2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第4章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第2课时等差数列的性质及应用课件

4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第2课时等差数列的性质及应用能熟练掌握等差数列的性质，并能利用等差数列的性质解决相关问题．1．熟悉等差数列的相关性质，并能够应用该知识灵活地进行运算．(逻辑推理、数学运算)2．能够应用等差数列解决一些生活中的实际问题．(逻辑推理、数学建模、数学运算)等差数列中的项与序号的关系

知识点

1(1)两项关系an＝am＋(_________)d(m，n∈N*)．(2)多项关系若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)则an＋am＝_____________.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝_________.n－map＋aq2ap等差数列的项的对称性

知识点

2an－1an－k＋1练一练：数列{an}为等差数列，若a1＋a7＝4，则a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(

)A．8

B．9

C．10

D．12[解析]

数列{an}为等差数列，∴a1＋a7＝2a4＝4，∴a4＝2，∴a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4＝10.故选C．C等差数列的性质

知识点

3(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：①{c＋an}(c为任一常数)是公差为_____的等差数列；②{c·an}(c为任一常数)是公差为_______的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为_______的等差数列．(2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为_________________的等差数列．dcd2dpd1＋qd2练一练：(多选题)若等差数列{an}和{bn}的公差均为d(d≠0)，则下列数列中是等差数列的是(

)A．{λan}(λ为常数)B．{an＋bn}D．{anbn}ABC等差数列的单调性

知识点

4由等差数列和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d的影响．(1)当d>0时，数列为递增数列，图象如图1所示；(2)当d<0时，数列为递减数列，图象如图2所示；(3)当d＝0时，数列为常数列，图象如图3所示．练一练：已知等差数列{an}单调递增且满足a1＋a8＝6，则a6的取值范围是(

)A．(－∞，3) B．(3，6)C．(3，＋∞) D．(6，＋∞)[解析]

因为{an}为等差数列，设公差为d，因为数列{an}单调递增，所以d>0，所以a1＋a8＝a3＋a6＝2a6－3d＝6，则2a6－6＝3d>0，解得a6>3，故选C．C

若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.[解析]

方法一：设等差数列{an}的公差为d，∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，题型探究题型一等差数列通项公式的推广an＝am＋(n－m)d的应用典例1方法二：∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列．设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项，∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4.∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.方法三：∵a60＝a15＋(60－15)d，

等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝_____.对点训练❶7题型二用性质am＋an＝ap＋aq(m,n,p,q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解题

(1)(2023·天津宝坻区高二月考)在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝(

)A．9 B．12C．15 D．18典例2A(2)(2023·塘沽高二检测)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝_______.(3)(2023·湖北武汉高三月考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，则a2＋a8＝(

)A．150 B．160C．200 D．300D35[解析]

(1)∵{an}是等差数列，∴2a9＝a5＋a13，故a13＝2×6－3＝9.(2)方法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.方法二：因为数列{an}，{bn}都是等差数列．所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.(3)方法一：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，∴5a5＝750，∴a5＝150，∴a2＋a8＝2a5＝300.方法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，∴a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝750，∴a1＋4d＝150，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2(a1＋4d)＝300.[规律方法]

等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)利用性质巧解，观察等差数列中的项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.特别提醒：递增等差数列d>0，递减等差数列d<0，解题时要注意数列的单调性对d取值的限制．

(1)由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是(

)A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为d的等差数列C．新数列是公差为2d的等差数列D．新数列是公差为3d的等差数列(2)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝_____.对点训练❷C8[解析]

(1)因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．(2)方法一：∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.题型三等差数列中的对称设项

成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数．[分析]已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更简单．再通过联立方程组求解．典例3[解析]

设四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，[规律方法]

三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下：(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，