2023届湖北省武汉市重点中学新高考数学模拟卷及参考答案

2023届武汉市重点中学新高考模拟卷

一、单选题

1.已知z=l-2K且z+龙+方=0,其中〃，人为实数，则()

A.。=1,。=—2B.a=—\,b=2C.a=\,b=2D.ci=­1,Z?=—2

2.已知集合5=,卜=2〃+1,〃£2},T={巾=4〃+l,〃£Z},则S?T()

A.0B.SC.TD.Z

3.已知向量〃/满足|a|=1,曲|=J5,|a-20|=3,则£$=()

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知各项均为正数的等比数列｛《,｝的前4项和为15,且%=3a,+4q,则%=

A.16B.8C.4D.2

5.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，

每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()

A.60种B.120种C.240种D.480种

6.若sin(a+/7)+cos(a+4)=2应cos(a+?)sin/，则()

A.tan(6f-y?)=lB.tan(a+/?)=1

C.tan(6Z-^)=-lD.tan(a+/?)=-1

22

7.椭圆C:二+二=l(a>6>0)的左顶点为A,点P,。均在C上，且关于y轴对称.若直

ab~

线AP,A。的斜率之积为!，则C的离心率为()

4

A.正B.—C.；D.-

2223

1

8.设函数/(x)=e"(2x—l)-以+a,其中若存在唯一的整数%,使得〃%)<0,则

〃的取值范围是()

二、多选题(

9.有一组样本数据巧，…，x“,由这组数据得到新样本数据％,)，2...其，其中

%=x,.+<?(，=1,2,…,〃),c为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同

TT7T7T57r

A.sin(x+—)B.sin(--2x)C.cos(2x:+—)D.cos(----2x)

3366

11.已知点尸在圆(x-5『+(y-5)2=16上，点A(4,0)、8(0,2),则()

A.点尸到直线A8的距离小于10B.点P到直线A8的距离大于2

C.当NPBA最小时，|P8|=3&D.当NPBA最大时，|尸8|=3旅

12.在正三棱柱4BC-4冉6中，=M=1,点p满足=+〃3旦，其中2«0』],

0,1],则()

A.当4=1时，△A87的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸-ABC的体积为定值

2

C.当时，有且仅有一个点尸，使得AP，8P

D.当〃=g时，有且仅有一个点尸，使得ABJ•平面ABf

三、填空题

13.(』+36的展开式中常数项是(用数字作答).

X

14.己知f(x)是奇函数，且当x<0时，/(幻=-6"*.若/(山2)=8,贝.

15.设外鸟为椭圆C:(+亲1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若五石为

等腰三角形，则M的坐标为.

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格

为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得至ljlOdmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图

形，它们的面积之和S[=24()dm)对折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,2(kimx3dm

三种规格的图形，它们的面积之和S2=18()dm2,以此类推，则对折4次共可以得到不同规

格图形的种数为;如果对折"次，那么£“=dm2.

4=1

六、解答题

17...ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求4；

(2)若正a+b=2c，求sinC.

18.己知公比大于1的等比数列比”)满足出+4=20,%=8.

(1)求他“｝的通项公式；

3

1

(2)求a。—a2a}+...+(—})"d„an+l.

19.如图，四棱锥尸-ABC。的底面为正方形，底面ABCZ).设平面布。与平面PBC的

交线为/.

(1)证明：/_!_平面PDC；

(2)已知尸力=4。=1,。为/上的点，。8=夜，求PB与平面QCO所成角的正弦值.

20.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,

如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据

检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为

P(Q<P<I),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为“P),求f(P)的最大值点P()；

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的4作为夕的值.已

知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付

25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;

4

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检

验？

X21

21.已知曲线C：产会,。为直线产-万上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为A,

B.

(1)证明：直线A8过定点：

(2)若以E(0,g)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段A8的中点，求四边形AO8E

的面积.

22.已知函数/(x)=(x-l)e*-or，+/>.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)只有一个零点

.2

®—<a<—,b>2a\

22

Q<a<—,h<2a

②2

5

答案解析

一、单选题

1.已知z=l-2K且z+龙+方=0,其中〃，人为实数，则()

A.。=1,。=—2B.a=—\,b=2C.a=\,b=2D.ci=­1,Z?=—2

【答案】A

【分析】先算出三,再代入计算，实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】z=l-2i

z+dz+〃=l-2i+a(l+2i)+〃=(l+a+Z?)+(2Q-2)i

由z+应+〃=0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，

[\+a-\-b-Q[a-\

得。0n，即70

[2iz—2=0[b——2

故选:A

2.已知集合5=[卜=2“+1,〃€2},T={巾=4"+l,〃eZ},则S?T()

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【分析】分析可得T=S,由此可得出结论.

