2023年人教版初中九年级数学圆（教案三）

2023年人教版初中九年级数学圆（精华版教案三）

教学内容

1.圆的有关概念.

2.垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两

条弧及其它们的应用.

教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些

实际问题.

从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念.利

用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴.通过

复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解.

重难点、关键

1.重点：垂径定理及其运用.

2.难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）

1.举出生活中的圆三、四个.

2.你能讲出形成圆的方法有多少种？

老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等.（2）圆规：固定一个定点,

固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆.

二、探索新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出:

在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，•另一个端点所

形成的图形叫做圆.固定的端点。叫做圆心，线段0A叫做半径.

以点0为圆心的圆，记作“。0"，读作''圆0”.

学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心0）的距离有什么规律？

问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

老师提问几名学生并点评总结.

（1）图上各点到定点（圆心0）的距离都等于定长（半径r）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有

到定点0的距离等于定长r的点组成的图形.

同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC,AB；

②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”,

读作“圆弧AC”或“弧AC”.大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，•小于

半圆的弧（如图所示）AC或叫做劣弧.

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

（学生活动）请同学们回答下面两个问题.

1.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称

轴？

2.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流.

（老师点评）1.圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到无数多条

直径.

3.我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的.

因此，我们可以得到：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.

（学生活动）请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是。。的一条弦，作直径CD,使CDJ_AB,垂足为M.

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由.

（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD.

（2）AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直径CD平分弦AB,并且平分A6

及ADB.

这样，我们就得到下面的定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

下面我们用逻辑思维给它证明一下:

已知：直径CD、弦AB且CDJ_AB垂足为M

求证：AM=BM,AC=BC,AD=BD.

分析：要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此，只

要连结OA、・0B或AC、BC即可.

证明：如图，连结OA、0B,则OA=OB

C

在RtAOAM和RtAOBM中

OA^OB（|o）

OM^OM\/

ARtAOAM^RtAOBM

，AM=BM

.•.点A和点B关于CD对称

•••（30关于直径CD对称

...当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，AC与重合，AD与BD

重合.

AAC^BC,AD=BD

进一步，我们还可以得到结论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条菰厂

（本题的证明作为课后练习）

例L如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中C。，点0是C。的圆

心，.其中CD=600m,E为上一点，K0E1CD,垂足为F,EF=90m,求这

段弯路的半径.

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代

数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.

解：如图，连接0C

设弯路的半径为R，则0F=(R-90)m〜

V0E1CDA

ACF=-CD=-X600=300(m)D

22U

根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2

即R2=3002+(R-90)2解得R=545

这段弯路的半径为545m.

三、巩固练习

教材P86练习P88练习.

四、应用拓展

例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽

AB=・60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否

需要采取紧急措施？请说明理由.

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m•是否需要采取紧急措施，•只

要求出DE的长，因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R.

解：不需要采取紧急措施D

MEN

设OA=R,在RtAAOC中，AC=30,CD=18

A---------------B

R2=302+(R-18)2R2=900+R2-36R+324'

解得R=34(m)

连接OM,设DE=x,在RtZ\MOE中，ME=16

342=162+(34-x)2

162+342-68X+X2=342X2-6