2015年数学高考模拟试卷3

2015年江苏高考数学模拟试卷(三)

第I卷(必做题分值160分)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.已知集合4={1,2,3,4,5},集合2={珅四〃},其中aeZ,若208={1,2},则a=▲.

2.若复数(l+i)z=3-4i(i为虚数单位)，则复数z的模lzl=▲.

3.右图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差

为▲•

4.右边是一个算法的伪代码，若输入x的值为1,则输出的x的值是▲.Read%

Ifx>3then

5.有三张大小形状都相同的卡片，它们的正反面分别写有1和2、3和4、5和6,现

x-3

将它们随机放在桌面上，则三张卡片上显示的数字之和大于10的概率是▲.Else

6.已知{2}为等差数列，其前〃项和为S,,,若见+2%+3%5-%7=3,贝iJSp=—3-x

Endlf

▲.

Printx

7.已知正四棱锥的底面边长是2,这个正四棱锥的侧面积为16,则该正四棱锥的体积

为▲.

8.设a,Pe(0,兀)，且sin(a+?)=tany=.则cos6的值为▲.

9.已知x,y满足约束条件<x+yW3,则z=2x+y的最小值为▲

2y2工一3,

10.若Vx<2,不等式y+(6—。)工+2。20恒成立，则实数。的取值范围是▲.

Y2y2_________

11.椭圆C=+J=l(a>b>0)的左、右焦点分别是大,鸟，力为椭圆上一点，AFAF=04K与y

abC29

轴交与点AZ,若可7=(南，则椭圆离心率的值为▲

12.已知二次函数［(x)="2+(16—。3卜—16。2(a>0)的图象与x轴交于48两点，则线段48长

度的最小最▲.

13.如图，在正△NBC中，点G为边8c上的中点，线段43,ZC上的动点。，E

分别满足而=丸标，AE=(1-2A)AC(2sR),设DE中点为凡记

FG

=•=7?(2),则7?(2)的取值范围为▲

BC

14.设二次函数f(x)=ax2+(2b+l)x-a-2(。丰0)在区间［3,4］上至少有一个零点，则cr+b1的最小值

为▲•

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

15.(本小题满分14分)

三角形中，角/、B、C所对边分别为a,b,c,且/+,2=/.

(1)若cos/=：,求si"C的值；

(2)若6=巾，a=3c,求三角形/8C的面积.

16.(本小题满分14分)

如图，已知四棱锥尸―N5C。中，底面Z8CD是菱形，48C=45。，E、尸分别是棱

8C、力上的点，EF〃平面PCD,平面平面P4X

(1)求证：EF1BC；

(2)若4F=2FP,求实数2的值.

17.（本小题满分14分）

如图，有一景区的平面图是半圆形，其中N8长为2h〃，C、。两点在半圆弧上，满足8C=CZ）.设

NCOB=0.

（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段/8、BC、CO和。/组成，则当J为何值时，观光道

路的总长/最长，并求/的最大值.

（2）若要在景区内种植鲜花，其中在A4。。和A8OC内种满鲜花，在

扇形CO。内种一半面积的鲜花，则当。为何值时，鲜花种植面积

S最大.

18.（本小题满分16分）

如图，设/、B分别为椭圆氏£+£=1（。>6>0）的左、右顶点，P是椭圆E上不同于力、8的

一动点，点/是椭圆£的右焦点，直线/是椭圆E的右准线.若直线/P与直线：x=。和/分别相交

于C、。两点，尸。与直线8C交于M

(1)求BA/：A/C的值;

（2）若椭圆E的离心率为走，直线的方程为

2

x+2岛-8=0,求椭圆E的方程.

19.(本小题满分16分)

已知数列｛《,｝、｛a｝满足:q=!，a„+h„=\,4M=_^

4\-a„

<i)求如仇也,“；

(2)证明:二一卜是等差数列,并求数列｛4｝的通项公式;

3一1.

aa

(3)设S“=ara2+42a3+34+•••+%%+「求实数«为何值时4asit<"恒成立.

