现代光学(第二版)1-3章课件

第2章 线性系统概论第2章 线性系统概论线性系统的基本概念线性系统分析方法复合系统的传递函数1第2章 线性系统概论2.1

线性系统的基本概念1.

系统及其分类所谓系统，是指一组相互关联的事物构成的总体，如光学系统、通信系统、管理系统和指挥系统等。这样定义的系统可分为物理系统和非物理系统。这里仅讨论物理系统。一个物理系统是这样一种装置：当对其作用一个激励时，它就产生一个响应。其示意图如图2.1-1所示。2第2章 线性系统概论图 2.1-1物理系统示意框图3第2章 线性系统概论2.

线性系统的定义及其算符表示假设一个激励f1(x)作用于某系统产生的响应为g1(x)，4而激励f2(x)产生的响应为g2(x)，f1(x)→g1(x),用符号表示为f2(x)→g2(x)(2.1-1)如果系统满足可加性f1(x)+f2(x)→g1(x)+g2(x)(2.1-2)第2章 线性系统概论和齐次性(均匀性)5c1f1(x)→c1g1(x)(2.1-3)式中：

c1为任意常数。这样的系统称为线性系统。综合式(2.1-2)和式(2.1-3),线性系统的定义可表示为c1f1(x)+c2f2(x)→c1g1(x)+c2g2(x)(2.1-4)第2章 线性系统概论描述系统输入、输出之间关系的数学方程是把一个激励转换为系统的一个响应，这种转换也可以用一个算子表示为g(x)=L｛f(x)｝(2.1-5)对于线性系统，则有c1g1(x)+c2g2(x)=L｛c1f1(x)+c2f2(x)｝(2.1-6)6第2章 线性系统概论3.

线性不变系统如果一个系统当输入函数的位置移动时，输出函数的形状不变，其输出函数位置仅产生相同的移动，则称该系统为位移不变系统，即若L｛f(x)｝=g(x)则L｛f(x－x0)｝=g(x－x0)(2.1-7)式中:

x0为实常数。7第2章 线性系统概论一个系统既是线性的，又是位移不变的，则称为线性位移不变系统，简称为线性不变系统。该系统用算符表示为(2.1-8)式中:

x1和x2为实常数。8第2章 线性系统概论2.2

线性系统分析方法2.2.1

线性系统对基元函数的响应1.

脉冲响应当系统的输入是一个用δ函数表示的脉冲时，其对应的输出称为系统的脉冲响应。如果线性系统对位于x=x0处的输入脉冲δ(x－x0)的响应用h(x；x0)表示，即(2.2-1)那么，在原点处的脉冲输入δ(x)，其输出为(2.2-2)9第2章 线性系统概论一般来说，h(x；x0)和h(x；0)具有不同的函数形式。但对于线性不变系统，由于位移不变性，它对x=x0处的输入脉冲δ(x－x0)的响应可以写成(2.2-3)10第2章 线性系统概论可见，线性不变系统的脉冲响应仅由观察点x与输入作用点x0间的间隔决定，而与单独x、x0的位置无关。因此，线性不变系统的脉冲响应可以简化为(2.2-4a)和(2.2-4b)11第2章 线性系统概论12时，其输2.

复指数函数的响应当线性不变系统的输入为复指数函数出为(2.2-5)式中：

ξ0为一任意实参数。若输入为位移形式(其中x0为实常数)，则由线性性质可得(2.2-6)第2章 线性系统概论由位移不变性得(2.2-7)因此有(2.2-8)函数g(x－x0;

ξ0)是g(x;

ξ0)的位移形式，它们一般是复函数。13第2章 线性系统概论把g(x;

ξ0)表示成复数形式式中：

H(x;

ξ0)和Φ(x;

ξ0)分别为g(x;

ξ0)的振幅和相位函数。并由此得到14第2章 线性系统概论应用式(2.2-8)可得(2.2-9)即(2.2-10)15第2章 线性系统概论因此，输出g(x;

ξ0)应具有的形式为(2.2-11)即对线性不变系统有(2.2-12)16第2章 线性系统概论一般来说，如果一个线性不变系统的特征函数为ψ(x;

ξ0)，当系统的输入也是ψ(x;

ξ0)时，对应的输出为(2.2-13)17第2章 线性系统概论式中：

H(ξ0)为一复比例系数，它表示系统特征函数所对应的输出与该特征函数之比， 与空间位置变量x无关，仅取决于参量ξ0的大小。它可用复数形式表示为式中:

A(ξ0)为复振幅，表示输出函数的衰减或增益；Φ(ξ0)为相位，表示输出函数沿x轴位移量的大小。这样式(2.2-13)可改写为(2.2-14)18第2章 线性系统概论3.

余弦函数的响应当线性不变系统的传递函数H(ξ)是厄米函数，即

H(ξ)=H*(－ξ)时，系统对余弦函数的响应仍为余弦函数。设输入为cos2πξ0x，则输出为19第2章 线性系统概论(2.2-15)20第2章 线性系统概论2.2.2

线性系统的空间域和频率域分析方法1.

