（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案8.6《抛物线》 (原卷版)

页第六节抛物线核心素养立意下的命题导向1.结合抛物线的定义，考查求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象的核心素养．2．结合抛物线的几何性质及几何图形，求其相关性质及性质的应用能力，凸显数学运算、直观想象的核心素养．[理清主干知识]1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝﹣2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝﹣2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝﹣eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝﹣eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝﹣x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y0＋eq\f(p,2)|PF|＝﹣y0＋eq\f(p,2)3．抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝﹣p2；(2)|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)＝eq\f(1,2)|AB||d|＝eq\f(1,2)|OF|·|y1﹣y2|；(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；(7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．已知抛物线C与双曲线x2﹣y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±2eq\r(2)xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±4eq\r(2)x2．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.eq\f(17,16)B．eq\f(15,16)C.eq\f(7,8)D．03．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8二、易错点练清1．抛物线y＝﹣2x2的准线方程是()A．x＝eq\f(1,2)B．x＝eq\f(1,8)C．y＝eq\f(1,2)D．y＝eq\f(1,8)2．过点P(﹣2,3)的抛物线的标准方程是()A．y2＝﹣eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yB．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝﹣eq\f(4,3)yD．y2＝﹣eq\f(9,2)x或x2＝﹣eq\f(4,3)y3．若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4＝0上，则此抛物线的标准方程为______________．考点一抛物线的定义及应用[典例](1)已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝()A．2B．3C．6D．9(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若A(3,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为________，此时点P的坐标为________．[方法技巧]1．利用抛物线的定义可解决的常见问题轨迹问题用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线距离问题涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化2．抛物线定义的应用规律[提醒]建立函数关系后，一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围，即函数的定义域．[针对训练]1．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝5，点P为直线x＝﹣1上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为()A．8B．2eq\r(13)C．2＋eq\r(41)D．eq\r(65)[典例](1)已知抛物线y2＝ax上的点M(1，m)到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝3xD．y2＝5x(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x[方法技巧]抛物线的标准方程的求法(1)定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．(2)待定系数法①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；②当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝﹣2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．[针对训练]1.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝eq\r(3)x2．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．考点三抛物线的几何性质[典例](1)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1,0)D．(2,0)(2)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.[方法技巧]抛物线几何性质的应用技巧(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．(2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键．[针对训练]1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.eq\f(\r(2),2)B．eq\r(2)C.eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)2．(多选)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，则下列结论正确的是()A．点P到抛物线焦点的距离为eq\f(3,2)B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为eq\f(5,32)C．过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y＋1＝0D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1．已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大eq\f(1,2)，则抛物线的标准方程为()A．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．y2＝8x2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为eq\r(3)，则抛物线的焦点坐标为()A．(eq\r(3)，0)B．(0，eq\r(3))C．(2eq\r(3)，0)D．(0,2eq\r(3))3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝()A．2B．4C．6D．84．若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝4eq\r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A．1B．2C．3D．55．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|﹣|PE|的值为()A．1B．2C．3D．46．已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．二、综合练——练思维敏锐度1．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()A．y2＝4xB．y2＝6xC．y2＝8xD．y2＝10x2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq\f(5,4)x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．83．双曲线eq\f(x2,m)﹣eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为()A.eq\f(3,16)B．eq\f(3,8)C.eq\f(16,3)D．eq\f(8,3)4．已知点A(0,2)，抛物线C1：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶eq\r(5)，则a的值为()A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．1D．45．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线()A．经过点OB．经过点PC．平行于直线OPD．垂直于直线OP6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为4，则|AB|＝()A．6B．8C．12D．167．已知抛物线y2＝2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x﹣2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为()A．x＋2y＋1＝0B．3x＋6y＋4＝0C．2x＋6y＋3＝0D．x＋3y＋2＝08．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq\r(3)，