2023年中考复习讲义三角形和全等三角形

【中考考点梳理】

考点一全等三角形的概念与性质

1.概念：能够重合的两个三角形叫做全等三角形.

温馨提示：

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.如右图，△45C

和△DSC全等，点A和点。，点B和点优点C和点C是对应顶点，记作△ABCg/kOBC.

2.全等三角形的性质

(1)全等三角形的对应边相等,对应角相等:

(2)全等三角形的对应线段(包括角平分线、中线、高线)相等、周长相等、面积相等.

3.常见全等三角形的根本图形

(1)平移全等型

(2)翻折全等型

(3)旋转全等型

考点二全等三角形的判定

1.全等三角形的判定方法

方符适用范

内容

法号围

方法所有三

三边对应相笺的两个三角形全等SSS

1角形

方法两边及其夹鱼对应相等的两个所有三

SAS

2三角形全等角形

方法两个角及其来边对应相等的两所有三

ASA

3个三角形全等角形

方法两角及其中一个角的对边对应所有三

AAS

4相等的两个三角形全等角形

方法斜边和一条直角边对应相等的直角三

HL

5两个直角三角形全等角形

温馨提示：

1.方法2是两边和它们的夹角，如果说“两边及其中一边的对角对应相等"，那么不

能判定两个三角形全等.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

2.全等三角形的判定思路

说明两个三角形全等时要认真分析条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从

中找出条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路

进行.

［找夹角fSAS

两边|找第三边-SSS

【找直角

’边为角的对边f找任一角一A4S

一边和<边为角］找夹角的另一边一SAS

I(找夹边的另一角■*ASA

一角［的邻边〔找边的对角-AAS

J找夹边->4SA

、两角］找其中一个角的对边一4AS

考点三角平分线的性质定理及其逆定理)

1.性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相笠.

即如图，•.•点尸在NA08的平分线上，PQ_LQ4于点。，尸于点E,

2.性质定理的逆定理：角的内部，到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.即

如上图，"：PDLOA,PE1.0B,PD=PE,工。尸是NA的平分线.

温馨提示：

应用角平分线的性质定理就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化，所以假

设遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用角平分线的性质定理解

决问题.

考点四线段垂直平分线的性质与判定

1.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.

2.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段西企端直的距离相等.

3.性质定理的逆定理：与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分

线上.

【例1】(2023•温州)如图，点C,E,F,B在同一直线上，点4,。在8c异侧，AB

//CD,AE=O尸，NA=NO.

(1)求证：AB=CD；

(2)假设AB=CF,ZB=30°,求NO的度数.

【思路点拨】(1)由可得N5=NC,再有AE=O尸，ZA=ZD,可得△ABE

^ADCF,由全等三角形的性质可证；(2)通过等量代换得到△OC尸为等腰三角形，且NC

=N8=30°,再通过三角形内角和求得NO的度数.

【自主解答】

(1)证明："：AB//CD,/.ZB=ZC.'：AE=DF,

/LA=ZD,：./\ABE^/^DCF(AAS).：.AB=CD.

(2)解：'：AB=CF,AB=CD,：.CD=CF,

:.ND=NCFD.

'：NB=NC=30°,:.NZ)=75°.

方法总结：

判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相

等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等.

【变式训练】

1、如图，点M,N分别是正五边形的边8C,上的点，且8M=CN,AM

交3N于点P.

(1)求证：ZkABMg△5CN；

(2)求NAPN的度数.

⑴证明：丫五边形ABCQE是正五边形，

：.AB=BC,NABM=NBCN.

又BM=CN,：.4ABM迫ABCN.

(2)解：•.,NAPN是△45尸的一个外角，

(5—2)X180°

:.ZAPN=ZBAM+NABN=2CBN+NABN=ZABC=-----------------------=108°.

2、如图，在正方形ABCD中，连接BD,点。是BD的中点，假设M、N是边AD上的两点，

连接M。、NO,并分别延长交边BC于两点M，、N\那么图中的全等三角形共有(

A.2对B.3对C.4对D.5对

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定.

【分析】可以判断△ABD之△BCD,AMD。丝△M'BO,△NOD丝△N'OB,△MON丝△M'ON'

由此即可对称结论.

