2023年海南省海口市高考数学学科能力诊断试卷

2023年海南省海口市高考数学学科能力诊断试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.己知复数2=言，则其共粗复数£=()

A.2+iB.2-iC.10+5iD.10-5i

2.已知集合4={x|2x—lS0},B={刈：>1},则AriB=()

A.。B.(x|0<x<^}C.{x||<x<1}D.{x\x>1}

3.在等比数列{an}中，a2+a4=32,a6+a8=16,贝！|%0+a”+a*+&6=()

A.8B.10C.12D.14

4.魏晋时期刘徽撰写的施岛算经J)是关于测量的数学著作，其中有一题是测量海岛上松

树的高.如图，点E,H,G在水平线C/上，CE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的

高度，DE与BH交于点J,则松树的高度4B=()

C.DJxEGnjD.零黑+可

5.已知Fi，尸2为椭圆卷+9=1的两个焦点，P为椭圆上一点且IPFJ=2%|,则APF/2的

面积为()

A.2V_3B.\Hl5C.4D.y/~T7

6.如图是一个圆台形的水杯，圆台的母线长为12cm,上、下底面的半径

分别为4cm和2cm.为了防烫和防滑，该水杯配有一个皮革杯套，包裹住水杯

|高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不计，则此杯套使用的皮

革的面积为()

A.38ncm2

D.48ncm2

7.已知双曲线C：卷一5=1(<1>0/>0)的左顶点为4,右焦点为F(c,O),过点4的直线1与

圆(％-02+川=”一。)2相切，与C交于另一点B,且4BAF屋，则C的离心率为()

A.3B.|C.2D.|

8.已知函数/(%)=£,将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函

数h(x)=/(x)+g(x)在区间(一睛)上的最小值为()

A.<3B.殍C.3D.4

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.某上市科技公司2022年各业务板块的营收和净利润分别占公司总营收和总净利润的比例

如下表：

智能手机生活消费产品互联网服务其他

营收占比60.2%28.2%9.9%1.7%

净利润占比67.3%23.4%9.9%-0.6%

已知该公司2022年总体的净利润率为5%(净利润率=之零)，则该公司2022年()

A.营收和净利润大部分来自“智能手机”板块

B.各业务板块均有盈利

C.“互联网服务”板块的净利润率为5%

D.“生活消费产品”板块的净利润率小于3%

10.已知7n>n>0,则()

A.Vm2+m>Vn2+nB.m—n>sinm—sinn

——m_n

C.\lnm\>\lnn\D.,P石p>m—n

11.已知函数/(%)的定义域为R,/(2x-1)是偶函数，函数g(;r)=(%+1)/(%)在上

单调递增，则()

A./(2x-1)=/(I-2x)

B.g(x)在(一1,+8)上单调递增

C.若f(a)>»)，则|g(a)|>|g(b)|

D.若g(a)+g(b)>0,则a+b+2>0

12.在四面体4BC0中，AB=CD=1,AC=AD=BC=BD=2,E,F,G分别是棱BC,

AC,AD上的动点，且满足ZB,CD均与面EFG平行，则()

A.直线4B与平面ZCD所成的角的余弦值为仔

B.四面体4BCD被平面EFG所截得的截面周长为定值1

C.△EFG的面积的最大值为:

D.四面体2BCD的内切球的表面积为得

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知64=(2,3),而=(3,t)，且|荏|=1，则实数t=.

14.(2x+今6的展开式中不含x的项的系数是.

15.若对任意aG[2,3],关于x的方程log。"=b—x在区间[2,3]上总有实根，则实数b的取值

范围是.

16.给如表所示的1〜9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选

一个未涂色且与上次所涂方格不相邻(即没有公共边)的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停

止涂色，记此时已被涂色的格子数为X,贝lJP(X=3)=.

123

456

789

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知函数/(%)=2s讥(3X+9)(3>0,|在<方的图象的相邻两条对称轴之间的距离为今且

/⑶的图象的一个对称中心为篇0).

(1)求/(乃的解析式；

（n）在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=*a=/（4）,且△ABC的

面积为工，求△ABC的周长.

18.（本小题12.0分）

记又为数列｛即｝的前n项和，已知%=2（即-2n+l）.

