2023届广东省湛江一中等“四校”重点中学高三数学试题第一次诊断性检测试题

2023届广东省湛江一中等“四校”重点中学高三数学试题第一次诊断性检测试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必

选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一

名学生的不同选科组合有()

A.8种B.12种C.16种D.20种

/、6

2.若f的展开式中/的系数为150,则/=()

Ix)

A.20B.15C.10D.25

3.已知等差数列{%}的公差为-2,前〃项和为S“，q,a2,与为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120。，

若S.4S,“对任意的〃eN*恒成立，贝！I实数〃?=().

A.6B.5C.4D.3

4.已知集合A={xIx>0},B={xIx2-x+b=0},若AcB={3},则>=()

A.-6B.6C.5D.-5

5.定义在R上的函数/(x)=x+g(x),g(x)=-2x-2+g(-2-x),若f(x)在区间卜1,物)上为增函数，且存在

-2<t<0,使得/(0)•/(，)<0.则下列不等式不一定成立的是()

A./(r2+z+l)>/WB./(-2)>0>/(r)

C./(?+2)>/(r+l)D.+

6.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到

四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A,医生乙只能分配到医院A或医院B,医生丙不能分配到医生甲、

乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有()

A.18种B.20种C.22种D.24种

7.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马

大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果

它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”

的一个程序框图.若输入〃的值为1（）,则输出i的值为（）

A.5B.6C.7D.8

8.设复数二满足|z-3|=2,z在复平面内对应的点为则"不可能为（）

A.（2,百）B.（3,2）C.（5,0）D.（4,1）

（2\

9.已知偶函数/（X）在区间（7,0］内单调递减，a=/（log&G）,匕=/卜布（一（1|,c=/，则。，人

\7

C满足（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<h<a

10.已知a,6是两条不同的直线，a,“是两个不同的平面，且aua,bug,allfi,blla,则是“a〃夕的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.在ZVIBC中，。为中点，且=若BE=XA3+〃AC,贝!］义+〃=（）

213

A.1B.一一C.一一D.一一

334

12.用数学归纳法证明则当---_•时，左端应在---的基础上加上（）

।二;=当一…---

A,B.仁+厅

c'二;.+j）+二;;…+（二1+万D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设集合A={-1,B=|eS2：（其中e是自然对数的底数），且ACBA。，则满足条件的实数a的个数为.

14.已知向量4=（1,m），1=（2,1）,且则机=.

15.在正方体ABC。-AgG。中，已知点P在直线AB】上运动，则下列四个命题中：①三棱锥。一G6P的体积不

变;②OP，QC；③当尸为A片中点时，二面角P-AG-C的余弦值为当；④若正方体的棱长为2,则+|明

的最小值为J+40；其中说法正确的是（写出所有说法正确的编号）

16.已知直线x—），+a=O与圆心为C的圆龙2+y2+2x—4y—4=0相交于A3两点，且AC_LBC,则实数”的值

为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22瓜

17.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:0+与=1（。＞人＞0）的离心率为立，以椭圆C左顶

a~b-2

点7为圆心作圆T:（X+2）2+/设圆T与椭圆c交于点时与点M

（1）求椭圆C的方程；

（2）求力VT77V的最小值，并求此时圆T的方程；

（3）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证：|O7?|-\OS\

为定值.

18.（12分）在AA6C中，＞/3asinC=ccosA.

（I）求角A的大小；

（n）若5^0=6，b+c=2+2®求。的值.

19.(12分)已知C(%)=l⑪+2].

(1)当。=2时，求不等式/(x)>3x的解集；

2

(2)若/⑴,，M,/(2)„M,证明：

x=1+cost,

20.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为,.。为参数)，以坐标原点。为极点，x轴

y=1+sinr

的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为。=a(0<a<]),直线/交曲线。于AB两点，尸为A3中

点.