【解答】解：：四边形ABCD是正方形，

，AB=CD=CB=AD,NA=NC=NABC=NADC=90°,AD〃BC,

在4ABD和4BCD中，

rAB=BC

<NA=NC，

AD=CD

/.△ABD^ABCD,

：AD〃BC,

AZMDO=ZM,BO,

在^MOD和^M'OB中,

rZMDO=ZMyBO

-NMOD=NM'OB.

DM=BM'

.♦.△MDO丝△M'BO,同理可证△NOD丝△N'OB,.♦.△MON多△M'ON’,

...全等三角形一共有4对.

应选C.

3、如图，在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点，且DE=DA,AF_LDE,垂足为点F,

在以下结论中，不一定正确的是()

A.AAFD^ADCEB.AF=—ADC.AB=AFD.BE=AD-DF

2

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定.

【分析】先根据条件判定判定AAFD丝Z\DCE(AAS),再根据矩形的对边相等，以及,全等三

角形的对应边相等进行判断即可.

【解答】解：(A)由矩形ABCD,AFJ.DE可得NC=NAFD=90°,AD〃BC,

/.ZADF=ZDEC.

XVDE=AD,

.,.△AFD^ADCE(AAS),故(A)正确；

[B)•••NADF不一定等于30。,

直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故(B)错误；

(C)由△AFDdDCE,可得AF=CD,

由矩形ABCD,可得AB=CD,

；.AB=AF,故(C)正确；

(D)由AAFD四Z\DCE,可得CE=DF,

由矩形ABCD,可得BC=AD,

又；BE=BC-EC,

；.BE=AD-DF,故(D)正确；

应选(B)

4、如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，0A=3,0B=4,连接AB.点

P在平面内，假设以点P、A、B为顶点的三角形与aAOB全等(点P与点。不重合)，那么

点P的坐标为(3,4)或\团{96}{25},\俏＜:{72}{25})或(-\frac{21}{25},\frac{28}{25}).

【考点】全等三角形的判定；坐标与图形性质.

【分析】由条件可知AB为两三角形的公共边，且AAOB为直角三角形，当AAOB和4APB

全等时，那么可知AAPB为直角三角形，再分三种情况进行讨论，可得出P点的坐标.

【解答】解：如下图：

①：0A=3,0B=4,

APi(3,4)；

②连结

0P2,

设AB的解析式为y=kx+b,那么

(3k+b=0

lb=4'

解得彳3.

b=4

故AB的解析式为y=-等x+4,

3

那么0P2的解析式为y二Qx,

4

y=-7rx+4

联立方程组得4

3

k彳x

48

x学

解得4

36

行而

72）

那么P2，25）；

③连结P2P3,

(3+0)+2=1.5,

(0+4)+2=2,AE(1.5,2),：1.5x2-笑=-空,

2525

“7228..2128.

2X2一武市，♦•内f(-武，宝)・

加上c仇士-石一-T，96、

故点P的4坐标为（3,4）或（―'7,2'或t.（--2T1TT，28

Zb

如凭妥工c-十,96721tr2128i

故答案为：(3,4)或［"^方，-TTT3或(--TTT，.

25N525Z5

【例2】如图，OC是NAO8的平分线，P是OC上一点，P0JLOA于点O,PD=6,那么

点P到边OB的距离为（A）

A.6B.5

C.4D.3

【思路点拨】过点P作PE_LO8于点E,由角平分线的性质易得PE的长.

方法总结：

题目中假设有角平分线这一条件，常考虑2倍角关系或添加垂线段，利用角的平分线

的性质定理求角度或证明线段相等或计算线段长度.

【变式训练】

1、如图，ZkABC三个内角的平分线交于点O,点。在CA的延长线上，KDC=BC,

AD=AO,假设N8AC=80。，那么N8C4的度数为.

【解析】•.,N54C=80。，,N8A£>=100。，ZBAO=40°,：.ZDAO=140°.'：AD=AO,

：.N0=20。.：△4BC三个内角的平分线交于点O,：.ZACO=NBCO.在ACOD和△COB

中，CD=CB,ZOCD=ZOCB,OC是公共边，:.△COD@ACOB,：.ZD=NCBO.：.N

CBO=20°,：.ZABC=40°,：.ZBCA=60°.

【答案】60°

2、平行四边形ABCD中，CE平分/BCD且交AD于点E,AF〃CE,且交BC于点F.