20.(本小题满分16分)

已知函数/(x)满足2/(x+2)=/(x),当xw(O,2)xe(o,2)时，/(x)=lnx+ax(。<一；)，当

xw(-4,一2)时，/(x)的最大值为-4.

(1)求实数。的值；

(2)设后0,函数g(x)=-bx,xe(1,2).若对任意$e(1,2)，总存在々e(1,2),使

/(须)一8(丫2)=0,求实数6的取值范围.

第II卷（附加题分值40分）

21.【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4一1：几何证明选讲,

如图，Ri是圆。的切线，切点为4Po交圆。于8,C两点，

PA=yfi,PB=1„求NN8C的大小.\

B.选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵：],若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为四=1]，属于特征值1的一个特征

Lcd.\L1J

「31

向量为处=。.求矩阵4和4的逆矩阵.

L2」

C.选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线/：1k，cos"+m（'为参数）恒经过椭圆c'=5cos°（夕为参数）的右焦点？

[y=[sina[y=3sin^）

（1）求加的值；

（2）设直线/与椭圆C交于4B两点,求|阿•|尸B|的最大值与最小值.

D.选修4—5：不等式选讲

已知实数“，b,c,d满足a+b+c+4=l,2a2+3Z>2+6c2+t/2=25,求实数d的取值范围.

【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

22.(本小题满分10分)

如图，正方体N8CO一mSGQ的所有棱长都为1,M、N分别为线段8。和

BQ上的两个动点.

(1)求线段长的最小值；

(2)当线段长最小时，求二面角8—MN-C的大小.

23.(本小题满分10分)

设函数/(x)=xV-'-|x3-x2(xeR).

(1)求函数歹=/(x)的单调区间；

n

X

(2)当xe(l,+8)时，用数学归纳法证明：V〃eN*,ex''>—.

2015年江苏高考数学模拟试卷（三）

第I卷参考答案与解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共70分.

4V15

2.卡1

1.33.1.044.25.26.10.27.-----

3

„16”•乎⑵“1

8--659.110.心213.14.---

25~100

解析:

2.由|(l+i)z|=|3-4i|和|(l+i)z|=|1+胴可知匕|=3四.

85,86的方差，得到j=1,舒+°・舒+6'+06+L62=[.04.

3.由题意知,只要求83,84,84,

5

4.1<3,故x=3-l=2.

5.1+3+5=9,1+3+6=10,1+4+5=10,1+4+6=11,2+3+5=10,2+3+6=11,2+4+5=11,2+4+6=12共8种其中和

41

大于10的有4种，故概率为一二一.

82

6.由条件得5%=3,故Su=17%=10.2

2-1O

-1

-2

9.作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）.易知直线z=2x+y过交点-3

-4

X—1.--1,

力时，z取最小值，由＜得＜・、Z"“力=2—1—1.

[2y=x-3,ly=-l,

____5___549

11.设Af（0,/w）,A（x,y）,因为g"=4期，所以（-c,/w）=^（8卜一⑼，解得工=一《。,歹=《加，

22

又因为正通=0,所以（，,一驯）（生,-%）=0,解得。2=9/，因为点4在椭圆「+彳=1上，

5555a~b"

所以"■£■+以4=1，即"G+2==1，又即16c，-50a2c2+25/=0,从而16e4-50e2+25=0,

25a125b225a225h2

解得e=强.

4

12.因式分解可得/（》）=（彳-。2）（办+16）,于是48两点的坐标分别是（。2,0）,（—11,0）,于是线段Z8

a

的长度等于。2+3.记/（4）=。2+3，尸（0=2。Y=2918）,于是飞0在（0,2）上单调

aaaa"

递减，在（2,+00）上单调递增，从而尸（幻的最小值就是尸（2）=22+£=12.

13.吊=!（反+丽），不妨设三角形边长为1,则|吊|=2[2；1正+（1-4）益|='"+1,又由

点。，£分别在线段上可知0W/LWl,0Wl-2/lWl*|第0W/lW；,那么火(㈤

设/+从=/&>0),再令卜“cos。；那么由“对=公?+(2b+l)x-a-2在［3,4］上存在零点可知:

14.

