2023年中考数学相似三角形必背知识点公式、定理、表

2023年中考数学相似三角形必背知识点（公式、定理、表

知识必备08相似三角形（公式、定理、结论图表）

「知识梳理

考点一、比例线段

1.比曦i段的相关叔念

如果选用同一长度单位里得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是

^=-，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.

bn

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称

比例线段.

着四条a，b>c>d满足或a：b=c：d>那么a，b,c>d叫做组成比例的项,线段a,d叫做比例外项，

线段b,c叫做比例内项.

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c,那么线段b叫做线段a，c的比例中

项.

2、比例的性质

（1）基本性质：0a：b=c：dc=>ad=bc②a：b=b：cu>。-=ac.

（2）更比性质（交换比例的内项或外项）

/（交换内项）

cd

;=二=3g=£（交换外项）

bdba

（同时交换内项和外项）

ca

（3）反比性质（交换比的前项、后项）：;=二=勺=色

aaac

<.>△山ME&aC々±0C±d

（4）合比性质:—=—

baba

r\•在acem」/八、_a+c+c+…+泄ci

f（5）等比性质•—=—=-=•••=—（b+d+/+•••+??-0）；—-------=—

bafnb+W+/+…+〃b

3、黄金分割

把线段AB分成两条线段AC.BC（M>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点

J5-1

C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=^—AB=0.618AB.

2

典例1:（2022•滇江）《九章尊术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆.衡

杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线.用该衡杆称物，可以把被称物与祛码放

在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个祛码就可以称出大于它一倍或几倍重里的物体.图为洞

衡杆的使用示意图，此时被称物重里是祛码重里的12倍.

桢称物祛码

【分析】根据比例的性质解决此题.

【解答】解：由题意得，5m=6ni.

mv=6：5=1.2.

故答案为：1.2.

【点评】本题主要考查比例，熟练室提比例的性质是解决本题的关键.

典例2：（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于

下部与全部的高度比，可以憎加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为沙，的雷镂雕像，那么该雕

像的下部设计高度约是（结果精确到0.01”，.参考数据：V2«1.414.愿=1.732,石=2236）（）

A

融

A.0.73加B.124wC.137mD.1.42w

【分析】设下部高为X”?，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部

的高度比列方程可解得答案.

t解答】解：设下部的高度为,”，则上部高度是（2-X）m.

•••雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，

.2~x_x

X2

解得L娓-1或X=~V5-1（舍去）＞

经检蛉，x=V5-1是原方程的解，

=1=1.24，

故选：B.

【点评】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题.

考点二、相似图形

1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.

也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.（全等是特殊的相似

图形）.

2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.

3,相侬边形的性质：

相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.

相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面租的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.

5,相似三角形的性质：

(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等

于相似比.

(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.

【要点诠筹】

结合两个图形相似，得出时应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度额和线

段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；

(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等,

那么这两个三角形相似.

典例3:(2022•囊阳)如图，在△■L3C中，。是AC,的中点，AiBC,的角平分线1交3。于点尸，若3户：

冗0=3：1，A3~BE=3M，贝心48。的周长为点.

【分析】如图，过点尸作尸于点一”，氏VL4C于点”，过点。作交8C于点7.证明43

=3.4D>设WD=CZ)=a，证明ET=CT，设E7=CT=6,则3E=36,求出K匕，可得结论.

【解答】解：如图，过点尸作于点A/.FNLAC于点.V，过点D作DT//AE交3C于点T.

【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练茎振相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关

键.

典例5：（2022•荷泽）如图，在RtA.45c•中，Z.-L3C=90°>£是边XC上一点，且m=8C，过点.d作班

的垂线，交3E的延长线于点。，求证：AIDES

【分析】根据等腰三角形的性质可得NC=NCE5=4®，由班可得ND=NZL3C=90°，即可

得△aD£SZkA3C.

t解答】证明：•••3E=8C，

:,ZC=ZC£3>

,/ZC£B=NAED，

•,■zc=4ED，

V.£D±5£,

AZZ）=Z.£3C=90°，

AiDE^ZBC.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练堂握相似三角形的判定方法是解决问题的关键.