【详解】任取reT,则r=4〃+l=2・(2〃)+l,其中〃eZ,所以，feS,故T=S,

因此，S|T=T.

故选：C.

3.已知向量。,b满足|“|=1,屹|=百,|。-2。|=3,则"=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：V|a-2/7|2=k/|2-4a-b+4\b[,

又防|=J5,|a—2在|=3,

•*•9=1-4^/?+4x3=13-4^/;，

••a'b=\

6

故选：c.

4.已知各项均为正数的等比数列｛4｝的前4项和为15,且％=34+4囚，则出=

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

【解析】利用方程思想列出关于4,4的方程组，求出4,4,再利用通项公式即可求得出的

值.

【详解】设正数的等比数列｛“〃｝的公比为4,则卜"，="，，

a｝q=3atq+4q

解得•・生=。4=4,故选C.

【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.

5.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，

每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组

合，排列，乘法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先

从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C；种选法；然后连同其余三人，看成四个元

素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!

种，根据乘法原理，完成这件事，共有C；x4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后

利用先选后排思想求解.

6.若sin(a+6)+cos(a+/7)=20cos(a+£卜,则()

A.tan(a-^)=lB.tan(<z+p)=l

7

C.tan(a—4)=一1D.tan(«+/?)=-l

【答案】C

【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】［方法一］：直接法

由己知得：sinacos/?+cosasmp+cosacos/?-sinasin〃=2(cosa-sina)sin〃，

即：sinacos£-coscsin£+cosccos〃+sin<zsin/?=0,

即：sin((z-〃)+cos(<z-/7)=0

所以tan(a_0=-l

故选：C

［方法二］：特殊值排除法

解法一:设0=0则sina+cosa=0,取a=g,排除A,B；

IT

再取a=0则sinp+cos0=2sin。，取0=］,排除D；选C.

［方法三］:三角恒等变换

sin(a+夕)+cos(a+/)=&sin(a+夕+工)=72sin［(a+—)+>5］

44

=V5sin(a+工)cos夕+&cos(a+—)sinp=2\/2cos(cr+—)sin/J

444

sin(a+—)cos/?-cos(a+—)sin8=0即sin(a+£)=0

444

sin((2-/?+-^)=sin(a-y0)cos^+cos(6Z-yS)sin-^=^-sin(a-/7)+^-cos(a-y5)=O

.,.sin(a-/?)=-cos(a-4)即tan(a-p)=-l,

故选：C.

7.椭圆C:*+亲•=l(a>8>0)的左顶点为A,点P,。均在C上，且关于y轴对称.若直

线的斜率之积为5，则C的离心率为()

A.在B.—C.yD.-

2223

【答案】A

8

v21

【分析】设则Q(F，yJ,根据斜率公式结合题意可得:，=：,再根据

一不+Q4

¥+4=1,将/用巧表示，整理，再结合离心率公式即可得解.

crb'

【详解】［方法一］:设而不求

设尸(不乂)，则。(-X|,y)

［21

则由心.•怎。=彳得：阳「•怎°=—==

4%+。一玉+a-%,+。4

b2^a2-x,2)

由》+点=1,得城

a~

所以椭圆C的离心率e=£=Ji?=@,故选A.

［方法二］:第三定义

设右端点为B,连接PB,由椭圆的对称性知：kpB"%

故kAP•怎0=kPA'-kAQ=I，

/72

由椭圆第三定义得：k-k=--

PAAQa'

,h21

+故一7=一

a24

所以椭圆C的离心率e=£=、DJ=且，故选A.

a\a~2

8.设函数f(x)=e'(2x—l)—or+a,其中a<1,若存在唯一的整数%,使得〃/)<0,

则”的取值范围是()

AJO)B」.长)D.艮1)

\_2eJL2e4；L2e4J|_2eJ

【答案】D

【分析】设g(x)=/(2x-l),y=a(x-l),问题转化为存在唯一的整数％使得满足

g伍)<a(x-l),求导可得出函数丫=8(6的极值，数形结合可得-”>g(O)=—l且

9

3

-1=-->-2«,由此可得出实数。的取值范围.

e

【详解】设&(力=0*(2》-1),y=a(x-l),

由题意知，函数y=g(x)在直线^=必一。下方的图象中只有一个点的横坐标为整数,

g'(x)=e'(2x+l),当时，g,(x)<0；当时，g'(x)>0.