(1)求曲线c的直角坐标方程和点P的轨迹G的极坐标方程；

(2)若|AB||OP|=g,求a的值.

21.(12分)在四棱锥尸一ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ZBAD=120°,PA=2,PB=PC=PD,E是PB

的中点.

(2)设尸是直线8C上的动点，当点E到平面A4F距离最大时，求面A4F与面E4C所成二面角的正弦值.

22.(10分)在三棱柱—中，四边形4月胡是菱形，AB=4,NABg=60。，4G=3,BC1AB,

点M、N分别是A1、AG的中点，且MN_LA4.

(1)求证：平面BCC4上平面A£84；

(2)求四棱锥A-BCGA的体积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.

【详解】

若一名学生只选物理和历史中的一门，则有=12种组合；

若一名学生物理和历史都选，则有C：=4种组合；

因此共有12+4=16种组合.

故选C

【点睛】

本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.

2、C

【解析】

通过二项式展开式的通项分析得到C：4/=150x6,即得解.

【详解】

由已知得J=墨卜2广［£|=C^a)'x'2-3r,

故当r=2时，12-3r=6,

于是有"=C：a2x6=150x6,

则/=10.

故选：C

【点睛】

本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3、C

【解析】

若S“WS,“对任意的〃eN*恒成立，贝11S,“为S”的最大值，所以由已知，只需求出s“取得最大值时的〃即可.

【详解】

由已知，4〉。2>。3>°，又三角形有一个内角为120°,所以a；=a；+a；+a2a3，

a；=(%-2尸+(q—4)2+(%—2)(q—4),解得4=7或q=2(舍)，

故S“=7〃+°x(-2)=一/+8〃,当〃=4时，S“取得最大值，所以加=4.

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列前〃项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.

4、A

【解析】

由AcB={3},得3e3,代入集合B即可得从

【详解】

AnB={3},.-.3eB,:.9-3+b=Q,即：b=-6,

故选：A

【点睛】

本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.

5、D

【解析】

根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可.

【详解】

由条件可得/(一2一0=-2-x+g(-2—x)=-2—x+g(x)+2x+2=g(x)+x=/(x)

函数/(x)关于直线X=-1对称；

/。)在［-1,包)上单调递增，且在一2<，<0时使得/(0)"⑺<0；

又/(-2)=/(0)

.••/W<0,./(-2)=/(0)>0,所以选项B成立；

311I

t~+t+2—3=(，++—>0,/./+/+1比e离对称轴迹，

二可得/+，+l)>/(g),.•.选项A成立；

(r+3)2-«+2)2=2r+5>0,.1r+3|>|r+2|,可知t+2比f+1离对称轴远

.-.f(t+2)>f(t+\),选项C成立；

-2<r<0,.,.Q+2)2-Q+l)2=2r+3符号不定，.Uf+ZI,|f+l|无法比较大小，

.・J(f+l)>/Q)不一定成立.

故选：D.

【点睛】

本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6^B

【解析】

分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到

答案.

【详解】

根据医院A的情况分两类：

第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院3,当医院3只有1人，则共有C；A；种不同

分配方案，当医院8有2人，则共有C；A；种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，

共有C；用+C；A；=10种不同分配方案；

第二类：若医院A分配2人，当乙在医院4时，共有A；种不同分配方案，当乙不在4医院，

在8医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，

共有A；+C；隹=10种不同分配方案；

共有20种不同分配方案.

故选：B

【点睛】

本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.

7、B

【解析】

根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.

【详解】

输入”=10,〃=1不成立，”是偶数成立，则〃=W=5,i=O+l=1；

2

〃=1不成立，〃是偶数不成立，贝!)〃=3x5+l=16,z=l+l=2；

16。

〃=1不成立，«是偶数成立，贝n!l!〃=—=8,i=2+1=3；

2

8“

n-\不成立，»是偶数成立，则nl〃=一=4,z=3+1=4；

2

〃=1不成立，«是偶数成立，则〃=一=2,/=4+1=5；

2

E2，

〃二1不成立，«是偶数成立，则〃=_=1,z=5+1=6；

2

“=1成立，跳出循环，输出i的值为6.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.

