自动控制原理-胡寿松第5版-课后习题与答案

2-i设水位自动控制系统的原理方案如图i—i8所示，其中q为水箱的进水流量，e为水箱的用水流量，

H为水箱中实际水面高度。假定水箱横截面积为F,希望水面高度为〃°,与〃°对应的水流量为［,试列出

水箱的微分方程。

图1-18液位自动控制系统

解当qQ2&时，，；当qw0时，水面高度〃将发生变化，其变化率与流量差q

一◎成

正比，此时有

F"一"。)-0)-Q)

(。血JF2o

at

于是得水箱的微分方程为

FdH1。工0

dt12

2-2设机械系统如图2—57所示，其中巧为输入位移，题为输出位移。试分别列写各系统的微分方程式

及传递函数。

图2—57机械系统

解①图2—57(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得

可(此一%)-f2年确

整理得

mdx§f)dx,dX]

(fdt1，dt1dt

2

将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得

ms2)so(s)fxsZ(s)

(ff2X/

于是传递函数为

(s)f1

ms

Xt(s)f2

②图2—57(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A,并设A点位移为X,方向朝下；而在其下半部工。

引出点处取为辅助点B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：

Kx(X,--f(%)

x)

42/f(k-a)

消去中间变量x,可得系统微分方程

(KK)dx。KfKdXi

K'…dt\2fxdt

对上式取拉氏变换，并计及初始条件为零，得系统传递函数为

X。(s)fK、s

F(4KQs

»,.($)K&

③图2—57(c)：以与的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程:

丹(3一X)f(匕.一％)42*0

移项整理得系统微分方程

fK)xQfK、Xj

(KJdx,.

dtdt

对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即

X,(0)/(0)0

则系统传递函数为

X0(6)fs

K\

九(s)fs(&

KJ

2-3试证明图2-58(a)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。

图2-58电网络与机械系统

R、

1S尺R\

解：(a)：利用运算阻抗法得:Z//R

1C4CF17Js1

小

1

Gs

1

Z.2S4S1

1cS

Rz12

Q$

1

5s

u（6）Zl)2(Ts1)(7s1)

Cs

所以:0__22]2

Uj(s)4?(4s(4sDgs1)

RXC2S

z?6,)

（b）以为和耳之间取辅助点A,并设A点位移为x,方向朝下；根据力的平衡原则，可列出如下原始方

程：

K21Xi-XQ)f2(1)

(£一%)一幼

(2)

—A)

所以42（Xi一/）『2（K(3)

-%）K\X

对（3）式两边取微分得

(4)

42(匕一%)f2(%

一端)K[k

将（4）式代入（1）式中得

K、K八Xj_4）4（匕一f\K2(%-K)—/；F24)

整理上式得

f/瞰耳勺%44%K\f2%%42*0

小匕K、K

对上式去拉氏变换得

fs2sX(s)

K[K、K

f(/K62

fs2f?)sK*K(s)

"KK}27

f

所以：

4f乙）S1

2

《2

>0(s)f}f2(f\KzK\f

4/(

s2)sK]K2K

1

fJ26

/f\%(fxK2"K\f)S1

(s)s2)S4422Kz

K

1

或

ss1)

K

11)(

K?

64

ss

K

'1)(%%

K?

所以图2-58（a）的电网络与（b）的机械系统有相同的数学模型。

2-4试分别列写图2-59中个无源网络的微分方程式。

解：（a）:列写电压平衡方程:

.duc.UC

4-u1r1R1

0R\

ucCdt

d%%~uo

uo

瑞

c

dtR、dt

整理得:

血duj

u

\uCR

2dt

dt

(b)：列写电压平衡方

程：

Ui~4(1)(2)

%

udud(%-

1C2/c\C2(3)

R2,Qia心

Rdt

UC\d(%-(4)

即:2L

R°i°A)

Gdt

将(1)(2)代入(4)得：

Uid(4-u)dud%

%00CR

C

2C1C212

Rdtdt2

dt

uudududud2d2u

i0

pn.i0：「,RUci,R—"