(1)求证：AABF丝ZiCDE；

(2)如图，假设/1=65。，求NB的大小.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.

【分析】(1〕由平行四边形的性质得出AB=CD,AD〃BC,ZB=ZD,得出/1=/DCE,证出

ZAFB=Z1,由AAS证明△ABFgZXCDE即可；

(2)由(1)得N1=NDCE=65。，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.

【解答】(1)证明：I•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB=CD,AD〃BC,ZB=ZD,

AZ1=ZDCE,

：AF〃CE,

/.ZAFB=ZECB,

VCE平分/BCD,

/.ZDCE=ZECB,

AZAFB=Z1,

'NB=ND

在AABF和ACDE中，＜ZAFB=Z1，

AB=CD

.".△ABF^ACDE(AAS)；

(2)解：由(1)得：Z1=ZECB,ZDCE=ZECB,

Z1=ZDCE=65°,

，/B=ND=180°-2x65°=50°.

［例3］如图，△ABC中，AB=AC,把^ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,

CE交于点F.

(1)求证：AAEC丝ZSADB；

(2)假设AB=2,ZBAC=45°,当四边形ADFC是菱形时，求BF的长.

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质.

【分析】(1)由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC,利用全等三

角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与

三角形ADB全等即可；

(2)根据NBAC=45。，四边形ADFC是菱形，得至Ij/DBA=NBAC=45。，再由AB=AD,得到三

角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD-DF求出BF的长即可.

【解答】解：(1)由旋转的性质得：AABC丝4ADE,且AB=AC,

；.AE=AD,AC=AB,ZBAC=ZDAE,

ZBAC+ZBAE=ZDAE+ZBAE,即/CAE=/DAB,

在AAEC和AADB中，

'AE=AD

<NCAE=/DAB，

AC=AB

,,-△AEC^AADB(SAS)；

(2)•..四边形ADFC是菱形,且NBAC=45°,

.•./DBA=NBAC=45°,

由(1)得：AB=AD,

AZDBA=ZBDA=45°,

•••△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，

.,.BD2=2AB2,即BD=20,

；.AD=DF=FC=AC=AB=2,

/.BF=BD-DF=2&-2.

【变式练习】

1、：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合)，

分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F,点。为AC的中点.

(1)当点P与点0重合时如图1,易证OE=OF(不需证明)

(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当NOFE=30。时，如图2、图3的位置，猜测线段CF、

AE、0E之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜测，并选择一种情况给予证明.

【考点】四边形综合题.

【分析】(1)由△AOE公ACOF即可得出结论.

(2)图2中的结论为：CF=OE+AE,延长E0交CF于点G,只要证明△EOA也△GOC,AOFG

是等边三角形，即可解决问题.

图3中的结论为：CF=OE-AE,延长E0交FC的延长线于点G,证明方法类似.

【解答】M：(1)VAE1PB,CF1BP,

AZAEO=ZCFO=90°,

在AAEO和ACFO中，

'/AE0=NCF0

<NA0E=/C0F，

A0=0C

AAOE^ACOF,

.,.OE=OF.

⑵图2中的结论为:CF=OE+AE.

图3中的结论为：CF=OE-AE.

选图2中的结论证明如下：

延长E。交CF于点G,

VAE1BP,CF±BP,

，AE〃CF,

.,.ZEAO=ZGCO,

在^£0人和4GOC中，

"ZEA0=ZGC0

•AO=OC，

ZA0E=ZC0G

/•△EOA^AGOC,

AEO=GO,AE=CG,

在RTAEFG中，VEO=OG,

.".OE=OF=GO,

V-ZOFE=30°,

AZOFG=90°-30°=60°,

/.△OFG是等边三角形，

；.OF=GF,

VOE=OF,

，OE=FG,

VCF=FG+CG,

；.CF=OE+AE.

选图3的结论证明如下：

延长E0交FC的延长线于点G,

VAE±BP,CF_LBP,

，AE〃CF,

；./AEO=NG,

在^AOEfllACOG中，

'NAE0=NG

•NAOE=/GOC,

A0=0C

."•△AOE^ACOG,

/.OE=OG,AE=CG,

在RTZkEFG中,VOE=OG,

；.OE=OF=OG,

".'ZOFE=30°,

/OFG=90°-30°=60°,

•••△OFG是等边三角形，

.".OF=FG,

VOE=OF,

；.OE=FG,

：CF=FG-CG,

.,.CF=OE-AE.