8、D

【解析】

依题意，设2=。+初，由|z—3|=2,得①一3)2+6=4,再一一验证.

【详解】

设z=a+bi,

因为|z-3|=2,

所以3—3)2+从=4,

经验证M(4,l)不满足,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.

9、D

【解析】

2

首先由函数为偶函数，可得函数“X)在［(),”)内单调递增，再由k)g&G>sin71、二即可判定大小

3>7

【详解】

因为偶函数在(3,0］减，所以/(x)在［0,内)上增,

log也6>1,

故选：D

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，属于中档题.

10、D

【解析】

根据面面平行的判定及性质求解即可.

【详解】

解：aua,bug,a//fi,b//a,

由a〃儿不一定有a〃/?,a与夕可能相交；

反之，由。〃“，可得a〃Z>或。与5异面，

.,.a,8是两条不同的直线，a,/?是两个不同的平面，且aua,bap,a//p,b//a,

则“a〃"是"a〃/T的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题.

11、B

【解析】

选取向量AB，AC为基底，由向量线性运算，求出BE，即可求得结果.

【详解】

BE^AE-AB^^AD-AB,A0=g(A6+AC),

51

：.BE---AB+-AC^AAB+/iAC,

,512

/.A,-9U=-9•=彳+〃=・

663

故选：B.

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.

12、C

【解析】

首先分析题目求用数学归纳法证明l+l+3+...+n'=..:时，当n=k+l时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别

一.一

2

使得n=k,和n=k+l代入等式，然后把n=k+l时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案.

【详解】

当n=k时，等式左端=1+1+…+kl

当n=k+l时，等式左端=1+1+…+*+^+1+1+1+…+(k+1),,增加了项(k*+l)+(k'+l)+(k*+3)+…+(k+1)].

故选：C.

【点睛】

本题主要考查数学归纳法，属于中档题./

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

可看出“中一，这样根据父,田。0即可得出。=2,从而得出满足条件的实数”的个数为1.

【详解】

解：＜8*0,

.•"=2或。=/

在同一平面直角坐标系中画出函数y=x与二「的图象,

由图可知y=x与y=[无交点，.•“=》无解，则满足条件的实数”的个数为

故答案为：1.

【点睛】

考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程1=2无解，属于基础题•

14、-2

【解析】

根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数〃的等式，即可求得实数小的值.

【详解】

a=(l,〃z),b=(2,1)且“_!_/，，则a•加=2+机=0，解得/〃=—2.

故答案为:-2.

【点睛】

本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.

15、©(2)(4)

【解析】

①•••Ag〃DG，.•.431〃平面DBC1,得出A4上任意一点到平面DBQ的距离相等，所以判断命题①；

②由已知得出点尸在面OCGA上的射影在OG上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题②；

③当P为A片中点时，以点。为坐标原点，建立空间直角系。-孙Z,如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法

可求得二面角p-Aa-c的余弦值，可判断命题③；

④过A片作平面44例交AR于点M，做点。关于面对称的点G,使得点G在平面ABBIA内，根据对称

性和两点之间线段最短，可求得当点P在点《时，。，匕8在一条直线上，|。尸|+|明取得最小值|G..可判断命题

④.

【详解】

①A与〃。G，；•AB"平面DBQ,所以上任意一点到平面DBG的距离相等，所以三棱锥。-G3P的体积

不变，所以①正确；

②P在直线上运动时，点P在面。CGA上的射影在。G上，所以OP在面。CGA上的射影在。G上，又

DC,±CD,,所以。所以②正确；

③当P为A片中点时，以点。为坐标原点，建立空间直角系。-孙z,如下图所示，设正方体的棱长为2.