所以，函数y=g(x)的最小值为《-£|=-2〉.

又g(O)=T，g(l)=e>0.

直线y=ar-a恒过定点(1,0)且斜率为a,

33

^-a>g(0)=-lJi,解得故选D.

【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.

二、多选题(共。分

9.有一组样本数据为，巧，…，x„,由这组数据得到新样本数据口,%，…，%，其中

%=x,+c(i=l,2,…,〃),c为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

【答案】CD

【分析】A、C利用两组数据的线性关系有E(y)=E(x)+c、D(y)=D(x),即可判断正误;

10

根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.

【详解】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且c*(),故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为王，则第二组的中位数为¥=占+。，显然不相同，错误:

C：D(.y)=D(x)+D(c)=£>(%),故方差相同，正确；

D:由极差的定义知：若第一组的极差为%a*-则第二组的极差为

(玉丽+C)一(/而+C)=Xg*-/“，故极差相同，正确;

故选：CD

10.已知点P在圆子一5)2+(尸5)2=16上，点4(4,0)、3(0,2),则()

A.点尸到直线AB的距离小于10

B.点尸到直线AB的距离大于2

C.当NP8A最小时，俨却=30

D.当NPB4最大时，|/>川=30

【答案】ACD

【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线A8的距离的取值范围，可判断

AB选项的正误；分析可知，当NP8A最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判

断CD选项的正误.

【详解】圆(工一5)2+(尸5)2=16的圆心为“(5,5),半径为4,

直线A3的方程为鸿=1,即x+2打4=0,

[52x5-4|111175^

圆心M到直线AB的距离为+=

炉工1亚5

所以‘点尸到直线A8的距离的最小值为竽-4<2’最大值为竽+4。。，A选项正确,

B选项错误:

如下图所示:

11

Pi

"oj~X

当NPBA最大或最小时，依与圆M相切，连接MP、BM,可知RM_LP3,

\BM\=,J(0-5)2+(2-5)2=>/34,\MP\=4,由勾股定理可得|BP|=-|MP「=30,

CD选项正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：若直线/与半径为r的圆C相离，圆心C到直线/的距离为"，则圆C上

一点P到直线/的距离的取值范围是［d-r,d+r］.

11.下图是函数尸sin(tox+9)的部分图像,则sin(①x+o)=()

卡，/

Tl兀

A.sin(x+—)B.sin(--2x)C.cos(2x+—)D.cos(--2x)

66

【答案】BC

【分析】首先利用周期确定。的值,然后确定3的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导

公式可得正确结果.

T2

【详解】由函数图像可知：彳4=9则网=§=生=2,所以不选A,

62T71

不妨令69=2,

2冗

当］"十7_56时,y=—l/.2x葛+夕=甘+24乃(％eZ),

X——

212

2,、

解得：(P=2攵乃+q)(攵eZ),

即函数的解析式为：

12

y=sin2x+一"+2归乃=sin2x+—+—=cos2x+—=sin——2xI

I3JI6I(3J

而cosI2x+—l=-cos(--2x)

故选：BC.

【点睛】已知人x)=A”〃(s+e)(A>0,。>0)的部分图象求其解析式时:A比较容易看图得

出，困难的是求待定系数。和外常用如下两种方法：

(1)由学即2万可求出g确定,p时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”

横坐标X0,则令3冲+夕=0(或5。+0=兀)，即可求出夕.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形

解出3和外若对43的符号或对夕的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

12.在正三棱柱ABC-A£C|中，4B=A4,=1，点尸满足=,其中2e[0,l],

〃科0,1],则()

A.当2=1时，的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值

C.当4时，有且仅有一个点P,使得A/LBP

D.当〃=g时，有且仅有一个点P,使得AB，平面AB/

【答案】BD

【分析】对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数；

对于D,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解尸点

的个数.

13

易知，点P在矩形BCG耳内部（含边界）.