3、如图，在RtAABC中，ZACB=90°,点D,E分别在AB,AC上，CE=BC,连接CD,将线

段CD绕点C按顺时针方向旋转90。后得CF,连接EF.

(1)补充完成图形；

(2)假设EF〃CD,求证：ZBDC=90°.

【考点】旋转的性质.

【分析】(1)根据题意补全图形，如下图；

(2)由旋转的性质得到/DCF为直角，由EF与CD平行，得到/EFC为直角，利用SAS得

到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证.

【解答】解：(1)补全图形，如下图；

(2)由旋转的性质得:ZDCF=90°,

AZDCE+ZECF=90°,

：/ACB=90°,

，/DCE+NBCD=90°,

ZECF=ZBCD,

VEF//DC,

AZEFC+ZDCF=180°,

/EFC=90°,

在ABDC和小EFC中,

'DC=FC

,NBCD=NECF，

BC=EC

.,.△BDC^AEFC(SAS),

，/BDC=/EFC=90°.

【例3］如图，点A,F,E,C在同一直线上，AB//CD,ZABE=ZCDF,AF=

CE.

(1)从图中任找两组全等三角形；

(2)从(1)中任选一组进行证明.

【思路点拨】(1)根据题目所给条件可分析出△ABEg/kC。凡△4尸。丝2\(:后8;(2)根

据AB//CD可得N84C=ZDCA,根据AF=CE可得AE=FC,然后再证明△<:〃/<'

即可.

【自主解答】

(1)解：^,ABE^^CDF,/^AFD^^CEB.

(2)证明：AABE注△CDF.

'：AB//CD,：.ZBAC=ZDCA.

'：AF=CE,：.AF+EF=CE+EF,BPAE=FC.

在△ABE和△«)歹中，

NBAE=/DCF,

NABE=NCDF,

AE=CF,

：.AABE^/^CDF(AAS).

方法总结：

根据题目给出的条件和图形中隐含的条件，分析哪些三角形全等，再根据三角形全等

的判定方法证明即可.

【变式练习】

1、如图，在四边形ABCD中，AB//CD,连结30.请添加一个适当的条件AA=C/)

或/A=/C或/A刀8=/CBD,使△48£>义2\。8(只需写一个).

2、如图，△ABC中，AD1BC,CE1AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一

个适当的条件：AH=CB等(只要符合要求即可)，使4AEH^ACEB.

【考点】全等三角形的判定.

【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断4AEH与ACEB有两对对应角相等，就只需

要找它们的一对对应边相等就可以了.

【解答】M：VAD±BC,CE±AB,垂足分别为D、E,

；./BEC=/AEC=90°,

在R3AEH中,ZEAH=90°-ZAHE,

XVZEAH=ZBAD,

.•.ZBAD=90°-ZAHE,

在RtZ\AEH和RtACDH中，ZCHD=ZAHE,

.♦.NEAH=NDCH,

ZEAH=90°-ZCHD=ZBCE,

所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；

根据ASA添加AE=CE.

可证△AEH^ACEB.

故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE.

3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,E,F分别是0A,0C的中点，

连接BE,DF

(1)根据题意，补全原形；

(2)求证：BE=DF.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.

【分析】(1)如下图；

(2)由全等三角形的判定定理SAS证得△BEO^ADFO,得出全等三角形的对应边相等即可.

【解答】(1)解：如下图:

(2)证明：：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点0,

.♦.0B=0D,0A=0C.

又：E,F分别是0A、0C的中点,

/.0E=—OA,0F=—OC,

22

/.OE=OF.

rOE=OF

•.•在△BEO与△DFO中，(NBOE=NDOF，

OB=OD

.".△BEO^ADFO(SAS),

；.BE=DF.

4、：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQLBE于点Q,DPLAQ于点P.

(1)求证:AP=BQ；

(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短

线段长度的差等于PQ的长.

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.

［分析乂1)根据正方形的性质得出AD=BA,ZBAQ=ZADP,再根据条件得到NAQB=/DPA,

判定△AQB^ADPA并得出结论；(2)根据AQ-AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判

断分析.