［b=rsin0

3XG[3,4],使得-l)cos^+2rxsin^=2-x成立；即yl^(x2-I)2+4r2x2sin(^+^9)=2-x,

2-x

则有:|sin(0+^)|=.化简得至心会gQ

J，,一])2+4-2

又g'(X)=3；’在[3,4]上g'(x)>0恒成立，那么gmin(x)=g⑶=、；

综上可知

100

另解：以。06建立平面坐标系，则原点到直线的距离满足WJ/+方2,下略.

二、解答题:本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

,人+c2—b2acIJT

15.解：⑴由余弦定理，cosB------------=---又8为三角形内角,则8寸

2ac2ac

cosA=1,且力为三角形内角，则sE4=2^2

因为

3，

故sinC—sin(B+A)=1sin^+A)=乎cos/+^sinA='蓝'

(2)由q=3c,由余弦定理知：b2=a^c-laccosB,则7=902+°2—3°2,解得°=匕则。=3.面积s

彩…平.

平面P/EJ.平面P/。

平面P/En平面=PAAD//BC]

16.证明：(1),=/£>_1.平面尸/母=>EF1BC

ADu平面尸/QEFu平面P/Ej^>ADVEF\

ADLPA

(2)过尸作FG//AD交棱PD于点、G,连结CG.

FGHAD\

nFGHECnF、G、C、£四点共面；

ECUAD\

川〃平面PCQ

EFu平面EFGC>=EFMCG；

平面尸COA平面EFGC=CG

FGIIEC

=四边形EFGC是平行四边形nEC=FG；

EF//CG

ADUBC}争C

平面P4E=AEJ.BCnBE=AB・cosZ.ABC=

ADA.AE\

AEu平面

cV2—1

E17C=7=—BCr—

yJ2FG=V2-1AD1-

FG=EC\^^T[^PF=^AP^A=^2+}

AD=BC\FG//AD"

17.解：(1)由题NCOD=。，ZAOD=7r-20f北(吟J

取BC中点M,连结OA1・贝ijOMJ_5C,ABOM=-.

2

n

：.BC=2BM=2sm-.

2

同理可得CQ=2sin,，/Q=2sin壬3=2cos6.

22

00f°

/.Z=2+2sin—+2sin—+2cos^=2l-2sin2—+4sin—+2.

22<2)2

即/=—4(sing—+5,^efo,|\・,•当sing=；,即6=(时,，有./max=5.

(2)S^ocugsin。，-isin(^-2^)-sin^cos^,Smc0D

/.S=—sin+sincos.

24

/.S.gcosO+cos?O—sin?夕+；=；(4cos8+3)(2cos夕一1)

71...解S，=0得夕=?,列表得

2

*7T（箕

eT

S'+0——

极大

s递增递减

值

IT

‘当e=§忖，有Sa.

TT

答：（1）当。=生时，观光道路的总长/最长，最长为5%〃?；

3

77

（2）当。=一时，鲜花种植面积S最大.

3

n

18.解：（1）设。（机,〃），则直线/P：yx+a),

"7+Q、

分别令x=a和x=g-得C（a,2an0a2Q〃(4+C)

ICC+Q))

an

VF（c,O）,则直线FQ：y=-x-c

令x=a得a,a11，：.BM:MC=\.

\m+a

h*2

（2）,・,椭圆E的离心率为丫―,••—7=—,椭圆E：x2+4y2

2a"4

a2

m+2A/3n-8=0tn=一

8

•:PM：x+2岛一8=0,故＜(-an,解得"

67+2V3----------8=04a2

m+aFF

m2+4n2=a2,代入得(/_16乂/—64)=0,."2=16或〃=64.

当/=64时;（7=8,加=8,故点尸与8重合，舍去.

二椭圆E的方程为三+亡=1.

164

1

19.解：(1)bn+l=------"——b“

(l-«„)(l+«„)4(2-4)2-b„

3,45,6

•*a\=49b=-,b=^=-

42}4

1

(2)\'b.-l=———1j=—一

2-44+1Tbn-1bn-1

二数列｛一一｝是以一4为首项,

-1为公差的等差数列.