对于A,当4=1时，BP=BC+HBB[=BC+“G,即此时Pe线段CG，△MP周长不是定

值，故A错误；

对于B,当〃=1时，BP=ABC+BB=BB,+几B©,故此时P点轨迹为线段4G，而B.CJ/BC,

4G〃平面ABC,则有P到平面A8C的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

对于C,当/1=：0寸，BP=；BC+〃BB],取BC,4G中点分别为。，H,则BP=BQ+//QH,

所以P点轨迹为线段。〃，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，Ay,O,l,

P（0,0,〃），8（0,g,0）,则入尸=8尸=0,-g,〃，AP3P=M〃T)=0，

所以〃=0或〃=1.故，，。均满足，故C错误;

对于D,当〃=；时，BP=2BC+；BB「取BB-CG中点为”,N.BP=BM+2MN，所

以P点轨迹为线段MN.设，因为A—AO,所以AP=--3

/o1Q111

\B=-^-,-,-1,所以q=0n%=—[,此时P与N重合，故D正确.

、乙乙）Q乙L乙

故选：BD.

【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.

14

三、填空题(共0分

13.(f+2)6的展开式中常数项是(用数字作答).

X

【答案】240

【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.

【详解】卜+目

其…二项式华展开通词项：

=Q-x'2-2r(2)r-x-r

=禺(2)'产，

当12-3r=0,解得r=4

的展开式中常数项是：C：-24=C<16=15X16=240.

故答案为：240.

【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握

(“+》)"的展开通项公式&产考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

14.已知一(X)是奇函数，且当x<()时，/(x)=-e".若/(ln2)=8,则〃=.

【答案】-3

【分析】当x>0时—x<0,〃x)=-f(-x)=es代入条件即可得解.

【详解】因为“X)是奇函数，且当x>0时—x<0,〃x)=-f(-x)=ee.

又因为ln2e(0,l),/(ln2)=8,

15

所以e-"n2=8,两边取以e为底的对数得-aln2=31n2,所以—。=3,即。=一3.

【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转

化思想得出答案.

15.设斗鸟为椭圆C：£+£=l的两个焦点，〃为C上一点且在第一象限.若△”尸石为

3620

等腰三角形，则M的坐标为.

【答案】（3,后）

【分析】根据椭圆的定义分别求出|M凰、|g|,设出M的坐标，结合三角形面积可求出M

的坐标.

【详解】由已知可得〃2=36,6=20,，/=〃2—从=16,，。=4,

又M为C上一点且在第一象限,△加石心为等腰三角形，

耳|=|£g|=2c=8.：.\MF2\=4.

设点M的坐标为（修，%）（%>0,%>0）,贝ijS△“恰=gM6卜％=4%,

又x4x>/82-22=4V15,4%=4>/15,解得%=后，

.片।（而）=i，解得%=3（%=-3舍去），

"3620

二例的坐标为b，j团.

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很

好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.

四、双空题（共0分

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格

为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图

形，它们的面积之和¥=240（10?,对折2次共可以得到5dmxl2dm,lOdmx6dm,20dmx3dm

三种规格的图形，它们的面积之和邑=180dm2,以此类推，则对折4次共可以得到不同规

格图形的种数为;如果对折〃次，那么£耳=dm2.

hl

16

,小田、-15（3+〃）

【答案】5720--

【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得S“，再根据错位相减法得结果.

【详解】（1）由对折2次共可以得到5dm*12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图

53

形，所以对着三次的结果有：|xl2,5x6,10x3；20xj,共4种不同规格（单位dm?）：

故对折4次可得到如下规格：15xl2,5=x6,5x3,10x3=,20x3：,共5种不同规格；

4224

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格

如何，其面积成公比为3的等比数列，首项为120（dm2）,第〃次对折后的图形面积为

120x（g）,对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为”+1

种（证明从略），故得猜想S„='gw，

，几。V。120x2120x3120x4,120（n+l）

则；s=120x2120x3120〃120(u+l)

21+22+。“一1

两式作差得：

3=240+120（”+11120(«+1)

I2〃

=36。-母」2。(〃+比36012。(〃+3),

2〃2〃

「240(/1+3)15(〃+3)

因此，5=720-----——^=720——

2〃2〃T

故答案为：5；720-当学.

