2021年新人教版八年级下数学第17章-勾股定理单元测试卷

2021年新人教版八年级下数学第17章勾股定理单元测试卷

学校：班级：姓名：考号：

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）

1.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）

A.2,3,4B.5,8,12C.4,6,9D.1,2,V5

2.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.1,1,V2C.6,8,11D.5,12,23

3.如图，在RtAABC中，AACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC

的延长线于点E,则CE的长为()

A

A

BCE

A-iC.-D.2

6

4.将长方形4BCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在边的中点C'上.若48=6,BC=9,

则BF的长为（）

D'

B'―斗

A.4B.3V2C.4.5D.5

5.下列说法不正确的是（）

A.命题有真命题，也有假命题

B.要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可

C.一个定理的逆命题是原定理的逆定理

D.要说明一个命题是真命题，需要进行证明

6.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的"弦图"，它解决的数

周

脾

其

^.

学问题是()

A.黄金分割B.垂径定理C.勾股定理D.正弦定理

7.如图，在△力BC中，AB=BC./-ABC=90°,是4C边中线，点D,E分别在边4c

和BC上，DB=OE,EF1AC于点凡DE交BM于点、N.下列结论：

④①=“CE；②。“2=MN-MB；③CD-EN=BN♦BD；@S^DE=

SIMBMFE；®AC>2DF-其中结论正确的个数是（）

B

A.1个B.2个C.3个D.4个

8,下列几组数中，为勾股数的是（）

A.3、4、6C7、24、25D.0.9、1.2、1.6

9.A/IBC满足下列条件中的一个,其中不能说明△ABC是直角三角形的是（）

A.b2=(a+c)(a—c)B.a:b:c=1:V3：2

C.Z.C=Z.X—乙BD.Z.A:Z.B:Z.C=3:4:5

10."赵爽弦图"巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所

试卷第2页，总20页

示的"赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设

直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,

则小正方形的边长为()

C.4D.3

二、填空题(本题共计6小题，每题3分，共计18分，)

11.与直角三角形三条边长对应的3个正整数(a",c),称为勾股数，《周髀算经》中记

载的"勾三股四弦五"中的"3,4,5"就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍,

如(6,8,10)(9,12,15)(12,16,20)等都是勾股数.

当然，勾股数远远不止这些，如(5,12,13)(8,15,17)等也都是勾股数.

22

怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数(a,b,c)才能满足关系式a?+b=c

活动1：

设(a,瓦c)为一组勾股数，如下表：

表1表2

abcabc

3456810

5121381517

72425102426

94041123537

活动2：

与直角三角形三条边长对应的3个正整数(a,b,c),称为勾股数，《周髀算经》中记载的

"勾三股四弦五”中的"3,4,5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如

(6,8,10)(9,12,15)(12,16,20)等都是勾股数.

当然，勾股数远远不止这些，如(5,12,13)(8,15,17)等也都是勾股数.

22

怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数(a,hc)才能满足关系式a?+b=c

活动1：

设(a,b,c)为一组勾股数，如下表：

表1表2

abcabc

3456810

5121381517

72425102426

94041123537

活动2：

(1)观察表1,b、C与之间的关系是;

(2)根据表1的规律写出勾股数(11)

活动3：

(1)观察表2,b、c与4之间的关系是；

(2)根据表2的规律写出勾股数(16)

活动4：

一位数学家在他找到的勾股数的表达式中，用2n2+2"+1(n为任意正整数)表示勾

股数中的最大的一个数，则另两个数的表达式是、(认真观察表1、

表2后直接写出结果)

12.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在距离根部4m

处，这棵大树在折断前的高度为m.

13.八年级(1)班的学生准备测量校园人工湖的深度，如图，他们把一根竹竿48竖直插

到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CO=0.8米.竹竿高出水面的部分4。长0.2米,

如果竹竿的底端固定不动，把竹竿的顶端4拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相

齐，则人工湖的深度B。为.

14.请写出“两直线平行，同位角相等”的逆命题：

15.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B,

C,0的面积依次为4,3,9,则正方形4的面积为.

试卷第4页，总20页

16."四边形是多边形"，这个命题的逆命题是,这个逆命题是命题

（填"真"或"假"）.

