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2/2专题11实际问题中的方程(组)与函数题型【例1】(2019·郑州外国语测试)俄罗斯世界杯足球赛期间,某商店销售一批足球纪念册,每本进价40元,规定销售单价不低于44元,且获利不高于30%,在试销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300本,销售单价每上涨1元,每天销售量减少10本,现商店决定提价销售,设每天销售量为y本,销售单价为x元.(1)请直接写出y与x直接的函数关系式及x的取值范围;(2)当每本足球纪念册的销售单价是多少元时,商店每天获利2400元?(3)当每本足球纪念册的销售单价是多少元时,商店每天的利润w最大?最大利润是多少元?【例2】(2018·河师大附中模拟)某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜,已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2倍多200元,买3头甲种牲畜和1头乙种牲畜共需5700元.(1)甲、乙两种牲畜的单价各是多少元?(2)相关资料表明:甲、乙两种牲畜的成活率分别为95%和99%,若购买以上两种牲畜共50头,并使这50头的成活率不低于97%,且要使购买的总费用最低,应如何购买?【变式2-1】(2019·三门峡二模)水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售,经过还价,实际价格每千克比原来少2元,发现原来买这种水果80千克的钱,现在可买88千克.(1)现在实际购进这种水果每千克多少元?(2)王阿姨准备购进这种水果销售,若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图所示的一次函数关系.①求y与x之间的函数关系式;②请你帮王阿姨拿个主意,将这种水果的销售单价定为多少时,能获得最大利润?最大利润是多少?(利润=销售收入﹣进货金额)【例3】(2018·洛阳三模)在江苏卫视《最强大脑》节目中,搭载百度大脑的机器人小度以3:1的总成绩,斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格,人工智能时代已经扑面而来.某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售,很快销售一空,商家又用24000元第二次购进同款机器人,所购进数量是第一次的2倍,但单价贵了10元.(1)求该商家第一次购进机器人多少个?(2)若所有机器人都按相同的标价销售,要求全部销售完毕的利润率不低于20%(不考虑其它因素),那么每个机器人的标价至少是多少元?【变式3-1】(2019·周口二模)由于技术更新,智能电视的功能越来越强大,价格也逐渐下降,某电器商行经营的A款40英寸智能电视去年销售总额为5万元,今年每台销售价比去年降低400元,若卖出的数量相同,销售总额将比去年减少20%.(1)今年A款40英寸智能电视每台售价多少元?(用列方程的方法解答)(2)该电器商行计划新进一批A款40英寸智能电视和新款B款40英寸智能电视共60台,且B款40英寸智能电视的进货数量不超过A款40英寸智能电视数量的两倍,应如何进货才能使这批智能电视获利最多?A,B两款40英寸智能电视的进货和销售价格如下表:A款40英寸智能电视B款40英寸智能电视进货价格(元)11001400销售价格(元)今年的销售价格2000【例4】(2018·河南第一次大联考)(1)桂花树香樟树的单价各多少?(2)根据学校实际情况,需购买两种树苗共150棵,总费用不超过10840元,且购买香樟树的棵树不少于桂花树的1.5倍,请你算算,该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案.【变式4-1】(2019·偃师一模)冬季来临,某网店准备在厂家购进A,B两种暖手宝共100个用于销售,若购买A种暖手宝8个,B种暖手宝3个,需要950元;若购买A种暖手宝5个,B种暖手宝6个,则需要800元.(1)购买A,B两种暖手宝每个各需多少元?(2)①由于资金限制,用于购买这两种暖手宝的资金不能超过7650元,设购买A种暖手宝m个,求m的取值范围;②在①的条件下,购进A种暖手宝不能少于50个,则有哪几种购买方案?(3)购买后,若一个A种暖手宝运费为5元,一个B种暖手宝运费为4元,在第(2)问的各种购买方案中,购买100个暖手宝,哪一种购买方案所付的运费最少?最少运费是多少元?1.(2019·济源一模)为支持国家南水北调工程建设,小王家由原来养殖户变为种植户,经市场调查得知,种植草莓不超过20亩时,所得利润y(元)与种植面积m(亩)满足关系式y=1500m;超过20亩时,y=1380m+2400.而当种植樱桃的面积不超过15亩时,每亩可获得利润1800元;超过15亩时,每亩获得利润z(元)与种植面积x(亩)之间的函数关系式为z=-20x+2100.(1)设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为P元,直接写出P关于x的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(2)如果小王家计划承包40亩荒山种植草莓和樱桃,当种植樱桃面积(x亩)满足0<x<20时,求小王家总共获得的利润w(元)的最大值.2.(2019·洛阳二模)某游乐园的门票销售分两类:一类个人门票,分为成人票,儿童票;一类为团体门票(一次购买门票10张及以上),每张门票在成人票价格基础上打6折.已知一个成人带两个儿童购门票需80元;两个成人带一个儿童购门票需100元.(1)每张成人票和儿童票的价格分别是多少元?(2)光明小学4名老师带领x名儿童到该游乐园,设购买门票需y元.①若每人分别购票,求y与x之间的函数关系式;②若购买团体票,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;③请根据儿童人数变化设计一种比较省钱的购票方案.3.