12.2 全等三角形的判定 AB分层训练（解析版）

12.2全等三角形的判定1．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△AOC≌△BOC的是（）

A．∠3=∠4 B．∠A=∠B C．AO=BO D．AC=BC【答案】D【分析】根据三角形全等的判定方法即可求解．【详解】解：A、若加上∠3=∠4，在△AOC和△BOC中，∠1=∠2，OC=OC，∠3=∠4，∴△AOC≌△BOC，故选项A能判定；B、若加上∠A=∠B，在△AOC和△BOC中，∠1=∠2，∠A=∠B，OC=OC，∴△AOC≌△BOC，故选项B能判定；C、若加上AO=BO，在△AOC和△BOC中，AO=BO，∠1=∠2，OC=OC，∴△AOC≌△BOC，故选项C能判定；D、若加上AC=BC，则已有的条件为两边及其中一边的对角对应相等，不满足全等的判定方法，∴不能判定出△AOC和△BOC全等，故选项D不能判定．故选：D．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的理由是（

A．SAS B．AAS C．SSS D．HL【答案】D【分析】根据题中的条件可得△APD和△APE是直角三角形，再根据条件DP=EP，AP=AP可根据HL定理判定△APD≌△APE．【详解】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP=∠AEP=90°，在Rt△APD和PD=PEAP=AP∴Rt△APD≌Rt△APEHL故选：D．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，解题的关键是结合已知条件在图形上的位置选择恰当的判定方法．3．已知三角形ABC和三角形DEF，其中AB=DE,∠B=∠E，下列条件中不能判定△ABC≌A．∠A=∠D B．∠C=∠F C．BC=EF D．AC=DF【答案】D【分析】根据三角形全等的判定条件可直接排除选项．【详解】如图所示，

解：A．若∠A=∠D，则根据“ASA”可判定△ABC≌△DEF，故不符合题意；B．若∠C=∠F，则根据“AAS”可判定△ABC≌△DEF，故不符合题意；C．若BC=EF，则根据“SAS”可判定△ABC≌△DEF，故不符合题意；D．若AC=DF，则不能判定△ABC≌△DEF，故符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键．4．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（

）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去【答案】A【分析】根据全等三角形的判定可进行求解【详解】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故选：A．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．5．下列说法中，正确的是（

）A．三角形任意两边之差小于第三边 B．三角形的一条角平分线将三角形分成两个面积相等的三角形C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 D．三角形的三条高都在三角形内部【答案】A【分析】利用三角形三边关系、三角形中线的性质、全等三角形的判定、三角形的高等知识分别判断即可．【详解】解：A．三角形任意两边之差小于第三边，故选项正确，符合题意；B．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，故选项错误，不符合题意；C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，故选项错误，不符合题意；D．三角形的三条高不一定都在三角形内部，如钝角三角形有两条高在三角形的外部，故选项错误，不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了三角形三边关系、三角形中线的性质、全等三角形的判定、三角形的高等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．6．如图，BD是△ABD和△CBD的公共边，下列条件不能判定△ABD≌△CBD的是（

）A．AB=CB，∠ABD=∠CBD B．AB=CB，∠ADB=∠CDBC．AB=CB，AD=CD D．∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB【答案】B【分析】由全等三角形的判定方法：SAS，ASA，SSS，即可判断．【详解】解A、由SAS可以判定△ABD≌△CBD，故不符合题意；B、∠ADB=∠CDB，这两个角分别是AB，BC的对角，不能判定△ABD≌△CBD，故符合题意；C、由SSS可以判定△ABD≌△CBD，故不符合题意；D、由ASA可以判定△ABD≌△CBD，故不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．7．如图，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=30°，∠2=40°，则∠3的度数为（

）

A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】先证出△ABD≌△ACE，根据三角形全等的性质可得∠ABD=∠2=40°，再根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴∠ABD=∠2=40°，∵∠1=30°，∴∠3=∠ABD+∠1=70°，故选：C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．8．如图，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AB=CD，AE=CF，则图中全等三角形共有（