则:4(2,0,0),B,(2,2,2),P(2,1,1),A(2,0,2),C,(0,2,2),C(0,2,0),所以

AG=(一2,2,0),=(0,—l,l),CG=(0,0,2),

m-AC,=0-2x+2v=0

设面AGP的法向量为〃z=（x,y,z）,则，11，即《.八，令1=1,则y=l,z=l,;.m=(l,l,l),

m•PA=o一y+z=0

「♦AG=。,即—2x+2y=0

设面4G。的法向量为〃=（%,y,z）,.12z.

nCCj=0

湍=口=9'由图示可知‘二面角人年|一。是锐二面角'所以二面角「一40一。

cos<m,n>=

的余弦值为逅，所以③不正确;

3

④过AB|作平面A4M交AR于点"，做点。关于面A用M对称的点G,使得点G在平面48片4内，

则。尸=62,94=64,。6_1"1,所以|凹+忸"=|6"+怛”，当点P在点打时，。,匕8在一条直线上,

|。月+忸月取得最小值|6印

因为正方体的棱长为2,所以设点G的坐标为G（2,加,〃），DG=（2,m,n）,领=（0,2,2）,所以

DG-AB、=2m+2n=0,

所以加二一〃,又DA=GA=2,所以机=—y/2,9n=5/2，

所以G（2,—夜,夜），B（2,2,0）,侬=“2—2'+卜0一2『+（0-0『=48+40，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查空间里的线线，线面，面面关系，几何体的体积，在求解空间里的两线段的和的最小值，仍可以运用对称的

思想，两点之间线段最短进行求解，属于难度题.

16、0或6

【解析】

计算得到圆心。（一1,2）,半径厂=3,根据AC_LBC得到d—,利用圆心到直线的距离公式解得答案.

2

【详解】

f+y2+2x_4y-4=0,即(x+iy+(y—2)2=9,圆心C(—1,2),半径r=3.

ACJ.BC,故圆心到直线的距离为"=逑，即=逑，故。=6或“=0.

2y/22

故答案为：0或6.

【点睛】

本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21o

17、(1)>/=]；2()|困3=4

(2)(X+2)+/=1|.3

【解析】

(1)依题意，得。=2,e=£=迫，由此能求出椭圆C的方程.

a2

(2)点M与点N关于x轴对称，设“(X，X),N(玉，一y),设,>0,由于点M在椭圆C上，故y;=i—1

由T(-2,0),知TM-77V=(玉+2,yJ•(玉+2,_yj=?(x]+|)_(,由此能求出圆7的方程.

(3)设。(毛,%)，则直线M尸的方程为：y—%=&x5"x(》一为)，令y=。，得"W'M,同理：

o~iVo一X

,由此能证明|OR|-|OS|=|与卜同=瓦多|=4为定值.

【详解】

(1)依题意，得。=2,e=-=—,

a2

c=垂i,b=！4-3=19

Y2

故椭圆C的方程为L+y2=i.

4

(2)点M与点N关于x轴对称，设/(X|,y),N(玉，一X),设乂>0,

2

由于点M在椭圆C上，所以>「=1一

由T（—2,0）,则7M=（%+2，x）,77V=（xl+2,_y）,

7M•777=（%+2,必＞（玉+2,_弘）

=（玉+2）~—yj=（%+2）2—1_点）

5..5f8?1

2+毋+3=#+灯

由于一2c玉v2,

oi3

故当％=-二时，7M•刀V的最小值为一g，所以弘=勺，故加

又点”在圆T上，代入圆的方程得到尸=石.

1Q

故圆7的方程为：（%+2）9一+丁=9

（3）设P（Xo，%）,则直线MP的方程为：y一%=&5^（“一天），

玉）一玉

令y=o,得",同理：/=x°（）+x。〉.