।1n+2

——二-4--1)=-3:•b“1--------=------

『1〃+3〃+3

⑶"T"=*

11n

・・----1-----1-••------------=-------=-------

S,=%%+%%+…+4%+]=4x55x6---(〃+3)(〃+4)4〃+44(/74-4)

ann+2(Q-1)/+(3。-6)〃一8

4*-b

n〃+4〃+3(4+3)(〃+4)

由条件可知(a-1)M2+(3a-6>-8<0恒成立即可满足条件设/(〃)=(a—1)/+3(a—2)〃一8,

。=1时:/(〃)=—3〃一8<0恒成立，。>1时，由二次函数的性质知不可能成立.

时，对称轴—3・纥2=-3(1—一—)<0,次〃)在(—8,1］为单调递减函数.

2。-12(7-1

/(1)=(«-1>2+(3O-6)M-8=(«-1)+(367-6)-8=4O-15<0,

a<1时4c/S“<6怛成".

综上知：延1时，4as“<6恒成立.

20.解：(1)当xG(0,2)时，/(x)=-/(x-2)=-^/(x-4),

由条件，当x-46(-4,-2),/(x-4)的最大值为-4,.•./(X)的最大值为-1.

,

•.•/(x)=l+67=l±^,令/<x)=0,得》=一,.A<--,.\--G(0,2).

xxa2a

当XG(O,-L)时，fix-)>0,/(x)是增函数；

a

当XG(-L2)时，f{x)<0；/(x)是减函数.

a

贝哈x=」时，/(x)取得最大值为/(」)=ln(」)-l=-1.-1.

aaa

(2)依题意，设/(x)在xd(I,2)的值域为/,g(x)在xd(1,2)的值域为8,则418.

•••/(X)在xw(1,2)上是减函数，."=(ln2-2,-l).

gf(x)=bx1-b=b(x2-1),VxG(1,2),x2-1G(0,3).

①b>0时，g'(x)>0,g(x)是增函数，B=(-b^b).

23

A_±Z>^ln2-2.6^3--ln2.

32

②b<0时，gr(x)<0,g(x)是减函数，B=(--b,-b).

23

：.-b^\n2-2.6W-3+^ln2.

32

由①，②知，6<—3+—ln2,或——ln2.

22

第n卷参考答案与解析

21、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.

A.选修4—1：几何证明选讲

解：连接N。，由弦切角等于同弦所对的圆周角知

PBPA

又N4PB=NAPC,所以AAPBSACF"于是PA~PC即

PA2=PBPC,由题设得PC=3,由于08=1,所以BC=2,

从而AO~\,

PO=2,AP=y/3,于是//0。=30",/物。=90",又由于P8=80,

B.选修4—2：矩阵与变换

解：由矩阵工属于特征值6的一个特征向量为内

由矩阵力属于特征值1的一个特征向量为。2=

-2r

c=2,-33-32

解得，d=4.即”,“逆矩阵是/T=

.24.1

~32.

C.选修4—4：坐标系与参数方程

22

解：(1)椭圆的参数方程化为普通方程，得二+匕1,

259

.•・。==3,c=4,则点尸的坐标为(4,0).

直线I经过点(m,0),:.m=4.

(2)将直线/的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得:

(9cos2a+25sin2a)/+72/cosa-81=0.

设点48在直线参数方程中对应的参数分别为4,右，则

8181

\FA\^\FB\=\tt

]29cos2a+25sin2a9+16sin2a

当sina=0时，取最大值9；

Q]

当sin&=±1时，|&川尸8|取最小值五.

D.选修4—5：不等式选讲

2

+3/+6c)(；11

解：由柯西不等式得(a+b+c)2=y/3b—f=+V6cW(2/—十—十—

V336

当且仅当2a=36=6c时取等号.

'：a+b+c=\-d,2/+3/+6。2=25-凡

：.(\-d)2<25-d2,即/一1-12W0.解得de[-3,4].

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.

22.解：(1)以｛刀，反,万万｝为单位正交基底，如图建立空间直角坐标系.

设的=〃?而，CN=nCB],则.