专训12.2.5 尺规作图+尺规作图为背景的几何证明-简单数学之2021-2022学年八年级上册考点专训（解析版）（人教版）

专训12.2.5尺规作图+尺规作图为背景的几何证明一、单选题1．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法：（1）以△为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心，○长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心，*长为半径画弧交前弧于点F；（4）作⊕，则∠DEF即为所求作的角．

A．△表示点E B．○表示PQC．*表示ED D．⊕表示射线EF【答案】D【分析】根据作一个角等于已知角的方法进行判断，即可得出结论．【详解】解：由图可得作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心，OQ为半径画弧交EG于点D；（3）以D为圆心，PQ长为半径画弧交前弧于点F；（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．故选：D．【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．2．如图所示的是已知，求作的作图痕迹，则下列说法正确的是（）A．因为边的长度对角的大小无影响，所以弧的半径长度可以任意选取B．因为边的长度对角的大小无影响，所以弧的半径长度可以任意选取C．因为边的长度对角的大小无影响，所以弧的半径长度可以任意选取D．以上三种说法都正确【答案】A【分析】根据作一角等于已知角的方法可得出边的长度对角的大小无影响，BC弧的半径长度可以任意选取进而得出答案．【详解】已知，求作的作图痕迹，边的长度对角的大小无影响，得出弧的半径长度可以任意选取．故选：A．【点睛】本题主要考查了基本作图，根据一角等于已知角的方法得出是解题的关键．3．如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；②画射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④过点画射线；根据以上操作，可以判定≌，其判定的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【答案】A【分析】由步骤②得半径=，由步骤③半径=，半径OD=，即可利用三边对应相等证明≌（SSS）．【详解】解：由步骤②得半径=，由步骤③半径=，半径OD=，在和中，∴≌（SSS）．故选择A．【点睛】本题考查尺规作图的依据，仔细阅读作法，找出用两次半径OC与CD解决问题是关键．4．嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，n为半径画弧，交O'A'于点C'；（3）以点C'为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB．下列说法正确的是（）A．m－p>0 B．1－p>0 C．p=n>0 D．m=n>0【答案】D【分析】利用作法根据根据圆的半径相等可得出两个三角形的边长相同，即可得到结论．【详解】解：由作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，则m=n>0．故选：D．【点睛】本题考查了作图-基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．5．如图，用直尺和圆规作“一个角等于已知角”的原理是：因为，所以．由这种作图方法得到的和全等的依据是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法求解．【详解】解：由作法得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，所以根据“SSS”可判断△D′O′C′≌△DOC．故选：D．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．6．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．【详解】解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、C；②任意作一点O′，作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′A′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；作图完毕．在△OCD与△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．7．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围．【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可，当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点，x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合，所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，故选为：A．【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．8．观察下列尺规作图的痕迹：其中，能够说明的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【分析】根据中垂线、角平分线、画等长线段以及作角平分线等知识点解答即可．【详解】解：如图①为作BC的中垂线，即BD=DC,由在△ABC中,AD+DC＞AC,即AD+DB＞AC，可判；如图②为作∠ABC的角平分线，无法判定;如图③为以AC为半径画弧交AB于D，即;如图③为作∠ACB的平分线，无法判定;综上，①③正确．故选C．【点睛】本题考查了基本作图和三角形的三边关系，掌握基本作图方法是解答本题的关键．9．已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（）A． B．C．若，则 D．点在的平分线上【答案】C【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案．【详解】解：由题意可知，，，故选项A正确，不符合题意；在和中，，，在和中，，，，故选项B正确，不符合题意；连接OP，，，在和中，，，，点在的平分线上，故选项D正确，不符合题意；若，，则，而根据题意不能证明，故不能证明，故选项C错误，符合题意；故选：C．【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键．10．“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．作法：如图（2），（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；（3）作射线CC．所以∠CCA就是所求作的角此作图的依据中不含有（）A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等C．