%—x%+x

又点M与点P在椭圆上，

故x°2=4（1-婕）,犬=4（1一城），代入上式得：

4（1-消为2_4（］_%2）y243一城）

XR.Xs=-------------------——=~~卢=4，

%-y%—y

所以|。印3|=间•kI=|4•々|=4

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质、圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档

题.

18、（1）A=-；（2）。=2.

6

【解析】

试题分析：(1)由正弦定理得到百siM.sinC=sinC-cosA.消去公因式得到所以tanA=立.

3

进而得到角A；(2)结合三角形的面积公式，和余弦定理得到b+c=2+2百，联立两式得到a=2.

解析:

(I)因为由asinC=ccosA,所以cosAwO,

b

由正弦定理「

sinAsinBsinC

得VSsinA-sinC=sinC•cosA・

又因为Ce(O,^),sinCwO,

所以tanA=3.

3

又因为Ae(O,乃)，

TT

所以A=：.

6

(II)由2；^18c=5匕csinA=，得be=，

由余弦定理a2^b2+c2-2hccosA,

^a2=b2+c2-2&ccos—,

6

2

即a=(人+c)2—2bc—屉c=(8+c)2—8g—12,

因为b+c=2+2>/L

解得片=4.

因为a>0,

所以a=2.

19、(1)(-oo,2)(2)见证明

【解析】

(1)利用零点分段法讨论去掉绝对值求解;

(2)利用绝对值不等式的性质进行证明.

【详解】

(1)解：当a=2时，不等式可化为|2x+2|>3<

2..

当工工一1时，-2x-2>3x,x<--,所以x〈-l；

当x>-l时，2x+2>3x,-l<x<2.

所以不等式/(X)>3x的解集是(-8,2).

(2)证明：由/(2)<M,得M»|a+2|,M>\2a+2\,

3M=2M+M>2\a+2\+\2a+2\,

X2|«+2|+|2a+2|>|4-2|=2,

2

所以3M22,即MN—.

3

【点睛】

本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解，含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.

20、(1)(x-l)2+(j-l)2=l,p=V2cos(0<^<|；(2)口喑或a71

12

【解析】

(1)根据曲线C的参数方程消去参数/,可得曲线C的直角坐标方程，再由|OC|=&,|OP|=|oqcosNPOC,

可得点P的轨迹G的极坐标方程；

(2)将曲线C极坐标方程求,与直线/极坐标方程联立，消去3,得到关于夕的二次方程，由P的几何意义可求出IA8|,

而(1)可知|OP|=0COS然后列方程可求出a的值.

【详解】

(1)曲线。的直角坐标方程为(x—+(>—1)2=1,

圆c的圆心为c,|oc|=g,设所以/poc=e—

则由|op=|oc|cosZPOC,即展正cos(e-7)[o<e<9为点P轨迹的极坐标方程.

(2)曲线C的极坐标方程为p1-200COS/-+1=0,

将与曲线C的极坐标方程联立得，P2-202cos(a-7)+1=0,

设A(/7|,a),8(/?2，a“0<a4

n

所以="-村=J8cos2)-4=2J2cos2(a

由IA8|一|0P|=G,BP2J2COS2\a---1x72cosa--=5

V、I4；I4；

令V3

cos]”?＜以，1,上述方程可化为16根4一8m2一3=0,解得m=——•

2

由3卜一(卜字-所以a-+±2即。若或。

【点睛】

此题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用极坐标求点的轨迹方程，考查运算求

解能力，考查数形结合思想，属于中档题.

21、(1)证明见解析(2)也

7

【解析】

(1)取8C中点M,连接根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可;

(2)根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点3到直线A尸的距离即为点3到平面P4尸的距离，结合垂线

段的性质可以确定点E到平面小尸的距离最大，最大值为1.

以A为坐标原点，直线A£AB,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.利用空间向量夹角公式，结合同角

的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】

(1)证明：取BC中点M，连接PM,AM,

因为四边形ABC。为菱形且NBAD=120°.

所以AA/