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】C【分析】由AB=CD，AE=CF，证明Rt△ABE≌Rt△CDFHL，则BE=DF，∠ABE=∠CDF，由AE=CF，∠AED=∠CFB=90°，DE=BF，证明△AED≌△CFBSAS，则AD=BC，由【详解】解：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠AED=90°，∠CFD=∠CFB=90°，∵AB=CD，AE=CF，∴Rt△∴BE=DF，∠ABE=∠CDF，∴BD-BE=BD-DF，即DE=BF，∵AE=CF，∠AED=∠CFB=90°，DE=BF，∴△AED≌△CFBSAS∴AD=BC，∵AB=CD，AD=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CDBSSS∴图中全等三角形共有3对，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．9．如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=8，BF=6，EF=5，则AD的长为（

）

A．13 B．11 C．7 D．9【答案】D【分析】只要证明△ABF≌△CDEAAS，可得AF=CE=8，BF=ED=6，推出AD=AF+DF=AF+【详解】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB=∠CED=90°，∴∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，∴∠A=∠C，∵AB=CD，∴△ABF≌△CDEAAS∴AF=CE=8，BF=ED=6，∵EF=5，∴AD=AF+DF=AF+ED-EF故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连接CP，CP平分∠ACB．其中正确的是（

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．【详解】解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=1∴∠APB=135°，故①正确；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBPAAS∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确；在△APH和△FPD中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，∴△APH≌△FPDAAS∴PH=PD，故③正确；∵ΔABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确；综上，正确的有①②③④，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关性质．二、填空题11．如图，AB=DC，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt

【答案】AE=DF或BE=CF【分析】根据垂直求出∠CFD=∠AEB=90°，在根据三角形全等的判定定理即可解答．【详解】解：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD=∠AEB=90°，在Rt△ABE和AB=DCAE=DF或AB=DC∴Rt△故答案为：AE=DF或BE=CF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理进行推理并运用数学结合思想．12．如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加的一个条件是【答案】AB=CD（答案不唯一）【分析】根据AE∥DF可得∠A=∠D，添加AB=CD可证明AC=BD，利用SAS证明△EAC≌△FDB即可，或添加∠E=∠F，利用ASA证明△EAC≌△FDB即可，或添加∠ECA=∠FBD，利用AAS证明△EAC≌△FDB即可．【详解】解：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，添加AB=CD，理由如下：∵AB=CD，∴AC=BD，在△EAC和△FDB中，AE=DF∠A=∠D∴△EAC≌△FDBSAS添加∠E=∠F，理由如下：在△EAC和△FDB中，∠E=∠FAE=DF∴△EAC≌△FDBASA添加∠ECA=∠FBD，理由如下：在△EAC和△FDB中，∠ECA=∠FBD∠A=∠D∴△EAC≌△FDBAAS故答案为：AB=CD（答案不唯一）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．掌握三角形全等判定的方法是解题的关键．13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，则△ABD≌△ACD的根据是

【答案】ASA【分析】由AD⊥BC、AD平分∠BAC、AD=AD可得出两个三角形对应的两个角及其夹边相等，于是可以利用ASA判定这两个三角形全等．【详解】∵AD⊥BC，∴∠BDA=∠CDA=90∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD与△ACD中，∠BDA=∠CDA∴△ABD≌△ACDASA故答案为：ASA【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，解题的关键是找到两个三角形对应的边角相等．14．如图，AD⊥AB，BE⊥AB，点C在AB上，连接CD，CE，若CD⊥CE，CD=CE，AD=3cm，BE=5cm，则AB长为

【答案】8cm【分析】首先证明出△ACD≌△BEC，然后利用全等三角形的性质求解即可．【详解】∵AD⊥AB,BE⊥AB，∴∠A=∠B=90°，∴∠D+∠ACD=90°，∵CD⊥CE，∴∠ACD+∠BCE=180°-90°=90°，∴∠D=∠BCE，在△ACD和△BEC中，∠A=∠B=90°∠D=∠BCE∴△ACD≌△BECAAS∴AC=BE=5cm，BC=AD=3cm，∴AB=AC+BC=8cm．故答案为：8cm．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法．15．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E，若BD=12，则CE为．