【解答】解：(1)：正方形ABCD

，AD=BA,ZBAD=90°,即NBAQ+NDAP=90°

VDP1AQ

AZADP+ZDAP=90°

NBAQ=/ADP

YAQ^BE于点Q,DPLAQ于点P

/AQB=NDPA=90°

/.△AQB^ADPA(AAS)

，AP=BQ

(2)①AQ-AP=PQ

②AQ-BQ=PQ

③DP-AP=PQ

©DP-BQ=PQ

【例4】如图，在AABC中，AD和BE是高，NABE=45。，点F是AB的中点，AD与FE、BE

分别交于点G、H,NCBE=/BAD.有以下结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BUAD=J^AE2；

④SAABC=4SAADF.其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.

【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD卷AB,证明△ABE是等腰直角三角形，得

出AE=BE,证出FE=*AB,延长FD=FE,①正确；

证出NABC=NC,得出AB=AC,由等腰三角形的性质得出BC=2CD,ZBAD=ZCAD=ZCBE,

由ASA证明△AEH^^BEC,得出AH=BC=2CD,②正确；

证明AABD〜ABCE,得出塔=普，即BC・AD=AB・BE,再由等腰直角三角形的性质和三角形

ABAD

的面积得出BC«AD=V2AE2；③正确；

由F是AB的中点，BD=CD,得出SAABC=2SAABD=4SAADF.④正确；即可得出结论.

【解答】解：：在△ABC中，，AD和BE是高，

，ZADB=ZAEB=ZCEB=90°,

:点F是AB的中点，

.\FD=—AB,

2

VZABE=45°,

/.△ABE是等腰直角三角形，

；.AE=BE,

:点F是AB的中点，

.\FE=—AB,

2

，FD=FE,①正确；

VZCBE=ZBAD,ZCBE+ZC=90°,NBAD+NABC=90°,

AZABC=ZC,

；.AB=AC,

VAD1BC,

/.BC=2CD,ZBAD=ZCAD=ZCBE,

rZAEH=ZCEB

在^AEH和4BEC中，AE=BE，

ZEAH=ZCBE

/.△AEH^ABEC(ASA),

；.AH=BC=2CD,②正确;

VZBAD=ZCBE,ZADB=ZCEB,

/•△ABD-ABCE,

即BC«AD=AB«BE,

ABAD

MAE2=AB・AE=AB・BE,BOAD=AC・BE=AB・BE,

；.BC・AD=&AE2；③正确；

是AB的中点，BD=CD,

SAABC=2SAABD=4SAADF.④正确；

应选：D.

【变式练习】

1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE,BF交于点G,将△BCF

沿BF对折，得到ABPF,延长FP交BA延长线于点Q,以下结论正确的个数是()

①AE=BF；②AEJ.BF；③sin/BQP=&@S0i4®ECFG=2SABGE.

5

A.4B.3C.2D.1

【考点】四边形综合题.

【分析】首先证明△ABEgZ\BCF,再利用角的关系求得NBGE=90。，即可得到①AE=BF；

②AEJ_BF；ABCF沿BF对折，得到ABPF,利用角的关系求出QF=QB,解出BP,QB,根据

正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似

三角形的性质即可求解.

【解答】解：•••£,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点，

，CF=BE,

在^ABE和4BCF中,

fAB=BC

<NABE=NBCF，

BE=CF

/.RtAABE^RtABCF(SAS),

，/BAE=/CBF,AE=BF,故①正确；

又：NBAE+/BEA=90°,

/CBF+NBEA=90°,

/.ZBGE=90°,

/.AEJ.BF,故②正确;

根据题意得，FP=FC,/PFB=NBFC,/FPB=90°

：CD〃AB,

ZCFB=ZABF,

ZABF=ZPFB,

QF=QB,

令PF=k(k>0),那么PB=2k

在RSBPQ中，设QB=x,

x2=(x-k)2+4k2,

.5k

・・x=——，

2

RP4

sin=ZBQP=—,故③正确；

QB5

VZBGE=ZBCF,ZGBE=ZCBF,

AABGE^ABCF,

VBE=—BC,BF=^BC,

22

ABE：BF=1：75-

.•.△BGE的面积:ABCF的面积=1：5,

S四地超ECFG=4SABGE,故④错误.

应选：B.