典例6:《2022•湘渣）如图，在0。中，直径A3与弦8相交于点E，连接HC、8Z）.

（1）求证：4AEB>XDEB；

（2）连接.ID，若WD=3，ZC=3O°，求0。的半径.

【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立；

（2）根据直角三角形的性质和四周角定理，可以得至U.45的长，从而可以得到。。的半径.

【解答】（1）证明：•••NC=N8,NAELNDEB，

•••ADE3；

(2)解：•••NC=N3，NC=30°，

•■■Z5=30°，

•13是GX?的直径，£0=3，

，NADB=90°，

•••.45=6,

•••。。的半径为3.

t点评】本题考查相似三角形的判定、图周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想

解答.

典例7:（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来则里一建筑物顶部放杆的高.如图斯示，在某一时刻，

他们在阳光下，分别测得该建筑物。8的影长OC为16米，Q4的影长QD为20米，小明的影长尸G为

2.4米，其中。、C、D、尸、G五点在同一直线上，X、3、。三点在同一直线上，且HO-LQZ），£尸1•尸G.已

知小明的身高E尸为L8米，求旗杆的高A3.

【分析】解法一：先证明△.48S2\E产G,列比例式可得H。的长，再证明△3OCSAH8,可得。8

的长，最后由线段的差可得结论.

解法二：过点C作CM1OD于C，证明AEG产sAJ0C可得结论.

t解答】解：解法一：•:ADIEG、

乙LD0=NEG产，

：4OD=N£尸G=90°，

：40DsgFG，

.AO_0D=nAO_20

••1'''"-"9KJ-9

EFFG1.82.4

•；4。=15,

同理得△5CX?sAziOZ），

ABO=OCIgpB0=_16i

AOOD1520

二3。=12,

"3=M-3O=15T2=3（米”

解法二：如图，过点C作CA/LJD于C，交AD于",

；A£G~Z0C，

.EF_CIpn1.8.CH

FGDC2.420-16

•yi/=3.

即W3=CA，=3（米），

答：旗杆的高.13是3米.

t点评】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键茎握相似三角形的判定，属于中考常考

题型.

典例8：（2022•滨阳）如图，平行四边形.婚8中，XE=5,5C=10>3C边上的高」”=4,点E为3C•边

上的动点（不与3、C重合，过点£作直线£3的垂线，垂足为尸，连接DE、D尸.

（1）求证：△.13-18△EBF；

（2）当点W为3c•的中点时，求DH的长；

（3）设3E=x，△/）昉的面积为了，求丁与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，了有最大值，最

【分析】（1）利用两个角对应相等的三角形全等即可证明山s。尸；

（2）过点£作期”-10于点M可得四边形区1因'为矩形，从而得到入2=.。/=4，-45'=2龙，再由勾

股定理求出3-1/=3,从而得到一UE=.LN=2,进而得到NN=8,再由勾股定理，即可求解；

（3）延长网交DC的延长线于点G.根据sin/B=41■塔，可得EF=1x，再证得△•fabs“CG，

可得GC=4（10-X），从而得到DG咯（10-x）+5,再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据

二次函数的性质，即可求解.

【解答】（1）证明：•••皿.0.»/是BC边上的高，

：.3fB=2EFB=90。，

又•.•N3=N3，

：4B\mWBF；

（2）解：过点E作EV_L.4Z>于点N，如图：

BMEL

在平行四边形一45CD中，ADHBC，

又/是8c边上的高，

•,..■LV/1.4Z).

Z/LUE=ZJ££V-NWVE=90°，

•••四边形.LHEV为矩形，

:.NE=AM=A，AN7IE，

在RtA.lS.U*«BI=VAB2-AM2=V52-42=3'

又YE为3c的中点，

•'•BE^yBC=5，

•••lffi=£V=2，

•••ZXV=8»

在RtZkDAE中，DE=VDN2+NE2=V<2+82=475

（3）解：延长五E交。C的延长线于点G，如图：

个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.

2.位似图形的分类：

(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.

(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.

3.位似图形的性质

位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

1要点诠释】

位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.