新教材212基本不等式213基本不等式的应用作业

2.1.2根本不等式2.1.3根本不等式的应用根底过关练题组一对根本不等式及其推论的理解1.不等式a+1≥2a中等号成立的条件是()A.a=0B.a=1C.a=1D.a=22.(多项选择)以下条件可使ba+ab≥2A.ab>0B.ab<0C.a>0,b>0D.a<0,b<03.以下不等式一定成立的是()x+12xx2+12xC.3(x2+1)+12(D.3(x2-1)+12(题组二利用根本不等式比拟大小4.假设0<a<b,那么以下不等式一定成立的是()A.b>a+b2>B.b>ab>a+bC.b>a+b2>D.b>a>a+b5.设M=n+1n3,N=n3+1n3+6,对于任意nA.M≥NB.M>NC.M≤ND.不能确定6.假设x>0,y>0,且x+y≤4,那么以下不等式中恒成立的是()A.1x+y≤14B.1C.xy≥2D.1xy≥7.假设a>b>c,那么a-c2与题组三利用根本不等式求最值(取值范围)8.函数y=x+4x-1(x229.实数x,y>0,那么x+y+4x+1y210.(2021北京东直门中学高一期中)假设对任意的x∈(0,+∞),都有x+1x≥a,那么实数a的取值范围是A.(-∞,2]B.(-∞,2)C.(2,+∞)D.[2,+∞)11.假设正数x,y满足x+4y-xy=0,那么当x+y取得最小值时,x的值为()12.x,y均为正实数,且4x+y=1,那么1x+1y13.假设0<x<12,求x1-14.(2021黑龙江鹤岗第一中学高一上月考)(1)a>0,b>0,且4a+b=1,求ab的最大值;(2)x<54,求4x-2+14题组四利用根本不等式证明不等式15.(2021安徽六安城南中学高二上开学考试)a,b,c是三个不全相等的正数.求证:b+c-aa+16.设x>0,求证:x+22x+117.(2021福建三明第一中学高一上月考)a,b均为正实数,求证:a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).题组五利用根本不等式解决实际问题18.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计),在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是().6m.8mm.2m19.(2021广东广州荔湾高二期末)为满足人民日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求,某大型广场方案进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该工程由矩形核心喷泉区ABCD(阴影局部)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2,绿化带的宽分别为2m和5m(如下图).当整个工程A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为()mm10mm20.2021年上半年,新冠肺炎疫情在全国蔓延,疫情爆发造成医用防护服短缺,某地政府决定为医用防护服生产企业A公司的扩大生产提供x(x∈[0,10])万元的专项补贴,并以每套72元的价格收购其生产的全部医用防护服.A公司在收到政府x万元补贴后,医用防护服产量增加到t=4-6x+2(万套),同时A公司生产t万套医用防护服需要投入本钱(52+3x+45t)万元.设A公司生产医用防护服产生的总收益为y万元.当政府的专项补贴为多少万元时,A(注:总收益=销售总金额+政府专项补贴-本钱)能力提升练题组一利用根本不等式求最值1.(2021河南三门峡外国语高级中学高一下期中,)设正数x,y满足x2+y22=1,那么x1+yA.32B.322C.2.()a>b>0,那么a2+16b(a23.()假设x>1,那么x-1xA.16B.14C.14.(2021黑龙江大庆实验中学高一上开学考试,)a>0,b>0,a+b=1,那么a2+4a+b题组二利用根本不等式证明不等式5.()假设a>b,且ab=2,求证:a2+b26.(2021湖南长沙长郡中学高一上检测,)a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)1a+1b+1(2)1+1a1+题组三根本不等式在实际问题中的应用7.(多项选择)()某公司一年购置某种货物800吨,现分次购置,设每次购置x吨,运费为8万元/次.一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和y最小,那么以下说法正确的选项是()A.当x=40时,y取得最小值B.当x=45时,y取得最小值C.ymin=320D.ymin=3608.()近年来,“共享单车〞的出现为市民“绿色出行〞提供了极大的方便,某共享单车公司方案在甲、乙两座城市共投资80万元,根据行业规定,每座城市至少要投资20万元,由前期市场调研可知甲城市收益y1(单位:万元)与投入本钱x(单位:万元)满足y1=-450x+40,20≤x<40,25,40≤x≤60,乙城市收益y2(单位:万元)与投入本钱(1)当甲城市的投入本钱为25万元时,求甲、乙两座城市的投资的总收益;(2)试问如何安排投入本钱,才能使甲、乙两座城市的投资的总收益最大?答案全解全析根底过关练1.C根据根本不等式的推论a+b2≥ab(a,b≥0),当且仅当a=b时,等号成立,得a+1≥2a中,当且仅当a=1时2.ACD根据根本不等式的条件知ba>0,ab>0,a,b3.B对于A,x可能是负数,不成立;对于B,由根本不等式可知,3x2+12x2≥6,当且仅当3x2=12x2,即x4=16时取等号,故成立;对于C,当3(x2+1)=12(x2+1)时,(x2+1)2=14.C∵0<a<b,∴2b>a+b,∴b>a+b2∵b>a>0,∴ab>a2,∴ab>a.