2、在矩形ABCD中，AD=2AB=4,E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E

重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB,BC(或它们的延长线),于点M,

N,设NAEM=a(0°<a<90°),给出以下四个结论：

①AM=CN；

②/AME=/BNE；

③BN-AM=2；

_2_

@SAEMN=2.

cosa

上述结论中正确的个数是()

A.IB.2C.3D.4

【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质.

【分析】①作辅助线EF_LBC于点F,然后证明RSAME丝RSFNE,从而求出AM=FN,所以

BM与CN的长度相等.

②由①AME^RtAFNE,即可得到结论正确；

③经过简单的计算得到BN-AM=BC-CN-AM=BC-BM-AM=BC-(BM+AM)=BC-AB=4

-2=2,

④用面积的和和差进行计算，用数值代换即可.

【解答】解：①如图，

在矩形ABCD中，AD=2AB,E是AD的中点，

作EF1BC于点F,那么有AB=AE=EF=FC,

VZAEM+ZDEN=90°,ZFEN+ZDEN=90°,

AZAEM=ZFEN,

在RtAAME和RtAFNE中，

'NAEM=/FEN

<AE=EF，

ZMAE=ZNFE

RtAAMRtAFNE,

；.AM=FN,

/.MB=CN.

VAM不一定等于CN,

.".AM不一定等于CN,

•••①错误，

②由①有RtAAME^RtAFNE,

.\ZAME=ZBNE,

...②正确,

③由①得，BM=CN,

VAD=2AB=4,

，BC=4,AB=2

BN-AM=BC-CN-AM=BC-BM-AM=BC-(BM+AM)=BC-AB=4-2=2,

.•.③正确,

④如图,

由①得，CN=CF-FN=2-AM,AE*D=2,AM=FN

Vtana^,

AE

AM=AEtana

AE____:AE

•cosa=—=/—

MEVAE：2+AM2>

2

.-.cos,2a=AE

AE'+AM”

---\—=1+幽^=1+(空)2=i+taMa,

cosyAE2AE

2

5=2(l+tan2a)

cos'a

•'•SAEMN=S四边形ABNE-SAAME-SAMBN

1(AE+BN)xAB-aAExAM-2BNxBM

2

1(AE+BC-CN)x2--^AEXAM-(BC-CN)xCN

2

1

(AE+BC-CF+FN)x2--AExAM--(BC-2+AM)(2-AM)

222

=AE+BC-CF+AM--AExAM--(2+AM)(2-AM)

22

=AE+AM-4AEXAM+-AM2

22

=AE+AEtana-4AE2tana+-1AE2tan2a

22

=2+2tana-2tana+2tan2a

=2(l+tan2a)

_2_

二27T'

cosa

.•.④正确.

应选c.

【点评】此题是全等三角形的性质和判定题，主要考查了全等三角形的性质和判定，图形面

积的计算锐角三角函数，解此题的关键是RtAAME丝内△FNE,难点是计算SAEMN.

【例5】1、如图1,EMBC是等腰直角三角形，I3BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方

形，点B、C分别在边A。、AF上，止匕时BO=CF,8DEICF成立.

⑴当班BC绕点A逆时针旋转B[0。<9<90。)时，如图2,8O=CF成立吗？假设成立，

请证明；假设不成立，请说明理由.

(2)当048C绕点A逆时针旋转45。时，如图3,延长D8交CF于点H.

①求证：BDHICF；

②当AB=2,AD=3点时，求线段D”的长.

【知识点】等腰三角形一一等腰三角形的现性质、特殊的平行四边形一一正方形的性质、旋

转一一旋转的特性、全等三角形一一全等三角形的判判定和性质、相似三角形一一相似三角

形的判判定和性质

【思路分析】(1)先用"SAS"证明团CA用回BAD,再用全等三角形的性质即可得BD=CF成立；

(2)利用I3HFN与I34ND的内角和以及它们的等角,得至胆NHF=90。,即可得①的结论；(3)

连接。F,延长AB,与。F交于点M,利用EIBMDHZIFHD求解.

【解答】(I)解：8D=CF成立.

证明：EWC=AB,^CAF=SBAD=O-,AF=AD,&ABD^BACF,BBD=CF.

(2)①证明：由(1)得，EMBDI3EMCF,EBHF.N=®4DN,

在E1HF/V与蜘CW中，B0HFM=EMMD,BHNF=QAND,WNHF=QNAD=90),,

0HD0HF,BPBD^CF.

②解：如图，连接DF,延长AB,与DF交于点M.