2C12。JC2。

RR1dt12dt2

2

整理得：dtdtdt

“"u。：duu-dui

q%1

cccR'C}

dt2dtRdt2dt

22R

2

2-5设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式,并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。

(1)2Kt)x(t)t；

解：对上式两边去拉氏变换得：

(2s+l)X(s)=l/s'fI(S)1一14

12s

52(2s1)S1

运动模态

所以：X(t)t-\

2(1-e

(2)t)k(t)x(t)(t)o

解：对上式两边去拉氏变换得：

(s2s1)XX(s),11

(s)1—(SS(s1/2)23/4

1)

运动模态e"sin

/22

所以：x(t)

2e，2sin

3

2

(3)限亡)2k(t))l(t)o

解：对上式两边去拉氏变换得：

11111

(s22s1)X(s)

1“，、s(s(s

fX(s)

s1)2s1)2

s(s22ss

1)1

运动模态6一'(1t)

所以：x(t)1-e1一e'(1t)

"f-te-'

2-6在液压系统管道中，设通过阀门的流量满足如下流量方程：

QKP

式中《为比例常数，。为阀门前后的压差。若流量O与压差夕在其平衡点(4,4)附近作微小变化，试导出线

性化

方程。

解：

设正常工作点为A,这时qKR

在该点附近用泰勒级数展开近似为：

/

J/

y(XX

7X-

(X

00

跖

dx

即。-4K\(P-R)

dQ11

其中42

dPPPP

2-7设弹簧特性由下式描述：

F12.65y1-1

其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。

解：

设正常工作点为A,这时12.用/1

在该点附近用泰勒级数展开近似为：

/

1(/

7/\X-X

(

X

O

加

z

为

片

(y几

\

其

必

中0.

?■

412.6513.9151.ly0

叱典

2-8设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为:

edcos

Ed

式中是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。

解：

设正常工作点为A,这时%cos°

在该点附近用泰勒级数展开近似为:

7

4

F

yZXX

(X

即%S4

co

与

其中N_sino

ded

d

2-9若某系统在阶跃输入r时,零初始条件下的输出响应c(t)1-ec-2re1,试求系

统的传递函数和脉冲响应。

解：对输出响应取拉氏变换的:

11S24s1(s)

C(s)因为:C(s)(s)"(s)

12

ss6s(s1)(S2)s

21

S24ss12

所以系统的传递函数为:(s)11

2(s(s1)(6_S

D(62)2)2

S

1

系统的脉冲响应为：g(t)ee~2t

2-10设系统传递函数为

C(s)2

S23s

斤(s)2

且初始条件c(0)=-L心(0)=0。试求阶跃输入r(t)=1(t)时,系统的输出响应c(t)。

解：由系统的传递函数得:

dc(t)dc(t)

o(1)

2c(t)2r(t)

dt2dt

对式(1)取拉氏变换得:将初始条件代入(2)式得

321

s2C{s}-sc(0)-HO)3sC(s)-3c(0)(s23s2)C(s)s

2C(s)2"(s)s

(2)

即：。(s)2一$22_2s142

二6s

s(s’3s2O9

o\ss'3ss乙

)2

s

1

所以：c(。2-4e-2e~2t

2-11在图2-60中，已知和两方框相对应的微分方程分别是

10c⑺

20e（t）

dt

20曲⑺5Z7（t）

10c⑺

dt

且初始条件均为零，试求传递函数。（s）/斤（S）及后（S）/斤（S）

解：系统结构图及微分方程得：

C(s)20H(s)10

6s20s

105

1A20

C(s)10G(s)106s10*(41010

R{s)2010

7?(s)1G(s)〃(s)i201”)〃i

1

106s1020s5

6s1020s

510(2fls5)(6s1200521500s

200(20s)

5)_200(20s5)超230s

(6s10)(20s5)120s2230sSo⑹.,5)

200

2-12求图2-61所示有源网络的传递函数

1解：(a)Z°R°//

Cs]

