，∴BD＝PD＋BP＝2AD＋CD（3）拓展猜想数量关系为：BD＝AD＋CD如图④，过A作AQ⊥AD交BD于Q，连接AQ，可得∠BAQ＝∠CAD，∠ABQ＝∠ACD，∠ADQ＝∠ACB，∠BAC＝∠QAD∴△BAP∽△CAD，△ADQ∽△ACB∴，，∴BQ＝CD，BQ＝AD，∴BD＝PD＋BP＝AD＋CD3．（·益阳）如图，在半面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4，BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半上随之上下移动.(1)当∠OAD=30°时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值.【解题过程】（1）如图1，过点C作CE⊥y轴，垂足为E.第26题答图1∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO=90°，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=30°.在Rt△CED中，CE=CD=2，∴DE=;在Rt△OAD中，∠OAD=30°，∴OD=AD=3.∴点C的坐标为(2，).(2)∵M为AD的中点，∴DM=3，.又∵，∴，∴.设OA=x，OD=y，则，∴，即，∴x=y.将x=y代入得，解得(不合题意，舍去)，∴OA的长为.（3）OC的最大值为8.理由如下：如图2，第26题答图2∵M为AD的中点，∴OM=3，.∴OC≤OM+CM=8,当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8.连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N.∵∠CDM=∠ONM=90°，∠CMD=∠OMN，∴△CMD∽△OMN，∴，即，解得，，∴.在Rt△OAN中，∵，∴.4．（·衡阳）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC延长线方向匀速运动．当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？并求出最小值．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵BP⊥PQ，∴2BP＝BQ即2（6－t）＝6＋t，解得t＝2．∴当t为2时，△BPQ为直角三角形；（2）存在．作射线BF，∵PE⊥AC，∴AE＝0.5t．∵四边形CQFE是平行四边形，∴FQ＝EC＝6－0.5t，∵BF平分∠ABC，∴∠FBQ＋∠BQF＝90°．∵BQ＝2FQ，BQ＝6＋t，∴6＋t＝2（6－0.5t），解得t＝3．（3）过点P作PG∥CQ交AC于点G，则△APG是等边三角形．∵BP⊥PQ，∴EG＝AG．∵PG∥CQ，∴∠PGD＝∠QCD，∵∠PDG＝∠QDC，PG＝PA＝CG＝t，∴△PGD≌△QCD．∴GD＝GC．∴DE＝AC＝3．（4）连接AM，∵△ABC为等边三角形，点M是BC的中点，∴BM＝3．由勾股定理，得AM＝3．由折叠，得BM′＝3．当A、B′、M在同一直线上时，AB′的值最小，此时AB′＝3－3.过点B′作B′H⊥AP于点H，则cos30°＝,即＝，解得t＝9－3．∴t为9－3时，AB′的值最小，最小值为3－3．5．（·淮安）如图①，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)当点E在直线AD上时，如图②所示.①∠BEP=°；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是.(2)请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由.(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.【解题过程】（1）①由题意得，PE=PB，∠BPE=80°，∴∠BEP=；②如图所示，∵AB=AC，D是BC的中点，∠BAC=100°，∴∠ABC=，∵∠BEP=50°，∴∠BCE=∠CBE=40°，∴∠ABC=∠BCE，∴CE∥AB.答案：①50°；②平行（2）在DA延长线上取点F，使∠BFA=∠CFA=40°，总有△BPE∽△