在QJMAD中，EBMAD=®MDA=45°,00B/WD=9O°.

在RtSBMD与Rt0FHD中，^EMDB^HDF,^BMDSS\FHD.

SAB=2,AD=3小,四边形ADEF是正方形，⑦MA=MD=^'=3.

0MB=3-2=1,。8=^/l2+32=y1ld.

MDBD3V16

6,

MH=y—

【方法总结】此题考查了全等三角形的判判定和性质，全等三角形的性质是证明等角、等线

段的最为常用的方法；图形的旋转中，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对

应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变；

2、如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形.

(1)假设固定三根木条AB,BC,AD不动，AB=AD=2cm,BC=5cm,如图，量得第四根木条

CD=5cm,判断此时NB与ND是否相等，并说明理由.

(2)假设固定一根木条AB不动，AB=2cm,量得木条CD=5cm,如果木条AD,BC的长度不

变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，

点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD,BC的长度.

【考点】全等三角形的应用；二元一次方程组的应用；三角形三边关系.

【分析】(1)相等.连接AC,根据SSS证明两个三角形全等即可.

(2)分两种情形①当点C在点D右侧时，②当点C在点D左侧时，分别列出方程组即可解

决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意.

【解答】解：⑴相等.

理由：连接AC,

在AACD和④ACB中,

'AC=AC

<AD=AB，

CD=BC

/.△ACD^AACB,

AZB=ZD.

(2)设AD=x,BC=y,

花以时解得x=13

当点C在点D右侧时,

尸10,

需k解得

当点C在点D左侧时,

此时AC=17,CD=5,AD=8,5+8<17,

不合题意,

，AD=13cm,BC=10cm.

3、四边形ABCD是菱形，AB=4,ZABC=600,/EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,

F,且NEAF=60°.

(1)如图1,当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系；

(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合)，求证：BE=CF；

(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上，且/EAB=15。时，求点F到BC的距离.

【考点】四边形综合题.

【分析】(1)结论AE=EF=AF.只要证明AE=AF即可证明AAEF是等边三角形.

(2)欲证明BE=CF,只要证明△BAE^^CAF即可.

(3)过点A作AGJ_BC于点G,过点F作FHLEC于点H,根据FH=CF・cos30。，因为CF=BE,

只要求出BE即可解决问题.

【解答】(1)解：结论AE=EF=AF.

理由：如图1中，连接AC,

:四边形ABCD是菱形，NB=60°,

，AB=BC=CD=AD,/B=ND=60°,

/.△ABC,△ADC是等边三角形，

ZBAC=ZDAC=60°

VBE=EC,

AZBAE=ZCAE=30°,AE±BC,

VZEAF=60°,

.".ZCAF=ZDAF=30°,

；.AFJ_CD,

，AE=AF(菱形的高相等)，

/.AAEF是等边三角形，

；.AE=EF=AF.

(2)证明:如图2中，•；NBAC=NEAF=60。，

AZBAE=ZCAE,

在^BAE和^CAF中，

rZBAE=ZCAF

<BA=AC，

ZB=ZACF

.".△BAE^ACAF,

ABE=CF.

(3)解：过点A作AGJ_BC于点G,过点F作FHJ_EC于点H,

VZEAB=15°,ZABC=60°,

AZAEB=45°,

在RTAAGB中，ZABC=60°AB=4,

，

BG=2,AG=2A/3，

在RTAAEG中，/AEG=/EAG=45°,

，AG=GE=2“，

EB=EG-BG=2>/3-2,

VAAEB^AAFC,

；.AE=AF,EB=CF=2«-2,ZAEB=ZAFC=45°,

VZEAF=60°,AE=AF,

AAEF是等边二角形，

.••ZAEF=ZAFE=60°

VZAEB=45°,ZAEF=60°,

ZCEF=ZAEF-NAEB=15°,

在RTAEFH中,ZCEF=15°,

.♦.NEFH=75°,

：/AFE=60°,

/.ZAFH=ZEFH-ZAFE=15°,

VZAFC=45°,ZCFH=ZAFC-ZAFH=30°,

在RTACHF中，VZCFH=30°,CF=2«-2,

FH=CF«cos300=(25/3-2)哼=3-仃

；•点F至ljBC的距离为3-M.

【点评】此题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性

质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴

题.