【答案】6【分析】延长BA，CE交于点F，证△BEF≌△BEC，△ABD≌△ACF，得出EF=EC，EC=12CF，及BD=CF【详解】解：延长BA，CE交于点F，

∵∠A=90°=∠BEC=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，∠CDE+∠ACF=90°，∵∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，∠BAD=∠CAFAB=AC∴△ABD≌△ACF(ASA)，∴BD=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵CE⊥BD，∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中，∠ABE=∠CBEBE=BE∴△BEF≌△BEC(ASA)，∴EF=EC，∴EC=1∴CE=1∵BD=12，∴CE=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键．16．如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，在BE上取一点D，使DB=AC，在射线CF上取一点G，使GC=AB，连结AD，AG．若∠DAE=38°，∠ABE=20°，则∠G的度数为．

【答案】32度/32°【分析】证明△ABD≌△GCA得到∠BAD=∠G，根据三角形的内角和定理求得∠BAD即可．【详解】解：∵BE，CF分别是AC，AB边上的高，∴∠BEA=∠CFA=90°.∴∠ABD+∠BAC=90°，∠GCA+∠BAC=90°.∴∠ABD=∠GCA.在△ABD和△GCA中，∵DB=AC，∠ABD=∠GCA，AB=GC，∴△ABD≌△GCASAS∴∠BAD=∠G.∵∠BAD=180°-90°-∠ABE-∠DAE=90°-20°-38°=32°，∴∠G=32°.【点睛】本题考查三角形的高、全等三角形得判定与性质、三角形的内角和定理，证明△ABD≌△GCA是解答的关键．17．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD=CF，BE=CD．若∠AFD=145°，则∠EDF=．【答案】55°/55度【分析】利用HL证明Rt△BED≌Rt△【详解】解：∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠BED=∠CDF，在Rt△BED和BD=CFBE=CD∴Rt△∴∠B=∠C，∠BDE=∠CFD，∵∠AFD=145°=∠C+∠CDF，∴∠C=∠AFD-∠CDF=55°，∴∠B=∠C=55°，∵∠BDE+∠EDF=∠FDB=∠C+∠DFC，∴∠EDF=∠C=55°；故答案为：55°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明Rt△BED≌Rt△18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作经过点A的直线的垂线段BD、CE，若BD=5厘米，CE=8厘米，则DE的长为【答案】13厘米【分析】利用垂直的定义得到∠BDA=∠AEC，由平角的定义及同角的余角相等得到∠ABD=∠CAE，利用AAS证得△ABD≌△CAE，再由全等三角形对应边相等得到DB=AE=5，AD=CE=8，由DE=AD+AE即可求出DE长．【详解】解：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，∠ADB=∠CEA∠ABD=∠CAE∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴DB=AE=5，CE=AD=8，则DE=AD+AE=8+5=13(厘米)，故答案为：13厘米．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据平角的定义及同角的余角相等证得∠ABD=∠CAE是解决问题的关键．三、解答题19．如图，AB∥DE，【答案】见解析【分析】由全等三角形的判定定理即可求证．【详解】证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠DEF∴△ABC≌△DEFSAS【点睛】本题考查利用“SAS”证明三角形全等．掌握相关定理进行推导是解题关键．20．已知∠ABC，O为射线BA上一点，在∠ABC内部，求作∠AOD，使∠AOD=∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】图见解析【分析】根据作角等于已知角的方法，进行作图即可．【详解】解：如图所示，∠AOD即为所求；【点睛】本题考查作角等于已知角．熟练掌握尺规作图方法，是解题的关键．21．如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，∠B=∠DEF，AB=DE，BE=CF．