(2019·洛阳三模)近几年,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也在逐年增加,某商场从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,两种净化器的销售相关信息见下表:A型销售数量(台)B型销售数量(台)总利润(元)5395034900(1)每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少?(2)该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共80台,其中B型空气净化器的进货量不多于A型空气净化器的2倍,为使该公司销售完这80台空气净化器后的总利润最大,请你设计相应的进货方案;(3)已知A型空气净化器的净化能力为200m3/小时,B型空气净化器的净化能力为300m3/小时,某长方体室内活动场地的总面积为200m2,室内墙高3m,该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新,若不考虑空气对流等因素,至多要购买A型空气净化器多少台?4.(2017·新野一模)某水果店购买一批时令水果,在20天内销售完毕,店主将本次此销售数据绘制成函数图象,如图①,日销售量y(千克)与销售时间x(天)之间的函数关系;如图②,销售单价p(元/千克)与销售时间x(天)之间的函数关系式.(1)求y关于x和p关于x的函数关系式;(2)若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”,则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天?在此期间销售金额最高是第几天?5.(2018·焦作一模)某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器,购买2个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元;购买1个A品牌和2个B品牌的计算器共需124元.(1)求这两种品牌计算器的单价;(2)学校开学前夕,该商店举行促销活动,具体办法如下:购买A品牌计算器按原价的九折销售,购买B品牌计算器超出10个以上超出的部分按原价的八折销售.①设购买x个A品牌的计算器需要y1元,购买x个B品牌的计算器需要y2元,分别求出y1、y2关于x的函数关系式;②小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器,若购买计算器的数量超过10个,问购买哪种品牌的计算器更合算?请说明理由.6.(2018·信阳一模)某班为参加学校的大课间活动比赛,准备购进一批跳绳,已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元,1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元.(1)求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元?(2)学校准备购进这两种型号的跳绳共50根,并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍,请设计书最省钱的购买方案,并说明理由.7.(2019·南阳毕业测试)为响应市政府“创建国家森林城市”的号召,某小区计划购进A、B两种树苗共17棵,已知A种树苗每棵80元,B种树苗每棵60元.(1)若购进A、B两种树苗刚好用去1220元,问购进A、B两种树苗各多少棵?(2)若购进A种树苗a棵,所需费用为W,求W与x的函数关系式;(3)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请你给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.8.(2019·开封二模)孝感市在创建国家级园林城市中,绿化档次不断提升.某校计划购进A,B两种树木共100棵进行校园绿化升级,经市场调查:购买A种树木2棵,B种树木5棵,共需600元;购买A种树木3棵,B种树木1棵,共需380元.(1)求A种,B种树木每棵各多少元?(2)因布局需要,购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定:在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素),实际付款总金额按市场价九折优惠,请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用.9.(2019·安阳一模)某校计划购进甲、乙两种规格的书架,经市场调查发现有线上和线下两种购买方式,具体情况如下表:规格线下线上单价(元/个)运费(元/个)单价(元/个)运费(元/个)甲240021020乙300025030(1)如果在线下购买甲、乙两种书架共30个,花费8280元,求甲、乙两种书架各购买了多少个?(2)如果在线上购买甲、乙两种书架共30个,且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的3倍,请求出花费最少的购买方案及花费.10.(2019·省实验一模)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元,经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:售价x(元/千克)506070销售量y(千克)1008060(1)求y与x之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入﹣成本);(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?11.(2019·叶县一模)小王是“新星厂”的一名工人,请你阅读下列信息:信息一:工人工作时间:每天上午8:00﹣12:00,下午14:00﹣18:00,每月工作25天;信息二:小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表:生产甲产品数(件)生产乙产品数(件)所用时间(分钟)10103503020850信息三:按件计酬,每生产一件甲种产品得1.50元,每生产一件乙种产品得2.80元.