三、解答题（本题共计9小题，每题8分，共计72分，）

17.如图，分别以AABC的三边为直径作三个半圆，面积分别为Si，S2,S3,S1+S2=

S3,求证：乙4cB=90。.

18.阅读：所谓勾股数就是满足方程/+y2=z2的正整数解，即满足勾股定理的三个

正整数构成的一组数.我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该

方程的解为：x=|（m2—n2）,y=mn,z=（m2+n2）,其中m>n>0,m>n是互

质的奇数.

应用：当n=5时，求一边长为12的直角三角形另两边的长.

19.有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=lm,将它往前推送6m（水

平距离BC=6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=4m,秋千的绳索始终拉得很直,

求绳索4。的长度.

E

20.在甲村至乙村的公路有一条公路.在C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站4的

距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且C4LCB,如图所示.为

了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段

是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答.

21.写出下列命题的逆命题，判断它们的真假，并证明.

(1)若a?—b3,则a-by

(2)若Na+“=180°,则4a与40至少有一个是钝角.

22.如图，直线CD被BC所截，若AB"CD,N1=45。，22=35。，则

Z3=°.

23.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,过点4作4ELBD,垂

足为E,过点C作CFJ_BD,垂足为F.

(1)求证：AE=CF.

试卷第6页，总20页

(2)若Z710E=53。，Z.EAD=2/.CAE,求Z_BtL4的度数.

24.勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练地掌握勾股数，对迅速判断，解答题目

有很大帮助，观察下列几组勾股数：

abc

13=1+24=2x1x25=2x2+l

25=2+312=2x2x313=4x3+1

37=3+424=2x3x425=6x4+1

49=4+540=2x4x541=8x5+1

・・・••••・・•••

na=_______b=_______c=_______

(1)你能找出它们的规律吗？(填在上面的横线上)

(2)你能发现a,b,c之间的关系吗？

(3)你能用以上结论解决下题吗？

20192+20202x10092-(2020x1009+I)2

25.已知a,b分别为等腰三角形的两边长，且满足37^=1+275=7-b+5=0,求

三角形的周长.

参考答案与试题解析

2021年新人教版八年级下数学第17章勾股定理单元测试卷

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

1.

【答案】

D

【考点】

勾股定理的逆定理

【解析】

根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足"较小两边平方的和等于最大边

的平方”，由此即可得出结论.

【解答】

解：A,22+32^42,故4不符合题意；

B,52+82=#122,故B不符合题意；

C,42+62492,故c不符合题意；

D,22+12=（遥），故。符合题意.

故选D.

2.

【答案】

B

【考点】

勾股数

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：442+52^62,不能构成直角三角形，故选项错误；

B.12+12=（V2）2,可以构成直角三角形，故选项正确；

C.62+82^ll2,不能构成直角三角形，故选项错误；

£».52+122^232,不能构成直角三角形，故选项错误.

故选B.

3.

【答案】

B

【考点】

勾股定理

线段垂直平分线的性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：设CE=x,连接4E,如图所示，

试卷第8页，总20页

•••DE是线段AB的垂直平分线，

AE=BE=BC+CE=3+x,

・•・在RtZkACE中，AE2=AC2^CE2,

BP（3+%）2=424-%2,

解得X=g

o

7

CE=

6

故选B.

4.

【答案】

A

【考点】

勾股定理的应用

翻折变换（折叠问题）

勾股定理的综合与创新

【解析】

先求出BC',再由图形折叠特性知，C'F=CF=BC-BF=9-BF,在RtaC'BF中,

运用勾股定理BF2+BC'2=C'/2求解.

【解答】

解：：点C'是4B边的中点，AB=6,

：.BC=3,

由图形折叠特性知，

C'F=CF=BC-BF=9-BF,

在RtAC'BF中,BF2+BC'2=C'F2,

：.8/2+9=（9-B尸）2,

解得BF=4,

故选人

5.

【答案】

C

【考点】

定义、命题、定理、推论的概念

真命题，假命题

原命题与逆命题、原定理与逆定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：人B、。说法正确；

一个定理不一定有逆定理，但是会有逆命题，所以。说法错误.