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线【答案】C【分析】根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可．【详解】解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确；结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；故选：C．【点睛】本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断．11．如图，在外找一个点（与点A不重合），并以为一边作，使之与全等，且不是等腰三角形，则符合条件的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题是开放题，要想使△A′BC与△ABC全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解．【详解】解：如图：以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点、；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点，所以符合条件的点A′有3种可能的位置．故选：C．【点睛】本题考查了全等的判定综合．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法去求证．12．如图，在，上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，就是的角平分线．这是因为连结，，可得到，根据全等三角形对应角相等，可得．在这个过程中，得到的条件是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【答案】D【分析】由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，由SSS证明三角形全等即可．【详解】解：由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，∴△COD≌△COE（SSS），故选：D．【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．如图，为等边三角形，要在外部取一点，使得和全等，下面是两名同学做法：（）甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求；乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求．A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确【答案】A【分析】根据题意先画出相应的图形，然后进行推理论证即可得出结论．【详解】甲的作法如图一：∵为等边三角形，AD是的角平分线∴由甲的作法可知，在和中，故甲的作法正确；乙的作法如图二：在和中，故乙的作法正确；故选：A．【点睛】本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．二、填空题14．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；②以点为圆心，长为半径在内画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④作射线交于点．若，，则的度数为_______．【答案】．【分析】根据作图可知∠PBC=∠C=45°，根据三角形内角和求出∠ABC=75°，即可求的度数．【详解】解：由作图可知，∠PBC=∠C=45°，∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角和三角形内角和，解题关键是理解作图方法，熟练运用三角形内角和定理求角．三、解答题15．尺规作图：如图，已知点为直线外一点，求作直线，使．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】作直线交于，作即可．【详解】解：如图，直线即为所求作．【点睛】本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．作图题（1）如图，已知线段m，n．求作△ABC，请在右面的空白处作△ABC，作∠ACB=90°，AC=m，AB=n（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）婷婷将（1）中自己画的△ABC剪下来，放在同桌悦悦所画的△ABC上，发现两三角形完全重合，这一过程验证了三角形全等的哪一种判定定理：（直接写出答案，不写过程）．【答案】（1）见解析；（2）HL【分析】（1）①用直尺任意画一条线，用圆规的两脚量取等于长度的线段，交直线与A、C两点；②以C为圆心，任意长半径作圆；③分别以圆与直线的交点为圆心，画两个等圆，连接两个等圆的交点，可作出直线的垂线；④以A为圆心，线段长为半径作圆，交垂线于点B；⑤连接AB即可（2）根据两个直角三角形对应的斜边和一条直角边相等即可得到结论【详解】（1）如图，步骤①用直尺任意画一条线，用圆规的两脚量取等于长度的线段，交直线与A、C两点；②以C为圆心，任意长半径作圆；③分别以圆与直线的交点为圆心，画两个等圆，连接两个等圆的交点，可作出直线的垂线；④以A为圆心，线段长为半径作圆，交垂线于点B；⑤连接AB即可（2），在中，直角边，斜边在两个直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等可用证明两个三角形全等【点睛】本题考查了复杂作图，以及全等三角形的判定，解题关键是掌握垂线的画法，以及全等三角形的判定定理．17．尺规作图：如图，已知线段a，b，c，求作，使，，（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】首先作线段BD=a，在BD上截取AD=b，再分别以A、B为圆心，b，c为半径画弧，两弧相交点C，连接BC，AC，则△ABC即为所求作．【详解】解：如图，为所作．【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是作出线段．18．尺规作图：已知和线段，求作，使．（作图痕迹要清晰规范，不要求作图步骤）【答案】见解析．【分析】利用基本作图来解，作∠B=∠α，∠C=β，BC=2即可．【详解】解：如图，为所作．【点睛】本题考查尺规作图问题，掌握尺规作图中的基本作图，会用基本作图解决问题是解题关键．19．已知：两边及其夹角，线段，，．求作：，使，，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．请你根据所学的知识，说明尺规作图作出，用到的是三角形全等判定定理中的______，作出的是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的______．【答案】作图见解析；SSS，SAS．【分析】（1）首先根据一个角等于已知角的方法作∠B=∠α，再在角的两边分别截取BC=a，AB=c，再连接AC；（2）根据三角形全等的判定定理可得．【详解】解：（1）如图所示：