（I）证明：数列｛患｝是等差数列；

（口）设上为实数，且对任意neN*,总有k>胃，求k的最小值.

an

19.（本小题12.0分）

为促进全民健身更高水平发展，更好地满足人民群众的健身和健康需求，国家相关部门制定

发布了径民健身计划（2021-2025年）九相关机构统计了我国2018年至2022年（2018年的

年份序号为1,依此类推）健身人群数量（即有健身习惯的人数，单位：百万），所得数据如图

（I）若每年健身人群中放弃健身习惯的人数忽略不计，从2022年的健身人群中随机抽取5人,

设其中从2018年开始就有健身习惯的人数为X,求EX；

（口）由图可知，我国健身人群数量与年份序号线性相关，请用相关系数加以说明.

附:相关系数「=

J限i（y[y）2

参考数据：y=280,于=1靖=55,方=1*=397262,£乙々%=4429,V52620«229.4.

20.（本小题12.0分）

如图，四棱锥P-/BCD的顶点P在底面ABCD上的射影为4B的中点△ABC为等边三角形,

AD=DC,AD1DC,棱BC的中点为E.

（I）证明：BD1PE-,

（口）若PH=2AD,求直线PE与平面PBD所成角的正弦值.

ir

D

B

21.(本小题12.0分)

设。为坐标原点，点M,N在抛物线C：%2=4丫上，且而\丽=一4.

(I)证明：直线MN过定点；

(口)设C在点M,N处的切线相交于点P,求黑的取值范围.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=/nx+%2-3%+2.

(I)求/(%)的极值；

(II)若函数g(x)=/(%)4-(3-m)x至少有两个不同的零点，求实数m的最小值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：z=25(2T)

(2+i)(2-i)

故W=2+i.

故选：A.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共规复数的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及共粗复数的定义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：集合4={x\2x-1<0}=(x\x<

1

B={x\->1]={%|0<%<1},

则4nB=(x|0<x<j).

故选：B.

求出集合4B,利用交集定义能求出AnB.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】C

【解析】解：设公比为q,由02+04=32,a6+a3=16,

4

可得：j6+即=16=q(a2+。4)，

解得q4=|；

1

X

。10+a12+a14+a16—Q8(a2+CI4++«8)4-(32+16)=12.

故选：C.

设公比为q,依题意即可求出q4,然后根据等比数列的定义即可求解结论.

本题考查了等比数列基本量的运算，学生的数学运算能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：旦=弛，竺~=旦故弛=K,即

1ABCHABICCHICCE+EHCE+EG+GI

解得CE=^J,CH=CE+EH,

ul—cn

^.EHEG

故A8=g=DJ(CE+EH)=DJCE+DJEHDICE=取年而="EG

EH-EH-EH—EH丫"J—EH7-GI-EH1

故选：D.

据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可求解.

本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能

力，属中档题.

5.【答案】B

【解析】解：由［+)=1,可得a=3,b=C，c=2,

•••「为椭圆上一点，二仍&|+仍尸2|=2。=6,又|P&|=2|PBI，

IPFil=4,\PF2\=2,

又=2c=4,P&B的面积为42-1x2=775.

故选：B.

由题意易得|PFi|=4,\PF2\=2,求得等腰三角形底边上的高，可求APFiFz的面积.

本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属中档题.

6.【答案】C

【解析】解：根据题意，杯套的形状可看作一个圆台，且该圆台的母线长是圆台形水杯的母线长

的|,即8cm,

下底面圆的半径为圆台形水杯的下底面圆的半径，即2cm,

上底面圆的半径是当cm,

所以杯套的表面积S=7rx22+7rx(2+y)x8=^^(cm2).

故选：C.

先根据题意得到杯套的形状可看作一个圆台，求出该圆台的母线长及上，下底面圆的半径，然后

结合圆台的侧面积公式、圆的面积公式求解即可.

本题考查圆台表面积公式，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：由题意画出图形，直线与圆的切点设为C,

..,1g1=sin2=1,

可得淆寸解得e=；3.

故选：A.

利用已知条件画出图形，通过直线与圆相切，列出关系

式，求解双曲线的离心率即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，直

线与圆的位置关系的应用，是中档题.

8.【答案】B

cosx+cos(x-j)V-3cos(x-1)

【解析】解：%（吟=2+]

cos(x-^)cosxcos(x-^)-cos2(x~)~，

设七=3（%一》因为X6（一“所以七€弓,1],

"（"）=75—1=7—T，因为当£€（劣,1]时，t-7=7»

L—彳C一而Z4C44

所以九0）之殍，当t=i时取等号.

故选：B.