信息四:该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成,小王每月的底薪为1900元,请根据以上信息,解答下列问题:(1)小王每生产一件甲种产品,每生产一件乙种产品分别需要多少分钟;(2)2019年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件,则小王该月收入最多是多少元?此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件?12.(2019·濮阳二模)“京东电器”准备购进A、B两种品牌台灯,其中A每盏进价比B每盏进价贵30元,A售价120元,B售价80元已知用1040元购进的A数量与用650元购进B的数量相同.(1)求A、B的进价;(2)超市打算购进A、B台灯共100盏,要求A、B的总利润不得少于3400元,不得多于3550元,问有多少种进货方案?(3)在(2)的条件下,该超市决定对A台灯进行降价促销,A台灯每盏降价m(8<m<15),B的售价不变,超市如何进货获利最大?13.(2019·商丘二模)为落实“精准扶贫”,某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地,准备种植A,B两种蔬菜,若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜,共需投入36万元;若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜,共需投入34万元.(1)种植A,B两种蔬菜,每亩各需投入多少万元?(2)经测算,种植A种蔬菜每亩可获利0.8万元,种植B种蔬菜每亩可获利1.2万元,村里把100万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜,总获利w万元.设种植A种蔬菜m亩,求w关于m的函数关系式;(3)在(2)的条件下,若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍,请你设计出总获利最大的种植方案,并求出最大总获利.14.(2019·开封模拟)2018年4月8日﹣11日,博鳌亚洲论坛2018年年会在海南省博鳌镇召开.本届博鳌亚洲论坛的主题为“开放创新的亚洲,繁荣发展的世界”.围绕这一主题,年会设置了“全球化与一带一路”“开放的亚洲”“创新”“改革再出发”四大板块,展开60多场正式讨论.某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区,已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同,3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元?(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元,则至少销售甲种商品多少万件?15.(2019·开封二模)某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元,销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元.(1)求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元?(2)该商店计划一次购进两种型号的手机共110部,其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍.设购进B型手机n部,这110部手机的销售总利润为y元.①求y关于n的函数关系式;②该手机店购进A型、B型手机各多少部,才能使销售总利润最大?(3)实际进货时,厂家对B型手机出厂价下调m(30<m<100)元,且限定商店最多购进B型手机80台.若商店保持两种手机的售价不变,请你根据以上信息及(2)中的条件,设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案.16.(2019·西华县一模)某学校是乒乓球体育传统项目学校,为进一步推动该项目的开展,学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副,并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球,乒乓球的单价为2元/个,若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元;购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元.(1)求两种球拍每副各多少元?(2)若学校购买两种球拍共40副,且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍,请你给出一种费用最少的方案,并求出该方案所需费用.17.(2019·郑州联考)某学校计划购买排球、篮球,已知购买1个排球与1个篮球的总费用为180元;3个排球与2个篮球的总费用为420元.(1)求购买1个排球、1个篮球的费用分别是多少元?(2)若该学校计划购买此类排球和篮球共60个,并且篮球的数量不超过排球数量的2倍.求至少需要购买多少个排球?并求出购买排球、篮球总费用的最大值?18.(2019·安阳二模)母亲节前,某淘宝店从厂家购进某款网红礼盒,已知该款礼盒每个成本价为30元.经市场调查发现,该礼盒每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系.当该款礼盒每个售价为40元时,每天可卖出300个;当该款礼盒每个售价为55元时,每天可卖出150个.(1)求y与x之间的函数解析式(不要求写出x的取值范围);(2)若该店老板想达到每天不低于240个的销售量,则该礼盒每个售价定为多少元时,每天的销售利润最大,最大利润是多少元?19.(2019·平
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