（2）尺规作图作出∠ABC=∠α，用到的是三角形全等判定定理中的SSS，作出的△ABC是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的SAS．【点睛】本题主要考查用尺规作三角形，全等三角形的判定定理，关键是掌握作一个角等于已知角的方法以及全等三角形的判定方法．20．尺规作图题已知：如图，线段，，直角．求作：，使，，．（注：不写作法，保留作图痕迹）【答案】作图见解析【分析】先作∠ECF=，在射线CF上截取点B，使，以B为圆心，c的长为半径作弧，交射线CE于点A，连接AB即可．【详解】解：先作∠ECF=，在射线CF上截取点B，使，以B为圆心，c的长为半径作弧，交射线CE于点A，连接AB，如图所示，即为所求．【点睛】此题考查的是作直角三角形，掌握作角等于已知角和作线段等于已知线段是解决此题的关键．21．已知线段a和∠α，按要求作图：作一个△ABC，使AB=2a，BC=3a，∠ABC=∠α．（保留作图痕迹，不必写作法和证明）【答案】作图见解析【分析】可作∠ABC=∠α，然后在∠ABC的两边上分别截取BC=3a，BA=2a,连接AC即可．【详解】解：如图，22．小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法：（1）在OA和OB上分别截取．（2）分别以D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在的内部两弧交于点C．（3）作射线OC，则有．你能指出作法中的道理吗？【答案】见解析【分析】利用画法得到OE=OD，CE=CD，加上OC为公共边，可根据“SSS”证明△COD≌△COE，据此可以得∠AOC=∠BOC．【详解】解：由作法得：OE=OD，CE=CD，而OC为公共边，即OC=OC，∴△COD≌△COE（SSS），∴∠AOC=∠BOC．【点睛】本题考查了基本作图以及全等三角形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．23．已知：如图1，在中，．求作：射线，使得．下面是小明设计的尺规作图过程．作法：如图2，①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点；②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；③以点为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；④作射线．所以射线就是所求作的射线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接，．，，．__________，__________，（__________）（填推理的依据）．【答案】（1）见解析；（2），，同位角相等两直线平行【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用全等三角形的性质证明即可．【详解】解：（1）如图，射线即为所求作．（2）连接，．，，．，，（同位角相等两直线平行）．故答案为：，，同位角相等两直线平行．【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．如图，在中，，点在上．请用尺规作图法在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】答案见详解．【分析】利用作一个角等于已知角确定以A与P圆心,，以同样长度为半径，再以EF为半径，以点G为圆心画弧交前弧于H，作射线PH交AC与D得出即可．【详解】解：以点A为圆心，任意长为半径，画弧交AP于E，AB与F，以P为圆心，以AE长为半径画弧交PC与G，以G为圆心，以EF长为半径，画弧，交前弧于H，过H作射线PH交AC于D，即可得出．如图所示：则点D即为所求．【点睛】本题主要考查了基本尺规作图-作一个角等于已知角，熟练掌握相关知识是解本题的关键．25．如图，B，C分别为射线的端点，连接，按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不要求写作法，标明各顶点字母）

（1）在的右侧，作，交射线于点E；（2）在（1）的条件下，求作（点F在内）使得．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用基本作图作出∠BCE；（2）分别以C、B点为圆心，BE、CE为半径画弧，两弧交于点F，则△CBF为所作．【详解】解：（1）如图，为所作；（2）如图，为所作．