将旗x）表示出来，利用换元法求值域即可.

本题考查平移变换，考查三角函数值域问题，属于中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：选项A：智能手机业务板块的净利润占比为67.3%,营收占比为60.2%,均占大部分,

故A正确；

选项B：其他业务板块的净利润占比为负数，处于亏损状态，故B错误；

选项C：该公司2022年总体的净利润率为5%（净利润率=粤粤），

营收

故设总体营收为a,则总体净利润为5%a,

故“互联网服务”板块的净利润率为畸翳=5%,故C正确;

选项D：结合C可知，“生活消费产品”板块的净利润为叁嚅袈。4%>3%,故D错误.

QX28.2%

故选：AC.

根据表格中的数据，逐项判定，即可求解.

本题考查统计图表的应用，考查数据分析能力，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：Afvm>n>0,

(m2+m)—(n24-n)=(m4-n)(m—n)4-(m—n)=(m—n)(m+几+1)>0,

/.m2+m>n24-n>0,即V标+>>'*+九,・,•正确，

B,设/(%)=%—sin%,则/'(%)=1—cos%N0,・•・/(%)在R上单调递增，

vm>n>0,:.m—sinm>n—sinn,即m—n>sinm—sinn,二正确，

C,当m=},九=白时，满足九>0，但|仇加V|仇九I，••・错误，

D,设=则尸(%)=e”一2%,

设g(x)=ex—2x(%<0),则g'(%)=ex—2,

当工€(0,伍2)时，则g'(%)VO,g(%)单调递减，

当％G(仇2,+8)时，则£(%)>0,g(x)单调递增，

・・・当欠=①2时，则g。)取得最小值为、位-2ln2=2-2ln2=2(1-Zn2)>0,

••・f'(x)=-2%>0,

:./(%)=ex-/在(o,+8)上单调递增，

vm>n>0,

・•・em-m2>en—n2,em—en>m2—n2,

mn、p诬

-e----e->m-n,正确.

m+nf

故选：ABD.

利用作差法判断4利用构造函数的单调性判断BD,利用举实例法判断C

本题考查作差法的运用，考查利用构造函数的单调性比较大小，属于中档题.

11.【答案】BD

【解析】解：根据题意,函数/(X)的定义域为R,/(2X-1)是偶函数，贝叶(一2%-1)=/(2%-1),

变形可得/'(x)=/(-2—霜，

故的图象关于直线％=-1对称，

由此分析选项：

对于4,f(2x-l)是偶函数，贝行(一2%-1)=〃2X-1),A错误；

对于8,g(x)=(x+l)f(x),g(-2-%)=(-2—x+1)/(-2-x)=—(x+1)/(—2—x)=—(x+

l)f(x)=一g(x)，

则函数g。)的图象关于点(-1,0)对称，又由g(x)在(-8,-1］上单调递增，

则g(x)在(-1,+8)上单调递增，8正确；

对于C,f(x)的图象关于直线x=-1对称，g(x)的图象关于点(一1,0)对称，若/(a)>/(b),无法

确定a、b的关系，也无法确定|g(a)|和|g(b)|的关系，C错误；

对于。，函数g(x)的图象关于点(-1,0)对称，且g(-1)=0,g(x)在和(-1,+8)上都是增

函数，

则g(x)在R上为增函数，

若g(a)+g(b)>0，则有g(a)>-g(b)=g(-2-b),必有a>-2-b,则有a+b+2>0,D

正确.

故选：BD.

根据题意，分析函数f(x)的对称性，由此结合函数的对称性、单调性分析选项是否正确，综合可

得答案.

本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性和单调性的性质，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：(1)证明：设平面EFG与BD的交点为H,

vCD//^EFGH,CDu平面BCD,

而平面EFGHn平面BCD=HE..-.CD//HE,同理GF〃CD..・.GF//HE

同理GH〃EF..•.四边形EFGH为平行四边形，

由CD//EF,HE//AB,二4HEF(或其补角)为CD和4B所成的角，

取CC的中点M,由已知易得BM_LCD,AM1CD,又=

•••CD1平面4BM,ABu平面4BM,

CD1AB.：.HE1EF..•.四边形EFGH为矩形.

