电磁场与电磁波第一章矢量分析

1第一章矢量分析2本章内容1.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3

标量场的梯度1.4

矢量场的通量与散度1.5

矢量场的环流与旋度1.6

无旋场与无散场31.标量和矢量矢量的大小或模：单位矢量：标量：一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示：1.1矢量代数矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。

矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示

要注意：单位矢量不一定是常矢量。

矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。

4用坐标分量表示矢量：zxy5（1）矢量的加减法

两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法矢量的减法在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律交换律6（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）——矢量的标积符合交换律q矢量与的夹角7（4）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量与的叉积用坐标分量表示为写成行列式形式为若，则若，则8（5）矢量的混合运算——

分配律——

分配律——

标量三重积——

矢量三重积9

三维空间任意一点的位置可以通过三条正交曲线的交点来确定。1.2

三种常用的正交曲线坐标系

在电磁场与电磁波理论中，三种常用的正交曲线坐标系分别为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。

采用三条正交曲线确定三维空间中任意点位置的坐标系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。101.直角坐标系

位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx11圆柱坐标系（半平面）（圆柱面）（平面）2.圆柱坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量度规系数12体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系（半平面）（圆柱面）（平面）133.球坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量球坐标系（半平面）（圆锥面）（球面）度规系数14体积元面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元154.各坐标系单位矢量之间的关系

直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系？直角坐标与球坐标系ofxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系foqrz单位圆

柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系qq直角坐标与球坐标系的单位矢量之间的关系161.3标量场的梯度如果表示“场”的物理量是标量，则称为标量场。

例如：温度场、电位场、高度场等。如果表示“场”的物理量是矢量，则称为矢量场。

例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变的标量场和矢量场分别表示为：

从数学上看，“场”是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态的标量场和矢量场分别表示为：17标量场的等值面 等值面:

场值相同的点所形成的曲面。等值面方程：标量场取值不同的等值面，形成了等值面族；标量场的等值面互不相交。等值面的特点：意义:

形象直观地描述了场量在空间的分布情况。标量场的等值线(面)2.方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。方向导数的定义：

M0M方向导数的概念

——

的方向余弦。

式中：

3.标量场的梯度（或）意义：梯度大小表示标量场在某点的最大空间变化率，其方向表示标量场空间变化率最大的方向。概念：，其中

取得最大值的方向直角坐标系

称为标量场u

的梯度三种坐标系中梯度的表达式：圆柱坐标系

球坐标系直角坐标系

标量场的梯度在某方向的投影等于标量场沿该方向的方向导数。梯度的重要性质：梯度的基本运算公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）。1.4矢量场的通量与散度

1.矢量场的场线

意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量场线的方程：概念——矢量场线是有向曲线族：其上每一点的切线方向代表该点处矢量场的方向；曲线的密集程度表示该处矢量场的强弱。矢量场线OM

232.矢量场的通量

通量的概念其中：——面积元矢量；——面积元的法向单位矢量；——穿过面积元的通量。

如果曲面S是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对“闭合曲面”的通量为：面积元矢量243.矢量场的散度——称为矢量场的散度。矢量场在空间某点的散度——矢量场通过包含该点的任意小闭合曲面的通量与曲面所围体积之比的极限。球坐标系有关散度的公式：圆柱坐标系直角坐标系三种坐标系中散度的表达式：264.散度定理（高斯公式）体积的剖分VS1S2en2en1S

矢量场对于空间任意闭合曲面的通量，等于矢量场的散度在该闭合曲面所包围体积中的体积分。

散度定理是矢量场的闭合曲面积分与体积分之间的一种变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。1.5矢量场的环流与旋度

涡旋场的概念

例如：水流漩涡处的流速场。

有些矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零，而沿空间闭合路径的积分则不为零。——称为“涡旋场”。28如果矢量场对于任意闭合回路的环流都为零，则称该矢量场为无旋场，又称为保守场。2.环流的概念

矢量场对于闭合曲线C的线积分，称为“矢量场对于闭合曲线C的环流”。即只要矢量场对于某一个闭合曲线的环流不为零，则称该矢量场为有旋场。能够激发有旋场的源称为旋涡源。例如，电流就是磁场的旋涡源。293.矢量场的环流面密度和旋度（）

（1）环流面密度称为矢量场在点M处沿方向

的环流面密度。特性：其值与点M处小曲面的法向有关。

过任意点M作微小曲面

S，它的边界线记为C，曲面的法线方向与边界线的绕向成右手螺旋法则。当

S

0时，极限30旋度的定义：矢量场在M点处的旋度(矢量)的大小为M点处环流面密度的最大值，方向为M点处环流面密度取得最大值的小曲面法向。旋度与环流面密度的关系：（2）矢量场旋度的定义旋度与环流的关系：——斯托克斯定理。它是闭合曲线积分与旋度曲面积分之间的变换关系，在电磁理论中有着广泛应用。31旋度的计算公式:

直角坐标系

圆柱坐标系

球坐标系32有关旋度的公式：矢量场旋度的散度恒等于零标量场梯度的旋度恒等于零331.矢量场按其旋度和散度的分类（1）无旋场性质：

，线积分值与路径无关，是保守场。旋度为0的矢量场，即无旋场可以用标量场的梯度表示为例如：静电场1.6无旋场与无散场34（2）无散场散度为0的矢量场，即性质：无散场可以表示为另一个