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法:

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于｛。也｝结构，其中｛4｝是等差数列，出｝是等比数列，用错位相减法求和;

（3）对于m+2｝结构，利用分组求和法；

1，结构，其中m｝是等差数列，公差为则］-

（4）对于

17

利用I裂项相消法求和.

五、解答题(共。分

17.一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,^(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(I)求4；

(2)若近a+b=2c，求sinC.

【答案】⑴A=［；⑵sinC=®^.

34

【分析】(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得：从+°2-/=历，从而可整理出cosA,

根据A«0,万)可求得结果;

(2)［方法一］由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得

—sinC--cosC=旦然后结合辅助角公式可得c=据此由两角和差正余弦公式

222

>/6+\p2

可得sinC=

4

【详解】(1)(sinB-sinC)~=sin25-2sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC,

即：sin23+sin?C-sin2A=sinBsinC,

由正弦定理可得：b2+c2-a2=bc,

.b1^c2-a21

cosA=--------------=—,

2bc2

-jr

(2)［方法一］正弦定理+两角和差正余弦

24

由(1)知，B+C=—,所以由缶+8=2c，

得血sinA+sin(/-C)=2sinC,

整理得近sinC」cosC=立，即siiJc-勺二也.

222I2

又所以C-5=q,即C=*［,

k3J6V6276464

18

7T71V6+V2

则sinC=sin

644

［方法二］正弦定理+方程思想

由8。+人=2。，WsinB=2sinC-5/2sinA=2sinC--，

2

代入(sin8-sinC)?=sin2A-sin8sinC,

wfsinC-—"l=-2sinC--?jsinC,

24

整理得dsin?C-2A/6sinC+l=0,则sinC=.

由sin8=2sinC-逅>0,WsinC>—.

24

所以sinC=®2.

4

［方法三］余弦定理

令£=f.由b=2c-&a,b+c>a,得f>立十.

a3

将b=2c-0a代入加+c2-a2=be中，可得3c2-3应ac+/=o,

即3『-36+1=0,解得f=3'+■或f=3-(舍去).

66

所以f=£=包£=30+#,

asinA6

［方法四］摄影定理

因为2c=0。+人，所以c=—a+-/7=acos45°+fecos600,

22

由射影定理得/。=180°-（45。+60。）=75。，

所以sinC=sin75°=五+限.

4

【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解sinC的值;

方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得sinC的值；

方法三：利用余弦定理求得「=£的值，然后结合正弦定理可得sinC的值；

a

方法四：利用摄影定理求得/C的值，然后由两角和差正余弦公式求解sinC的值；

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同

19

角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定

理的形式或角之间的关系.

18.已知公比大于1的等比数列(«„)满足%+4=20,%=8.

(1)求他“｝的通项公式；

(2)求a1的2a3+…+(-1)〃%”61+】•

o02"+3

【答案】(1)%=2”；(2)-

55

【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确

定数列的通项公式；

(2)首先求得数列｛(-I)”'4为/的通项公式，然后结合等比数列前"项和公式求解其前n项

和即可.

【详解】⑴设等比数列｛婚的公比为%>1),则”+的=20,

a,=a^q=8

整理可得：2q2_5q+2=0,

.q>l,q=2,q=2,

数列的通项公式为：a“=2,2"T=2".

(2)由于：(―1广的用=(_1广，2隈2向=(一1广22向，故：

,,

ata2-a2a3+...+(-l)"'<2„a„+l

=23-25+27-29+...+-22,,+|

1-(-22)5()5

【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟

练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基

础.

19.如图，四棱锥P-A8CD的底面为正方形，底面4BCD.设平面胆。与平面P8C的

交线为/.

20

(1)证明：/I平面PDC-,

(2)已知P£>=A£>=1,。为/上的点，QB=g,求PB与平面QCO所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)显.

3

【分析】(1)利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得4)〃/,利用线面垂直的判定定

理证得4)，平面PDC,从而得到//平面PDC；

(2)根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点QG”,0,1),之后

求得平面Q8的法向量以及向量PB的坐标，求得cos<〃,PB>,即可得到直线必与平面

2。所成角的正弦值.