4、如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60。后，发现旋转前后两图形有另一交点0,连接

AO,我们称A。为“叠弦”；再将"叠弦〃A。所在的直线绕点A逆时针旋转60。后，交旋转

前的图形于点P,连接PO,我们称NOAB为“叠弦角"，AAOP为“叠弦三角形".

【探究证明】

(1)请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形(△AOP)是等边三角形;

(2)如图2,求证：ZOAB=ZOAE\

【归纳猜测】

(3)图1、图2中的“叠弦角"的度数分别为15。，24°；

(4)图n中，“叠弦三角形”是等边三角形(填"是"或"不是")

(5)图n中，“叠弦角”的度数为60。-\frac{180°}{n}(用含n的式子表示)

【考点】几何变换综合题.

【分析】(1)先由旋转的性质，再判断出△APD^^AOa,最后用旋转角计算即可；

(2)先判断出心△AEM丝内△ABN,在判断出RtAAPM丝RtAAON即可；

(3)先判断出△AhOgAABO,再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可;

(4)先判断出4APF丝△AEF,再用旋转角为60。，从而得出△PAO是等边三角形；

(5)用(3)的方法求出正n边形的，“叠弦角"的度数.

【解答】解：⑴如图1,

•.•四ABCD是正方形，

由旋转知：AD=AD',ZD=ZD'=90°,ZDAD'=ZOAP=60°,

AZDAP=ZD'AO,

.".△APD^AAOD'(ASA)

，AP=AO,

VZOAP=60°,

•,.△AOP是等边三角形，

(2〕如图2,

作AMJ_DE于M,作AN_LCB于N.

•.•五ABCDE是正五边形，

由旋转知：AE=AE',ZE=ZE'=108°,ZEAE'=ZOAP=60°

AZEAP=ZE'AO

.,.△APE^AAOE'(ASA)

AZOAE'=ZPAE.

在RtAAEM和RtAABN中，ZAEM=ZABN=72°,0fflAE=AB

ARtAAEM^RtAABN(AAS),

.,.ZEAM=ZBAN,AM=AN.

在R3APM和RSAON中,AP=AO,AM=AN

ARtAAPM^RtAAON(HL).

AZPAM=ZOAN,

ZPAE=ZOAB

AZOAE'=ZOAB(等量代换).

(3)由(1)有，△APD^AAOD',

AZDAP=ZD(AO,

在4AD6和4ABO中，

[AD'=AB

IAO=AO'

.".△AD^^AABO,

AZD,AO=ZBAO,

由旋转得，/DAD，=60。,

VZDAB=90°,

ND'AB=/DAB-NDAD，=30°,

.•./D，AD=LND，AB=15°,

2

同理可得，NE'AO=24°,

故答案为：15°,24°.

(4)如图3,

:六边形ABCDEF和六边形ABUEF是正六边形，

/F=F'=120°,

由旋转得，AF=AF',EF=E'F,

.♦.△APF丝ZXAE'F',

.，.ZPAF=ZE,AF,,

由旋转得，NFAF=60。，AP=AO

/PAO=/FAO=60°,

/.△PAO是等边•三角形.

故答案为：是

1on(

(5)同(3)的方法得，/OAB=[(n-2)xl80°+n-60°]+2=60°-

n

180°

故答案：60°-n.

【稳固练习】

1、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,FC〃AB

求证:AE=CE.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【分析】根据平行线的性质得出NA=NECF,NADE=/CFE,再根据全等三角形的判定定理

AAS得出△ADE^^CFE,即可得出答案.

【解答】证明：［FC〃AB,

AZA=ZECF,ZADE=ZCFE,

在^ADE和ACFE中,

2DAE=NFCE

•NADE=/CFE，

DE=FE

.,.△ADE^ACFE(AAS),

；.AE=CE.

2.如图，点A,B,C,D在同一条直线上，CE〃DF,EC=BD,AC=FD.求证：AE=FB.

【分析】根据CE〃DF,可得NACE=ND,再利用SAS证明△ACE丝Z\FDB,得出对应边相等

即可.

【解答】证明：［CE〃DF,

.\ZACE=ZD,

在^ACE和4FDB中，

'AC=FD

-ZACE=ZD，

EC=BD

/•△ACE^AFDB(SAS),

，AE=FB.

【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，

证明三角形全等是解决问题