故选C.

6.

【答案】

C

【考点】

勾股定理的证明

【解析】

"弦图"，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明.

【解答】

解："弦图"，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理.

故选：C.

7.

【答案】

D

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：设/EDC=x。，贝吐CEF=(90-x)。.

BD=DE,

：.Z.DBE=ADEB=/.EDC+zC=(x+45)°,

乙DBM=乙DBE-乙MBE=(45+x)°-45°=x,

乙DBM=LCDE,

故①正确；

乙DBM=LCDE,乙DMN=LDMN,

：.△DMN-△BMD,

：.DM2=MN•MB

故②正确；

,1•乙BNE=乙DBM+乙BDN,4BDM=乙BDE+4EDF,乙EDF=ADBM,

乙BNE=4BDM,

又“=4NBE=45°,

△DBC〜&NEB,

.CD_BN

••BD~EN'

CD•EN=BN♦BD.

故③正确；

(Z-DBM=Z.CDE,

在RtABDM和Rt△DEF中,<z_DMB=Z-DFE,

=DE,

Rt△BDM=Rt△DEF

S^BDM—S^OMN=SSEF-S>DMN，=S四边形MNEF'

试卷第10页，总20页

S^DBN+SABNE=S四边形MNEF+SABNH，

S^BDE=S四边形MNEF•

故④正确；

Rt△BDM=RtDEF,

：.BM=DF.

■：^ABC=90°,M是4C的中点，

BM=-AC,

2

：.DF=-AC,

2

故⑤错误.

故选D.

8.

【答案】

C

【考点】

勾股数

【解析】

根据勾股数的定义：满足a2+/=c2的三个正整数，称为勾股数解答即可.

【解答】

解：4、32+4?*62,不是勾股数；

B、(|)2+(J)2(1)2,不是勾股数；

c、72+242=252,是勾股数；

D、0.92+1.221.62,不是勾股数.

故选：C

9.

【答案】

D

【考点】

勾股定理的逆定理

【解析】

A由产=(a+c)(a-c)得扭+c2=a?,符合勾股定理的逆定理求解；

B.由a:b:c=1:百:2得a?+炉=©2,符合勾股定理的逆定理求解；

。.由乙4+乙8+乙(？=180。，4c=4A-4B得到乙4=90。，所以△ABC是直角三角形;

D.由=3:4:5和N4+4B+/C=180°,得到44=45°,=60°,ZC=

75°,所以△力BC不是直角三角形.

【解答】

解：4由廿=(a+c)(a—c)得b2=a2—c2,

即炉+c2=a2,所以△ABC是直角三角形；

B.由Q:b:c=1:6:2得乎+(遮"=4,22=4,

即。2+〃=。2,所以△ABC是直角三角形：

C.vZ-A+乙B+Z.C=180°,Z.C=Z-A—乙B,

:.+4/一=180°,

解得24=90。，

所以△4BC是直角三角形；

。.设4c=3:4:5=k(kH0),

••・Z.A=3k,乙B=4k,zC=5k.

•・•++=180°,

・・・3k+4/c+5/c=180,

:.k=15,

・•・乙4=45°,4B=60°,"=75°,

所以△ABC不是直角三角形.

故选D.

10.

【答案】

D

【考点】

勾股定理

【解析】

由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据

即可求出小正方形的边长.

【解答】

解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,

1•,每一个直角三角形的面积为：8=4,

4x：ab+(a—b)2=25,

(a—b)2=25—16=9,

a—b=3.

故选D.

二、填空题(本题共计6小题，每题3分，共计18分)

11.

【答案】

a2=b+c,60,61,ja2-b+c,63,65,2n2+2n,2n+1

【考点】

勾股数

【解析】

首先出方程的根，利用半径长，由点到直a距离为d,若d<r则直线与相交；d=，直

线于圆相切；d>r,则直与圆相离，从得出答.

【解答】

解：丫(2xlx-4)=0,

解得：(不题舍去，乂2=4,

4>,

该圆半径是，

•••。半径是方程(2x+)(x-4)=0一个，

2x+1=或-4=,

故答案：相交

12.

【答案】

试卷第12页，总20页

8

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

利用勾股定理直接解答即可.