R

Gs4

4G

1-7

00

0万

Gs

U。(：)-4(7s1)

〃/(s)Z0

(b)Z0//1C°sR§

R。G

7

RQi-

gs

0

0

Gs

Ts

Z、R1TRC

11

111

CxsCxs

〃°(s)

(Ts1)(7s1)

V)10

〃j(s)Z,RqC§

。//()〃卷'

4斤2141

C?sC2s

(c)RT2s

1R2s7

R2C2

C2s1)

R%sT?sR1

1

Qs

〃o(s)%s1

_Z]2X

ui(s)&RoT2s41

2-13由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-62所示，试求闭环传递函数Uc(s)/Ur(s)„

图2-62控制系统模拟电路

解：“⑸“2（S）⑼（S）_R?（R）

(1)、.乙）XOz

4_z、

Uo(s)（S）4(s)R°U2(s)R°

R。

式（1）（2）（3）左右两边分别相乘得

〃0(s)_4R

2即

〃o(s)UZ2R。

，(s)R。R°

Uo(s)(s)Ui(s')

_0

U0(§)4,2〃0(s)ZXZ2R2

&

/(s)0

所以:1

u。(s)z-

与

R\1

2

U0(s)1_Z\Z?用T,s16S

43

〃(s)RR\1

z3R

2Is1A

1s

Z1Z2居

Rg

<Txs1)GRyR2

2-14试参照例2-2给出的电枢控制直流电动机的三组微分方程式，画出直流电动机的结构图，并由结构图等效变换求

出电动机的传递函数Qm(s)/Ua(s)和Qm(5)/Mc(s)

解：由公式(2-2)、(2-3),(2-4)取拉氏变换

J(s)-E(S)

H(s)E,(s)C.(s)

Ia

LasaRa

q，(s)

(s)

Mm(6)-Mc(s)

Q

乙Sfm

得到系统结构图如下:

Mc

Qm(S)

Ua(s)1

LaS+RaJ【nS+fm

J1

Q〃(s)LasJms

Ra

Ua(s)、CC1区

ems《）（乙6f.)Cecm

LaSJ„,S

1

Qms(、s)'Jm»sLa/Sha

fm"RaHJms

，%(s)iCC1

c1em

4sJms

Ra

2-15某位置随动系统原理方块图如图2-63所示。已知电位器最大工作角度四330。，功率放大级放大系数为K3,

要

求：

（1）分别求出电位器传递系数K0、第一级和第二级放大器的比例系数K1和K2；

（2）画出系统结构图；

图2-63位置随动系统原理图

解：

(1)K

15K

°165°

（2）〃（S）

(s)Us(s)KUa(s)K\K*J$(s)

o&(s)

Ua(s)RaIa(s)LaslaMm(s)CmIa(s)

(s)Eb(s)

2

J's(s)fs(s)MEb(s)Kbo(s)

(s)-M(s)

系统结构图如下：

01°o

Us1M

K2s

12

Ls+RJs+f

Uaaa

—Ebs

°o

Kb

(3)系统传递函数.(s)/i(s)

c

KKKS(L“SRa"Jsf)

AAA

《012Srr

]匕mKbKJ人K2c,“

0(s)S(LaSR")kJs

s"RaHJsf)C111Kb

f)

i41

(6)KKKs(LaSR")kJsS(L〃S(Jsf)CmK.b

11\I\

Kf)

012s「K

]CmKb

s{LaSRa)kJsf)

K°K\K2Ksem

s(L&sRaHJsf)CmKbKQK'K2Kse1n

2-16设直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图2-64所示：要求

(1)分别求速度调节器和电流调节器的传递函数

(2)画出系统结构图(设可控硅电路传递函数为A%/(3s1);电流互感器和测速发电机的传递函数

分别为

和《5；直流电动机的结构图用题2-14的结果）;

（3）简化结构图，求系统传递函数Q（6）/〃,($)

解：（1）速调

1

凡

UST(s)6sRGs1T、s1

4

R

U,■(s)-Uf(s)RC、sRC、s

R

流调

1

R?

