咸林中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

咸林中学2024--2025学年度上学高二年级第三次质量检测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量若则（）A.−2 B.1 C. D.1【答案】D【解析】因为，所以，即，解得．故选：D．2.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的动漫书，第3层放有2本不同的地理书，从书架上任取1本书，不同的取法总数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意可得从书架上任取1本书，有种不同的取法．故选：C．3.已知双曲线，下列结论正确的是（）A.C的实轴长为 B.C的渐近线方程为C.C的离心率为 D.C的一个焦点的坐标为【答案】C【解析】对A，C的实轴长为，A错；对B，C的渐近线方程为，B错；对C，C的离心率为，C对；对D，C的焦点的坐标为，D错.故选：C4.已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为抛物线C上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为抛物线C：，故由，解得，所以，所以的面积为．故选：D5.在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，.故选：A.、6.已知正方体的棱长为，点是平面内的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为（）A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.圆【答案】A【解析】过点在平面内作，垂足为点，连接，在正方体中，平面，平面，则，因为点P到直线的距离与到直线的距离相等，即，即点到直线的距离等于点到点的距离，由抛物线的定义可知，点的轨迹为抛物线.【答案】A7.已知，，，为空间中不共面的四点，且若，，，四点共面，则函数的最小值是（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】因为，，，四点共面，所以存在，使得，故,整理得，又，所以，所以，所以，当时，函数取最小值，且最小值.故选:D.8.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】取的中点为，连接，，，因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以⊥平面，因为平面，所以，又底面是矩形，所以，以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，由，，，得，所以，，，则，设，则，，，，因此点到直线的距离，故当时，取最小值，即线段上的动点到直线的距离的最小值为．故选：C．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于非零向量，下列命题中正确的是（）A.若，则. B.若，则.C.若，则. D.若，则.【答案】BD【解析】对于A，不能得到的方向，故A错误，对于B，若，则，B正确，对于C，向量不能比较大小，故C错误，对于D，若，则，D正确，故选：BD.10.下列说法正确的是（）A.到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.B.方程表示双曲线.C.到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线D.椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁【答案】BD【解析】到两定点的距离差的绝对值等于正常数,且该常数小于两定点的距离的点的轨迹是双曲线，故A错误；对于方程，若，则表示焦点在横轴的双曲线，若，原式可化为，则表示焦点在纵轴的双曲线，故B正确；根据抛物线的定义可知:该定点不能在定直线上，否则轨迹不能是抛物线，故C错误；椭圆的离心率是焦距与长轴的比值，离心率越大说明焦距与长轴长越接近，则短轴长越短，此时椭圆越扁平，故D正确.故选：BD11.如图，正方体的棱长为1，点在线段上运动，则下列选项中正确的是（）A.最小值为.B.平面平面.C.若是的中点，则二面角的余弦值为.D.若，则直线与所成角的余弦值为.【答案】ABC【解析】对A：如图连接，，因为是正方体，所以平面，平面，所以.又点在线段上，所以为直角三角形，所以（当点与点重合时取“”）.故A正确；对B：因为是正方体，所以平面，又平面，所以：平面平面，故B正确；对C：当为线段中点时，因为，，所以即为二面角的平面角.在中，，，，所以，所以.故C正确；对D：如图：因为，在上取点，使，连接，，则,所以即为异面直线与所成的角.中，，，.由余弦定理可得：，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若Cn+17-Cn7=C【答案】n=14.解析Cn+17=Cn∴n+1=7+8，n=14.13.已知向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=6，则2a-b在a方向上的投影数量为.

答案1解析∵a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=6，∴(2a-b)·a=2|a|2-a·b=2×22-2×6×12=2∴2a-b在a方向上的投影数量为(2a−b过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点．若是中点，则双曲线的离心率为__________.【答案】D【详解】因为为中点，为中点，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记AB=a，AC=b，AD=c.（1）.若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离.（2）.（1）的条件下，求异面直线EG与BD所成角的余弦值.解（1）.EG=EB+BC+CG=12AB+(AC-AB)+12(AD-AC)=12a+(b-a)+=-12a+12b+1所以EG2=14a2+14b2+14c2-12a·b-12a·c+1所以|EG|=22，即E，G间的距离为（2）.由（1）知，EG=-12a+12b+12c，|EG又BD=AD-AB=c-a，所以EG·BD=12(-a+b+c)·(c-a=12(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c=12×−12又|BD|=1，则cos〈EG，BD〉=EG·BD|EG||故异面直线EG与BD所成角的余弦值为2216.（15分）求下列问题的排列数：(1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻；(2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻；(3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端.解(1)根据相邻问题捆绑法得，先将3名女生全排列，并作为一个元素，再和其余4名男生一起排列，共有A33A(2)根据不相邻问题插空法得，先将4名男生进行全排列，再将3名女生插在5个空位上，共有A44A53(3)先从4名男生中取2人排在两端，再将其余5人排在中间5个位置上，共有A42A5517.（15分）已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(-3，0)的距离与它到定直线l：x=-433的距离之比为常数(1)求动点M的轨迹Q的方程；(2)设点A1，12，若P是(1)中轨迹Q上的动点，求线段PA的中点解(1)设动点M(x，y)，由已知可得(x+3即x2+23x+3+y2=34化简得x24+y2即所求动点M的轨迹Q的方程为x24+y(2)设B(x，y)，P(x0，y0)，由x=x由点P在轨迹Q上，得(2x−1)24+2y−∴线段PA的中点B的轨迹方程是18.（17分)如图，在四棱锥中，平面为的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）如图：取的中点，连接，则，且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.（2）因为平面平面，所以，由题设易知为直角梯形，且，则，，所以，即，因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（3）如图：取的中点，连接，则，由（2）知平面，则平面，所以为直线与平面所成的角.因为，所以.所以.即直线与平面所成角的正弦值为.19.设椭圆的方程为（），离心率为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于A，两点，.（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点满足，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由离心率得，由得椭圆过点，代入椭