(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠B=50°，∠F=70°，求∠A的度数．【答案】(1)证明过程见解析.(2)60°【分析】（1）先证明BC=EF，再利用SAS证明△ABC≌△DEF即可；（2）先根据全等三角形对应角相等证明∠ACB=∠F，再根据三角形内角和定理求出∠A的值．【详解】（1）证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠DEF∴△ABC≌△DEFSAS（2）解：由△ABC≌△DEF得∠ACB=∠F．∵∠B=50°，∠F=70°，∴∠A=180°-∠ACB-∠B=180°-∠F-∠B=60°，【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．22．如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．

【答案】见解析【分析】利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．【详解】证明：在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，∴∠CAB=180°-∠B-∠C=110°．∵AE⊥BC．∴∠AEC=90°．∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°，∴∠DAF=∠CAB．在△DAF和△CAB中，AD=AC∠DAF=∠CAB∴△DAF≅△CABSAS∴DF=CB．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．23．已知∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥NM，BE⊥NM，垂足分别为点D，E．

(1)如图①，求证：AD=BE+DE(2)如图②，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，【答案】(1)见解析(2)（1）中的结论不成立．结论：DE=AD+BE，理由见解析【分析】（1）证明△ADC≌△CEBAAS，推出CD=BE，AD=CE（2）证明△ADC≌△CEBAAS，推出CD=BE，AD=CE【详解】（1）证明：∵AD⊥NM，BE⊥NM，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEBAAS∴CD=BE，AD=CE，∴CE=CD+DE=BE+DE，∴AD=BE+DE；

（2）（1）中的结论不成立．结论：DE=AD+BE；理由如下：∵AD⊥NM，BE⊥NM，∴∠ADC=∠CEB=90°∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ADC和△CEB中∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCE∴△ADC≌△CEBAAS∴CD=BE，AD=CE，∵DE=CD+CE，∴DE=AD+BE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，证明三角形全等是解题的关键．24．如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上载取BF=AC，延长CE至点G使CG=AB，连接AF，AG．

(1)求证：AG=AF；(2)求∠GAF的度数；【答案】(1)证明见解析(2)90°【分析】（1）根据高的定义得到∠AEC=∠ADB=90°，进而得到∠ABD=∠ACG，由此证明△AGC≌△FAB即可证明AG=AF；（2）由全等三角形的性质得到∠BAF=∠CGA，再由三角形内角和定理得到∠AGE+∠EAG=90°，即可得到∠BAF+∠EAG=90°，即∠FAG=90°．【详解】（1）证明：∵BD、CE分别是AC、AB两条边上的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠ACG，在△AGC与△FAB中，CA=BF∠GCA=∠ABF∴△AGC≌△FABSAS∴AG=AF；（2）解：∵△AGC≌△FAB，∴∠BAF=∠CGA，∵CE是AB边上的高，即CE⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠AGE+∠EAG=90°，∴∠BAF+∠EAG=90°，即∠FAG=90°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，高的定义，证明△AGC≌△FAB是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=45°，点D为AC中点，AE⊥BD交BC于点E，交BD于点F．求证：

(1)∠CAE=∠ABD；(2)BD=AE+ED．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出∠BAC=90°，再根据直角三角形两锐角互余得出∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，即可求证；（2）过点C作CA的垂线交AE延长线于点M，先证明△ACM≌△BADASA，得出AD=CM，BD=AM，则CM=CD，再证明△MCE≌△DCESAS，得出【详解】（1）证明：∵AB=AC，∠C=45°，∴∠CBA=45°，∴∠BAC=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°∴∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，∴∠CAE=∠ABD．（2）证明：过点C作CA的垂线交AE延长线于点M

∵CM⊥CA，∴∠MCA=90°即∠MCA=∠CAB，在△ACM和△BAD中，∠CAE=∠ABD∴△ACM≌△BADASA∴AD=CM，∵D为AC中点，∴AD=CD，∴CM=CD∵∠MCA=90°，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠MCB，在△MCE和△DCE中，CM=CD∠ACB=∠MCB∴△MCE≌△DCE∴EM=ED，∴AM=AE+EM=AE+ED，∴BD=AE+ED．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°，直角