【点睛】本题考查了作图，解决此类问题的关键是熟悉几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．26．求证：全等三角形的对应角平分线相等．（1）在图②中，作出相应的角平分线,保留作图痕迹；（2）根据题意，写出已知、求证，并加以证明。【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的作图方法即可求解；（2）根据已知条件证明△ABD≌△A’B’D，故可得到AD=A’D’，即全等三角形的对应角平分线相等．【详解】（1）如图，A’D’即为所求；（2）已知，△ABC≌△A’B’C’,AD，A’D’分别是△△ABC，△A’B’C’的角平分线；求证：AD=A’D’；证明：∵△ABC≌△A’B’C’∴AB=A’B’,∠B=∠B’，∠BAC=∠B’A’C’∵AD，A’D’分别是△△ABC，△A’B’C’的角平分线∴∠BAD=∠B’A’D’∴△ABD≌△A’B’D（ASA）∴AD=A’D’即全等三角形的对应角平分线相等．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．27．嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证．（1）在方框中填空，以补全已知和求证；（2）按嘉淇的想法写出证明过程．【答案】（1）BE；BF；（2）见解析【分析】（1）以点B为圆心，BC长为半径画弧得到BC=BE，根据题目第一句话得AE=BF；

（2）根据平行线的性质得到∠AEB=∠FBC，然后根据AAS证明△ABE≌△FCB，然后利用全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）∵以点B为圆心，BC长为半径画弧

∴BC=BE

根据已知条件第一句话，得到AE=BF

故答案为：BE；BF；（2）证明：∵CF⊥BE，∴∠BFC=90°，又∵AD∥BC，∴∠AEB=∠FBC．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，∴BE=BC，在△ABE与△FCB中，∴△ABE≌△FCB，∴AE=BF【点睛】本题考查了尺规作图，和三角形全等的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定条件，和性质是本题的关键．28．如图所示，已知△ABC.（1）用直尺和圆规作∠A的平分线和边BC的垂直平分线；（要求：不写作法，但需要保留画图痕迹）（2）设（1）中的和直线交于点P，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AC交AC的延长线于点F.请你探究BE和CF之间的数量关系，并加以证明.【答案】（1）见解析（2）BE=CF.【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC相交，再以这两点为圆心，以大于它们长度的为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与交点作射线即为∠A的平分线；分别以点B、C为圆心，以大于BC长度为半径画弧，在BC的两边分别相交于一点，过这两点作直线即为BC的垂直平分线；

（2）结论BE=CF．利用全等三角形的性质即可证明.【详解】解：（1）（2）BE=CF.连接PB和PC∵AP平分∠CAB，PE⊥AB，PF⊥AC∴PE=PF.∵l2垂直平分BC边,∴PC=PB.由HL证明△PFC≌△PEB∴BE=CF.【点睛】本题考查了作图—复杂作图与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图与线段垂直平分线的性质.29．尺规作图之旅下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．（作图原理）在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的画×．（1）过一点作一条直线．()（2）过两点作一条直线．()（3）画一条长为3㎝的线段．()（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．()（回顾思考）还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．已知：∠AOB．求作：使作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线，以点为圆心，OC长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，____________________；（4）过点画射线，则．说理：由作法得已知：求证：证明：()所以()（小试牛刀）请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线与直线外一点A．求作：过点A的直线，使得．（创新应用）现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．【答案】【作图原理】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；【回顾思考】作法：以点为圆心，以CD为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于；说理：SSS，全等三角形对应角相等；【小试牛刀】答案见解析；【创新应用】答案见解析．【分析】[作图原理]根据五种基本作图判断即可；[回顾思考]利用全等三角形的判定解决问题即可；[小试牛刀]利用同位角相等两直线平行解决问题即可；[创新应用]答案不唯一，画出图形，说明设计意图即可．【详解】解：[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以求作；（2）过两点作一条直线．可以求作；（3）画一条长为3cm的线段．不可以求作；（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；故答案为：√，√，×，√；[回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；（3）以点C为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；（4）过点D画射线OB，则∠AOB＝∠AOB．说理：由作法得已知：OC＝OC，OD＝OD，CD＝CD，求证：∠AOB＝∠AOB．证明：在△OCD和△OCD中，∴△OCD≌△OCD（SSS），∴∠AOB＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），故答案为：以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′，SSS，全等三角形的对应角相等；[小试牛刀]：如图，直线l′即为所求（方法不唯一），；[创新应用]：如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏，．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．30．动手操作：

如图,已知AB∥CD,点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧，两