故b>a+b2>5.AM-N=n+1n3-n=n3+1n3+3n·1n2+3n2·1n-=3n+1∵n>0,∴n+1n≥2n·1n=2,当且仅当n=1∴3n+1n-6≥0,∴应选A.6.B解法一:取x=1,y=2,满足x+y≤4,排除A、C、D.应选B.解法二:∵0<x+y≤4,∴1x+y≥14,∵4≥x+y≥2xy,∴xy≤2(当且仅当x=y时,等号成立),故C不成立;又0<xy≤4,∴1xy≥14,故D1x+1y=x+yxy≥2xyxy=2xy,∵0<xy≤2,∴1xy≥12,∴1x+1y≥1(当且仅当x=7.答案a-c解析因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,所以a-c2=(a-b)+(b-c)2≥(a-b)(b-c8.C因为x>1,所以y=x+4x-1=(x-1)+4x-当且仅当x-1=4x-1,即x=3时,等号成立.9.B∵x,y>0,∴x+y+4x+1y≥2x·4x+2y·1y=4+2=6,当且仅当x=4x且y=应选B.10.A因为x∈(0,+∞),所以x+1x≥2x当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立所以a≤2.应选A.11.C∵x>0,y>0,x+4y=xy,∴4x+1∴x+y=(x+y)4x+1y=5+xy+4yx≥5+2xy·4yx=9,当且仅当x=212.答案9解析1x+1y=1x+1y(4x+y)=4+1+yx+4xy≥5+24=9,当且仅当yx=4xy,且4x+y=1,故1x+1y的最小值是13.解析∵0<x<12,∴1-4x2>0∴x1-4x2=12·4x2·1-4x2≤12·4x214.解析(1)∵1=4a+b≥24ab=4ab∴ab≤14,∴ab≤1当且仅当4a=b,即a=18,b=12故ab的最大值为116(2)∵x<54,∴5-4x∴4x-2+14x-5=-5-当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时,等号成立,故4x-2+15.证明∵a,b,c是三个不全相等的正数,∴三个不等式ba+ab≥2,ca+ac≥2,cb+那么ba+ab+ca+ac+∴ba+ca-1+cb+即b+c-aa+16.证明因为x>0,所以x+12所以x+22x+1=x+1x+12=x+12+1x+当且仅当x+12=1x+12,即x=12时,等号成立.故x>0时,17.证明由根本不等式得a2b2+a2≥2a2b,a2b2+b2≥2ab2,b2+a2≥2ab,三式相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab(a+b+1).所以a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).18.C设直角三角形两直角边长分别为xm,ym,那么12xy=1,即xy=2周长l=x+y+x2+y2≥2xy+2xy=22当且仅当x=y时等号成立.结合实际问题,可知选C.19.B设BC=xm,那么CD=1所以S矩形A1B=1040+4x+10≥1040+24x当且仅当4x=10000x,即x=50时所以当BC的长度为50m时,整个工程占地面积最小.应选B.20.解析由题意可得y=72t+x-(52+3x+45t).因为t=4-6x所以y=72t+x-(52+3x+45t)=-2x+27t-52=-2x+27×4-6x+2-52=-256,x∈[0,10].因为-2x-162x+2+56=-2(x+2)-162x+2+60≤-2324+60=24,当且仅当2(x+2)=162x+2所以当政府的专项补贴为7万元时,A公司生产医用防护服产生的总收益最大.能力提升练1.D∵正数x,y满足x2+y2∴2x2+y2=2,∴x1+y2=22×2x×1+y2≤22×(2当且仅当2x2+y∴x1+y2的最大值为2.C∵a>b>0,∴由根本不等式的变形可得b(a-b)≤b+a-b22=a24,∴a2+16b(a-b)≥a2+16a243.C令t=x-1,那么x=t+1,t>0,x-1x2+x-1=t(当且仅当t=1,即x=2时,等号成立.应选C.4.D易得a2+4a+b2+4b=a+b+4a又ab≤a+b22=14,∴1∴a2+4a+b2+4b≥17,当且仅当a=b=5.证明a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)2+4a-b=(a所以a2+b6.证明(1)∵a+b=1,a>0,b>0,∴1a+1b+1ab=1a+1b1a+1b=a+ba+a+bb=2+ab+ba∴1a+1b+1ab(2)证法一:∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+1a=1+a+b同理,1+1b=2+a∴1+1a=5+2ba+ab≥5+4=9,当且仅当a=b∴1+1a1+证法二:1+1a1+1b=1+1由(1)知,1a+1b+1故1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab≥9,当且仅当a7.AC一年购置某种货物800吨,每次购置x吨,那么需要购置800x次,又运费是8万元/次,一年的总存储费用为4x万元所以一年的总运费与总存储费用之和y=800x×8+4因为y=800x×8+4x≥26400x×4x=2×160=320,当且仅当6400x=4x,即x=40时,等号成立,所以当x=40时,8.解析(1)当甲城市的投入本钱为25万元时,乙城市的投入本钱为80-25=55(万元),那么甲城市收益y1=-45025+40=22(万元乙城市收益y2=12×55+20=952(所以甲、乙两座城市的投资的总收益为22+952=1392(万元(2)设甲城市的投入本钱为x万元,那么乙城市的投入本钱为(80-x)万元.当20≤x<40时,