又CDu平面ACD,.•.平面4CDJ■平面4BM,

NB4M是直线4B与平面4CD所成的角，

又易得4M=BM=

在△ABM中，由余弦定理可得COSNBAM=；^W=W，故A正确;

在AABD中G”〃AB,.•.瑞=相=；1,所以GH=448=4,

在△4CD中GF〃C。，.,.%=^=1—九所以EF=CD(l-Q=l-；l,

所以截面四边形EFGH的周长为2(4+1-;I)=2,故8错误；

又EFGH是矩形，故四边形EFGH的面积S=(1-A)-A<(二岁/=%当且仅当4=1

即4=；时等号成立，即E为B0的中点时，矩形EFGH的面积最大为右

所以EFG的面积的最大值为卷.故C正确；

O

四面体4BCD的体积为了=\s^AMB•CD=H1xIT-IxJx1=空，

OO*TsJL4

设四面体ABC。的内切球的半径为r,SABCD=^xCDxBM^

二四面体48c。的内切球的表面积为47n*2=卷故D正确.

故选：ACD.

由四面体ABCO的性质，结合已知逐项计算可判断每个选项的正确性.

本题考查线面角的求法，考查三角形的面积，考查运算求解能力，属中档题.

13.【答案】3

【解析】解：■:0A=(2,3),而=(3,t)，

.-.AB^OB-OA=(l,t-3).

：.\AB\=7l+(t-3)2=1，

•••(t-3)2—0,t=3.

故答案为：3.

利用平面向量的求模公式求解即可.

本题考查平面向量的求模公式，属于基础题.

14.【答案】160

【解析】解：(2久+今6的展开式的通项公式为Tr+I=制(2x)6-r©)r=26-rC^X6-2ryr,

令6-2丁=0,解得r=3,

故不含久的项的系数为23叱=8X20=160.

故答案为：160.

根据题意，写出(2x+今6的展开式的通项公式，令6-2r=0,求解不含x的项的系数即可.

本题考查二项式定理，属于基础题.

15.【答案】［3,4］

【解析】解：设/(X)=10ga%—(b—X)=logaX+久一b,X>0,

因为a£［2,3］,所以y=log。尤在定义域上单调递增，

又因为y=x-6,在定义域上单调递增，

所以/(%)=10gaX+X-b在(0,+8)上单调递增，

又因为方程logaX=b-x在区间［2,3］上总有实根，

所以/(x)=logax+x-b在［2,3］上总有零点，

又因为f(x)=logax+x-b在［2,3］上单调递增，

所以f(2)=0或能:::或/⑶=0,

即1叫2+2i=0或｛窿:泊;>loga3+3-b=0,

解得loga2+2<b<loga3+3,

即有loga2+2<b<loga3+3在aG［2,3］上恒成立，

所以(10ga2+2)max-—(loga^+3)TOjn,

又因为(10ga2+2)mazlog22+2=3,(loga3+3)min=log33+3=4,

所以3<bW4.

故答案为：［3,4］.

设/(X)=logax-(b-x)=logax+x-b,x>0,由复合函数的单调性可知/1(x)=logax+x-b

在［2,3］上单调递增，将问题转化为/(x)=1。8陋+尢-人在［2,3］上总有零点，结合函数的零点知识,

求解即可.

本题考查了转化思想、函数的零点，属于中档题.

16.【答案吗

【解析】解：X=3时，第三次图5,则第二次可以涂1,3,7,9,

第二次涂1,则第一次有5种选择，第三次排除第一次涂色的格子和1,2,4,之外的5个格子中选

一个，

所以匕卷=：；

第二次涂3(7,9),同理可得，P2=P3=/^=Px=|x|=1；

...P(x=3)=P］+P2+P3+电=I4-

故答案为：g.

分类讨论X=3时的所有情况，再求和即可.

本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

17.【答案】解：(I)依题意，宾x；热解得3=2,

则/(%)=2sin(2x+<p),

又f(x)的图象的一个对称中心为砥,0)，

则2x招+勿=kn,k€Z,解得"=kn—kG,Z,

又附<今则9屋，

故/(x)=2sin(2x+,

(口)a=居)=2sin(y+^)=1,

又AABC的面积为2，则"csim4="cx孚=噌，可得儿=：,

又由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA,

则1=(b+c)2—2bc—2bcxp可得(b+c)2=2,

则b+c=q，

故△ABC的周长为，2+1.

【解析】(I)根据题意可得3=2,根据对称中心可得8=?进而得到函数/(%)的解析式；

(D)根据题意可得a=1,再由三角形的面积公式可得6c=最由余弦定理可得b+c=。，由此

可得AABC的周长.