R?C2s

ULT(s)Z2C2s1T2S1

UST(s)—U/fk(s)R

R

(2)系统结构图如下:

Tis+l%

Ui11Q

T2S+1

RCjSRGsT3S+1LaS%J滔G

—琢

除

（3）简化结构图，求系统传递函数Q（s）/〃,（s）

因为求系统传递函数。（S）/〃,.（$）,所以令"，0,系统结构图如下:

Ui

Qs+1%1Q

T2S+141

gs•V+fm

31asR

一琼

%

将K4后移到输出Q,系统结构图化简如下:

JmS+fn

K.

—Ui

Ts+1*「TS+1

t2%U11

2sgs

T3S+IUs+RtJmS+fm

一Eb

Uf

K5

进一步化简得:

比

T1S+1T?s+1Ka4OnQ

RC)s烟sT3S+I(Ls般)(*+fJ+QGn

JfflS+fm

进一步化简得:

%Q.(Ts+1)

Tis+12Q

RCiSQ{殴s[(Us+Ra)CeGJ(T3S+1)}+及KiQnCW»(T2s+1)

进一步化简得:

Ui

2(⑥S+1)|(TQ

s+1)

RCiS{Q电go(*瑜+Ceqj(T3s+1)}+K)/叫㈤(T2S+1)}+除I幻(Tzs+D(Tjs+1)

所以：

Q(s)

〃/(s)KC2{Ts1)(7s1)

RC\SC1nRC公(L“s)(“s)Ce3s1)KJJS)K&52si)Gs

段,JCm(K..Kmf”451)

2-17已知控制系统结构图如图2-65所示。试通过结构图等效变换求系统传递函数C(s)/R(s)。

⑺(d)

\«J

图2-65题2T7系统结构图

解：（a）

R(s)C(s)

G](s)

G2（S）

G2(S)

G3(S)

R(s)C(s)

Gi(s)

G2(S)

G2(S)

G3（S）

R(s)1C(s)

Gi(s)+G2(S)

1+G2(S)G2(S)

C(s)6G

所以：2

1。2G

R(s)

(b)

C(s)

R(s)

S

G](s)G2()

H|(s)

1+

HI(S)H2(S)

C(s)

R(s)GI（1+比此）

G2(S)

1+HIH2-G1H1

C(s)G{G2(14〃2)

所以：

1H\H?-G\H\

彳(s)

(c)

63

C(s)

R(s)G2

Gi

1+GHI

—2

U2

G3

R(s)C(s)

G2

Gi

1+G2Hl

01H2

R(s)C(s)

G2

G1+G3

1+G2H1+G]G2H2

C(s)G2(GG)

所以：

1G?H\GXG2

R(s)

(d)

H2/G3

R(s)C(s)

GiG2G3

H3

H2

H2/GG

R(s)3C(s)

G,G2

——1+G3H3

H2

比/GG

R(s)—

G3C(s)

GIG2

1+GM1+G3H3

C(s)G、G2G.3

所以：

(1GH[)(1

"(s)G2H2

(e)

R(s)C(s)

GiG2G3

H2+Hl/G3

HI/G3

G4

R(s)C(s)

G]G2G3

1+G2G3H2+H1G2

Hi/G3

G4

R(s)C(s)

G£2G3

1+G2G3H2+H1G2-GiG2Hl

G4

C(s)G\G?G

所以：6

kGGH-GGH

G

R(s)23212121

(f)

HiGi

R(s)C(s)

GiG2

G3

R(s)G2C(s)

G1+G3

1+GiG2Hl

C(s)电

所以：

R(s)1G}G2HX

2-18试简化图2-66中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。

解：（1）求C（$M,N0这时结构图变为：

以6）

RC

12

Hi

RGGc

—1+G]G2Hl

C(s)

所以:

1&G2Hl

R(s)G\G2

(2)求(s£,

CR0这时结构图变为:

N(s)

G