【解答】

解：由勾股定理得，断下的部分为“32+42=5/n,

3+5=8m,

所以大树高为87n.

故答案为：8.

13.

【答案】

1.5米

【考点】

勾股定理的综合与创新

【解析】

利用勾股定理在Rt△DBC中，BD2+DC2=BC2,即M+。芯？=(%+0.2)2,可得解.

【解答】

解：设BC=x,贝ijAB=BC=x+0.2.

在RtZkDBC中，BD2+DC2=BC2,

即/+0.82=(%+0.2)2,

解得％=1.5.

故答案为：1.5米.

14.

【答案】

如果同位角相等，那么两直线平行

【考点】

原命题与逆命题、原定理与逆定理

【解析】

命题是由题设和结论两部分组成的，把原命题的题设作结论，原命题的结论作题设，

这样就将原命题变成了它的逆命题.

【解答】

解：原命题是：两直线平行，同位角相等.

改成如果…那么…的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等.

…逆命题为：如果同位角相等，那么两直线平行，

故答案为：如果同位角相等，那么两直线平行.

15.

【答案】

2

【考点】

勾股定理的应用

勾股定理

勾股定理的综合与创新

【解析】

根据勾股定理的几何意义解答.

【解答】

解:

由题意知，S正方形A+S正方形B=S正方形E>

S正方-S正方形c=S正方形E，

S正方形A+S正方形B-S正方形D_S正方形C，

正方形B,C,D的面积依次为4,3,9.

S正方形A+4=0-3.

S正方形A-2・

故答案为：2.

16.

【答案】

多边形是四边形，假

【考点】

命题与定理

真命题，假命题

原命题与逆命题、原定理与逆定理

【解析】

根据互逆命题的概念得到逆命题，根据题意判断即可.

【解答】

解："四边形是多边形"，

这个命题的逆命题是多边形是四边形，

这个逆命题是假命题，

因为多边形不只有四边形，所以逆命题为假.

故答案为：多边形是四边形；假.

三、解答题（本题共计9小题，每题8分，共计72分）

17.

【答案】

证明：S1+S2=S3，Sj=-7T（-/lC）2=-nAC2,

228

S=-TTBC2,S3=-TTAB2,

N2838

-nAC2-\--TIBC2=-nAB2,

888

试卷第14页，总20页

即+8。2=AB2t

4ACB=90°.

【考点】

圆的有关概念

勾股定理的逆定理

【解析】

由S1+S2=S3，根据圆的面积公式得出：兀4。2+；7rBe2=27MB2,即4c2+8C2=

888

AB2,根据勾股定理的逆定理即可证明乙4cB=90。.

【解答】

证明：...S1+$2=S3，Si=-n(^ACy=-nAC2,

228

S=-nBC2,S=-TIAB2,

2£8J38

-nAC2+-HBC2=-TTAB2,

888

BP/IC2+BC2=AB2,

：.Z.ACB=90°.

18.

【答案】

n=5,直角三角形一边长为12,

有三种情况：

①当x=12时，^(m2—52)=12.

解得nii=7,m2=-7(舍去).

y—mn=35.

z=|(nt2+n2)=|x(72+52)=37.

•1.该情况符合题意.

②当y=12时，

5M=12,

12

m=—.

5

?n为奇数，

zn=£舍去.

③当z=12时，|(m2+52)=12,

m2=-l,

此方程无实数解.

综上所述：当n=5时，一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35,37.

【考点】

勾股数

【解析】

分类讨论：x=12；y=12；z=12,结合已知条件，借助于方程解答.

【解答】

Vn=5,直角三角形一边长为12,

有三种情况：

①当x=12时，1(m2-52)=12.

解得nti=7,m2—~7(舍去).

y=mn=35.

z=1(m2+n2)=|x(72+52)=37.

该情况符合题意.

②当y=12时，

57n=12,

12

m=­.

5

zn为奇数，

m=当舍去.

③当z=12时，|(m2+52)=12,

62=-1,

此方程无实数解.

综上所述：当n=5时，一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35,37.

19.

【答案】

绳索4。的长度是7.5m

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

设秋千的绳索长为xm,根据题意可得4C=(x-3)m,利用勾股定理可得产=62+

(x—3)2.