本题考查三角函数与解三角形的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)因为5n=2(即—2八+1),所以土+1=2(an+i-2"+i+l),

作差可得即+1=2即+2计1,变形可得：翁=翁+1,

由条件可得的=24-2+1),所以⑥=2,二号•=1,

所以数列｛帘｝是以1为首项，1为公差的等差数列.

nnn+1

⑵由⑴得：^=n,.-.an=n-2,Sn-2=2(an-2)=(n-1)-2,

.汩_5T)2"+1_7_2

•,丁---一/-7

•••2二<2,.・.满足A>手的k的最小值为2.

【解析】(1)由题设和即与571的关系即可证；

(2)求出”三，再由手的单调性求出手的取值范围即可求得.

anan

本题考查即与sn的关系和等差数列的性质，数列的相关运算，属中档题.

19.【答案】解：(I)由图中数据可知从2018年开始就有健身习惯的人数为232百万，故2022年的

健身人群中每人符合条件的概率为=|f,

则X〜8(5,孰故EX=5x|f=^.

(n)由题意可知工=3,

r_-1(%一』)。「歹)_%孙=5"____________4429-5x3x280______

JE二1(与一受)2£之1仇一歹)2J%年-5?)(虎田-5力J(55-5x32)(397262-5x2802)

竺al,

V52620229.4

所以我国健身人群数量与年份序号正线性相关且相关性很强.

【解析】(I)根据数据线计算符合条件的概率，得到二项分布列，然后利用期望公式进行计算即

可.

(II)根据回归方程公式，计算相应的系数即可.

本题主要考查线性回归分析和均值的计算，根据线性回归方程公式求出相应的系数是解决本题的

关键，是中档题.

20.【答案】证明：(I)•••P在底面4BCD上的射影为48的中点H,

•••PH1平面4BCD,所以PH1BD,

因为4D=DC,BA=BC,BD=BD,

所以△ABC三△CBD,从而BDJ.4C,

连接HE,因为H是48的中点，E是BC的中点，

所以所以

因为P“nHE=H,所以BD1平面PHE,

所以BD1PE.

(II)如图，以4c与BD的交点0为坐标原点，直线。8为x轴，直线OC为y轴，过。且与底面直的直

线为z轴，建立空间直角坐标系.

不妨设4。=1,则PH=2,。。=¥，OB=号,AC=<7,

则8(£-,0,0),£>(-—,0,0)，f(—,0)>P(—,2)，

直线PE的方向向量取力=2PE=(0,/2—4),

设平面PBD的法向量为亢=(x,y,z),

因为而=4,0,0)，而=(呼？,—2),

__x—Q

由E•丝=0,得|2:，令z=l,得x=0,y=4>n，即亢=(0,4C,l),

I元-PO=01一字x+?y_2z=0

设直线PE与平面PBD所成角为0,

则Sine=|COS<2,元>I=I器I=y2+1甯32+1==今券

即直线PE与平面PBD所成角的正弦值为雪.

【解析】(I)利用线面垂直的性质证明BD_L平面PHE即可.

(□)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可.

本题主要考查空间直线垂直的证明，以及线面角的计算，利用线面垂直的性质定理以及建立坐标

系，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题.

21.【答案】解：(/)可设直线MN的方程为丫=丘+匕，代入/=4y消去y得/一4kx-4b=0,

设”(无1，%)，/V(x2,y2),

2

则/=16k+16b>0,且/+x2=4k,x1x2=-4b,

■：OM-ON=-4.

•••xtx2+当段=-4,

22

BP(k+I)/孙+/cb(x1+x2~)+b=—4,

即炉—4b=—4,贝！J/—4。+4=o,得(b—2)2=0,解得b=2,

即直线MN的方程为y=kx+2,

所以直线MN经过定点(0,2).

(II)由(I)可得/+g=4k,xrx2=-4b=-8,

222222

所以|MN|=7(l+/c)(X!-x2)=V(l+k)[(x1+x2)-4x1x2]=V(1+/c)(k+2),

由C：/=4丫求导数得y，=I，所以c在点M,N处的切线斜率分别为条

于是切线方程分别为y-y=y(X—%1)>y-^=y(X—X2')'

两式相减得乎—\=(苣—芸%+苧一争

即且_史=汩这

442

得X=殁合=2k,此时可得点P的坐标为(2匕-2),则|OP『=4/^+4,

,必一I1+，,

iop/JN