空间域分析法空间域分析法的要点是用一个空间变量的函数，即脉冲响应函数h(x)来表征系统的特性。对任一复杂的输入函数

f(x)，用脉冲分割法将其分解为基元函数的线性组合，这些基元可用δ函数表示。各基元响应的同样的线性组合就是

f(x)的响应g(x)。对于一个实际的线性系统，脉冲响应函数h(x)应满足(2.2-16)这一条件要求系统当输入函数有界时，输出函数必须有界。21第2章 线性系统概论设一个复杂的输入函数f(x)可以近似表示为如图2.2-1所示的n个窄脉冲之和。我们考察第i个窄脉冲，该脉冲坐标为xi，宽度为Δxi，高度为f(xi)，该脉冲的面积为f(xi)Δxi。 当Δxi→0时，fi(x)就是强度等于脉冲面积的δ函数，而该δ函数位于x=xi处，即(2.2-17)22第2章 线性系统概论图 2.2-1函数的脉冲分割23第2章 线性系统概论这样，输入函数就可以分解为δ函数的线性组合(2.2-18)当式(2.2-17)所示的输入作用于系统时，由线性系统的齐次性可知其输出gi(x)为脉冲响应的f(xi)Δxi倍，即(2.2-19)若系统为线性不变系统，则24第2章 线性系统概论由叠加原理，f(x)对应的输出g(x)分别为(2.2-21)25第2章 线性系统概论令窄脉冲宽度Δxi→0，脉冲数n→∞，应用h(x)满足的条件，上面式(2.2-21)的极限变为下列积分:(2.2-22)26第2章 线性系统概论以上讨论表明： 对于线性系统，任何复杂激励的响应都是输入函数与脉冲响应函数乘积的积分； 对于线性不变系统，任何复杂激励的响应都是输入函数与脉冲响应函数的卷积，即g(x)=f(x)*h(x)(2.2-23)27第2章 线性系统概论2.

频率域分析法1)

输入为简单的简谐函数一个单一频率的无限波列可表示为(2.2-24)式中:

F(ξ)为复振幅。系统对该输入所产生的输出为同频率的简谐波，即(2.2-25)28第2章 线性系统概论式中:

G(ξ)为输出简谐波的复振幅，且(2.2-26)或(2.2-27)29第2章 线性系统概论2)

输入为周期函数设输入的周期函数f(x)满足狄里赫利条件，则可展开为傅里叶级数(2.2-28)式中:

ξ为函数f(x)的基频。对输入的n次谐波分量fn(x)=cnei2πnξx，对应的输出为(2.2-29)30第2章 线性系统概论则总输出为所有输出分量的叠加，即(2.2-30)显然，对不同的谐波频率nξ，H(nξ)有不同的值，它反映了线性不变系统对不同频率谐波的响应特性，所以，也把传递函数称为频率响应。31第2章 线性系统概论3)

输入为非周期函数如果输入的非周期函数f(x)的傅里叶变换F(ξ)存在，则f(x)可表示为(2.2-31)即分解为频率ξ连续变化的谐波分量之和，相应于频率为ξ的谐波振幅为F(ξ)

dξ。对应输入f(x)的输出为(2.2-32)32第2章 线性系统概论式中:

G(ξ)是输出函数g(x)的频谱(傅里叶变换)，且(2.2-33)或(2.2-34)33第2章 线性系统概论3.

线性不变系统传递函数与脉冲响应的关系对于线性不变系统，由空间域分析的结果有： 当输入其输入函数的频谱为δ函数时，输出就是脉冲响应h(x)；为(2.2-35)由频率域分析可知，输出函数的频谱为(2.2-36)34第2章 线性系统概论对式(2.2-36)进行傅里叶逆变换，得到输出函数(2.2-37)可见，对于线性不变系统，脉冲响应h(x)与传递函数H(ξ)构成了一个傅里叶变换对。35第2章 线性系统概论2.3

复合系统的传递函数361.

串联系统设有两个线性不变系统1和2，其脉冲响应分别为h1(x)和h2(x)，传递函数分别为H1(ξ) 和H2(ξ)，构成图2.3-1所示的串联系统。第2章 线性系统概论图 2.3-1串联复合系统示意图37第2章线性系统概论串联系统的特点是第一个系统的输出就是第二个系统的输入，第二个系统的输出则是复合系统的输出。因此，由空间域分析方法可知，第一个系统的输出为第二个系统的输出为(2.3-1)38第2章 线性系统概论对式(2.3-1)进行傅里叶变换，应用卷积定理得到串联系统输出的频谱为(2.3-2)因此，串联系统的传递函数等于两个独立系统传递函数的乘积。相应的调制传递函数和相位传递函数分别为39第2章 线性系统概论以上结论推广到n个线性不变系统组成的串联系统，其传递函数、调制传递函数和相位传递函数分别为(2.3-3)40第2章 线性系统概论2.

并联系统图2.3-2所示为两个独立的线性不变系统的并联系统，两独立系统的传递函数分别为41第2章 线性系统概论图 2.3-2并联复合系统示意图42第2章 线性系统概论由于G(ξ)=G1(ξ)±G2(ξ)，因此并联复合系统的传递函数为(2.3-4)43第2章 线性系统概论即并联系统的传递函数等于各独立系统传递函数的代数和。如果把并联地方出现的负号包含在各独立系统的传递函数中，则n个独立系统并联后的传递函数为(2.3-5)