【解答】

在RtAACB中，

AC2+BC2=AB2,

设秋千的绳索长为xm,则AC=(x-3)m,

故%2=6?4-(X—3)2,

解得：x=7.5,

20.

【答案】

解：如图，过C作CD148于。，

BC=400米，AC=300米，UCB=90°,

・••根据勾股定理得AB=500米，

----AB-CD=-BC-AC,

22

：.CD=240米.

•••240米＜250米，故有危险，

因此4B段公路需要暂时封锁.

试卷第16页，总20页

c

【考点】

勾股定理的应用

勾股定理的综合与创新

【解析】

如图，本题需要判断点C到的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有

危险.因此过C作CD于。，然后根据勾股定理在直角三角形4BC中即可求出AB的

长度，然后利用三角形的公式即可求出CD,然后和250米比较大小即可判断需要暂时

封锁.

【解答】

解：如图，过C作CD_LAB于。，

BC=400米，4C=300米，Z_4CB=90°,

根据勾股定理得4B=500米，

-2AB-CD=2-BCAC,

CD=240米.

240米<250米，故有危险，

因此AB段公路需要暂时封锁.

21.

【答案】

解：（1）逆命题是："若a=b,则。3=匕3"，是真命题.

证明如下：；a=b（已知），

a-a=b-b,

即。2=炉（等式性质）.

a2-a=b2-b,

即。3=右（等式性质）.

（2）逆命题是："若乙a与二夕至少有一个是钝角，则Na+/0=180。"，是假命题.

证明如下：

设z>a=100°,40=60°,

则Na+N/?=160°H180°,

该命题是假命题.

【考点】

原命题与逆命题、原定理与逆定理

等式的性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：（1）逆命题是："若a=b,则。3=匕3〃，是真命题.

证明如下：a=b（已知），

a-a=b-b,

即。2=匕2（等式性质）.

a2-a=b2-b,

即a3=/（等式性质）.

（2）逆命题是："若Na与立夕至少有一个是钝角，则Na=180。"，是假命题.

证明如下：

设“=100°,邛=60°,

则Z_a+4?=160°H180°,

该命题是假命题.

22.

【答案】

80

【考点】

三角形的外角性质

平行线的性质

【解析】

先根据平行线的性质求出NC的度数，再由三角形外角的性质可得出结论.

【解答】

解：VAB“CD,41=45°,

:.zC=zl=45°,

v42=35°,

・•・z3=zC+Z2=45°+35°=80°

故答案为80.

23.

【答案】

（1）证明：:四边形4BCD是平行四边形，

OA=OC.

,/AE1BD,CF1BD,

Z.AEO=乙CFO=90°.

,/（AOE=LCOF,

△4E0=△CFO^AAS^

AE=CF.

（2）解：；AE1BDf

・•・^AEO=90°.

•/Z-AOE=53°,

/.Z.EAO=90°-Z.AOE=37°.

Z-EAD=2/-CAE,

Z-DAC=/-EAO=37°.

试卷第18页，总20页

••・四边形4BCD是平行四边形，

AD//BC,

Z.BCA=乙DAC=37°.

【考点】

全等三角形的性质与判定

平行四边形的性质

平行线的性质

【解析】

无

无

【解答】

(1)证明：・「四边形48CD是平行四边形，

/.0A=0C.

上

,/AE1BDfCFBD,

Z.AEO=Z.CFO=90°.

•••Z.AOE=Z.COF,

/.AAEO=△CFO(AAS),

AE=CF.

⑵解：・・,AELBDf

：./-AEO=90°.

,/Z-AOE=53°,

/./.EAO=90°-Z-AOE=37°.

,/Z-EAD=24CAE,

Z.DAC=Z.EAO=37°.

*/四边形ABC。是平行四边形，

/.ADIIBC,

・•・(BCA=^DAC=37°.

24.

【答案】

2n+l,2n(n+l),2n(n+1)+1

(2)a2+62=c2,

理由如下：

a=2n+1,b=2n(n+1)>c=2n(n+1)+1,

a2+b2=(2n+I)2+[2n(n+l)]2=[2n(