【详解】(D证明：

在正方形ABCD中，AD//BC,

因为ADU平面PBC,BCu平面PBC,

所以〃平面PBC,

又因为ADu平面PAD,平面上4Z5c平面P8C=/,

所以A。///,

因为在四棱锥尸―ABCD中，底面A3CQ是正方形，所以An，£>C,.J_LOC,

且P£>J_平面ABC。，所以Ar>_LP£),.・./_LR9,

因为CZ)PD=D

所以//平面「DC；

(2)如图建立空间直角坐标系。一肛z,

21

因为=AD=1,则有。(0,0,0),C(0,l,0),A(l,0,0),P(0,0,l),B(l,l,0),

设Q(〃?,0,1),则有OC=(0,1,0),DQ=(m,0,1),PB=(1,1,-1),

因为QB=y[2，所以有4-(0—I)2+(1—0)2=>/2=^>m=1

设平面QCD的法向量为〃二（x,y,z）,

DCn=0y=0

则,a即n

DQn=0x+z=0'

令x=l,则z=—1,所以平面QC。的一个法向量为〃=（1,0,-1）,则

〃PB_________1+0+1_________2限

cos<PB>=

忖网7i2+o2+(-i)2-Vi2+i2+i2>/5x6一3

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦

值，所以直线与平面所成角的正弦值等于|cos<n,PB>1=与

所以直线总与平面QCD所成角的正弦值为".

3

【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线

面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.

20.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,

如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据

检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为

且各件产品是否为不合格品相互独立.

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为了（P）,求一（P）的最大值点%；

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的P。作为。的值.己

22

知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付

25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检

验？

【答案】(1)0.1；(2)(i)490；(ii)应该对余下的产品作检验.

【分析】(1)方法r利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得f(p)=Gw2(l-p)\

之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里

要注意的条件；

(2)方法一：先根据第一问的条件，确定出P=Q1,在解(i)的时候，先求件数对应的期

望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解(ii)的时候，就通过比较两个

期望的大小，得到结果.

【详解】(1)［方法一］:【通性通法】利用导数求最值

20件产品中恰有2件不合格品的概率为"p)=C*p2(l-p)，

因此尸(P)=C；°［2p(l_p)'8_18p2(l-p)”］=2C；w(l-p)”(l-10p).

令/'(P)=O,得P=。」.当pe(0,0.1)时，/'(P)>O；当pe(O.l,l)时，/'(p)<0.

所以〃的最大值点为几=0」；

［方法二］:【最优解】均值不等式

由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C；。p2(i_p尸.

18

f(p)=C}op\\-Pr=-^(9p)(9/7)(l-p)<190r9£+9p+18(l-p)T°=190f_18Y°(

ol81[_20J81V207

当9p=l-p,即p=L可得所求.

(2)由(1)知，p=0.1.

(i)令y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知卜~8(180,0.1),

X=20x2+25r,即X=40+25y.所以EX=E(40+25y)=40+25Ey=490.

(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.

23

【整体点评】(1)方法一：利用导数求最值，是求函数最值的通性通法；

方法二：根据所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本题的最优解.

2

21.已知曲线C：产匕r，。为直线产-不1上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为A,

22

B.

(1)证明：直线A8过定点：

(2)若以E(0,g)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段A8的中点，求四边形AO8E

的面积.

【答案】⑴见详解；(2)3或45历.

【分析】(1)可设B(x2,y2),然后求出A,B两点处的切线方程，比如AL＞：

X+g=X1&-f),又因为30也有类似的形式，从而求出带参数直线A3方程，最后求出它

所过的定点.

(2)由(1)得带参数的直线A8方程和抛物线方程联立，再通过M为线段A8的中点，

EM1A3得出f的值，从而求出M坐标和归间的值，4,4分别为点2E到直线AB的距离,

贝ij4=J产+1,

结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.

【详解】⑴证明：设0色-；)述明，%),则

又因为)'=gx',所以y'=x.则切线DA的斜率为4,

故y+g=占（而一），整理得2tx}-2yt+1=0.

设BQ?,%）,同理得2比2-2%+1=0.

4阳,X),B(X2,y2)都满足直线方程2rx-2y+l=0.

于是直线2fx-2y+l=0过点A,B,而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为

2/x-2y+l=0.即2fx+(—2y+l)=0,

当2x=0,-2y+l=0时等式恒成立.所以直线48恒过定点(0.g).

(2)

［方法一］【最优解：利用公共边结合韦达定理求面积】

设AB的中点为G,4(4乂),3仁,力),则6(七三,巧&),EG=(^^,»+厂51