2023年高考数学大招12焦点三角形面积公式

大招12焦点三角形面积公式

大招总结

结论1：椭圆=+4=l(a>6>0)的左右焦点分别为耳、E，点P为椭圆上任意一点,

a~b~

AF}PF2=9,则椭圆的焦点三角形的面积S漕卜in6=c|%|=%ang

结论2：双曲线二=1(a>匕>0)的左右焦点分别为£、£,点P为双曲线上异于实

a~h~

轴端点的任一点,匕F、PF°=e,则〃丝=3尸3PK卜皿6=心|=心/

tan一

2

证明结论1：

1.已知桶圆方程1+[=1(“>6>0),焦点为却E，P是椭圆上一点，NHPF,=a,

a~b'

求：耳尸月的面积(用以b、a表示).

解：如图，设尸(x,y),由椭圆的对称性，不妨设P(x,y),由椭圆的对称性，不妨设尸在第一

象限.由余弦定理知：|耳£『=|出『+|「引2-2俨耳|疗7小0$a=4/.①

0A2

由椭圆定义知：|P4|+|Pg|=2a②,则②2-①得忸耳卜忸弱|=耳嬴

故S所=』|•IP用sina=；~~—sina=b"an§.

22l+costz2

证明结论2：

2.设若双曲线方程为A=13>b>°)，片、局分别为它的左右焦点，尸为双曲线上

6rb2

任意一点，则有：

性质1、若居=夕，则为崂=。28弓；特别地，当N£PK=90。时，有S诋=6.

证明：2|P£||PE|cos0=|P£『+|p&2_忻工『

2|「用|PK|cos9=(|P用-|P&、2|P*桃|一闺町

22

2\PF,^PF2\cos0=(2a)+2\PF^PF2\-(2c)

21P用1Pgi(cosO_1)=4(6-c?)

冏附|3S"D=2』=刍

sin~一

2

5psin02sincos=z?2cot

Vr2=1l^ll^l=—z-7??

-22sin:-222

2

易得6=90°时，有5诋=".

典型例题

2

例1.(2020・新课标I)设是双曲线C：X2--1-=1的两个焦点，O为坐标原点,

点P在。上且I。8=2,则PF岛的面积为0

75

A.—B.3C.—D.2

22

解：方法1：由题意可得a=\,b=y/3,c=2,:.\F}F2\=2c=4,

\OP\=2,:.\OP\=g忻闾,.FP与名为直角三角形，

..P£1P5，

2

：.\PFf+\PF2f=4c=\6,

忸用一|P司=2a=2,

附『+|尸闾2―2阀卜|尸闾=4,

叫陷|=6,

•'uP£鸟的面积为5=；忸与卜仍用=3,

故选B.

方法2:由题意可得a=\,b=^3,c=2,

.••忻用=2c=4,;|OP|=2,

.•.QH=千耳引，,PF、6为直角三角形，

b2

根据焦点三角形公式，P£5面积s=~^=3,选B

tan—

2

V-X~,「L

例2.已知点P是椭圆y+j=l上的一点，£,月分别是其左、右焦点，且

/耳PE=30,求上PF?的面积.

解方法1:如图所示，

2尤2

由椭圆2■+一=1，得0=君力=2,c=l；

54

的周长为|「耳|+|尸"+忻闾=勿+2c=2«+2,

在印号中，由余弦定理得:

4c2=归用2+|尸月「_2|产用•忸玛•cos30

=（也|+附『一2①|.席|-2附|.席|母

=4/-（2+©俨/讣|PF2\,

4a2-4c24x5-4xl

・••|产用・陷|=16（2-V3）；

2+732+6

:._£P5的面积为：

5F、PF,=产用•I尸周©1130=gxl6（2—0）xg=4（2—石）=8—4百.

方法2：由焦点三角形面积公式得：S6"=/tang=4tan与=4（2-g）=8-4，i

例3.（2021秋•城闹区校级期中）已知耳、F2是椭圆C：|y+%=1（。＞匕＞0）的两

个焦点，P是椭圆C上的一点，若/耳P6=60,且-Pg的面积为36,则

6=0

A.2B.3C.6D.9

解：方法1：设|阕=%,陶=£

则由椭圆的定义可得：彳+弓=2。(1)

在A£P片中ZF}PF2=60,

所以片+1_2他•cosGO=4C2（2）,

222

由（2）2-（）得3//2=4a-4c=4/?

即小2=从

所以SFlpF2=^2-sin60=义与=36、

:.h=3.

故选B.

方法2：由焦点三角形面积公式得：S=Z?2tan|=Z?2tan^-=3V3=>/?=3,故选B.

厂y

例4.(2021秋•连城县校级期中)已知£,鸟是椭圆c：/+宣=1(。>方>0)的两个

焦点，P为椭圆c上一点，且N贴『浮若PFE的面积为9板则b=()

A.9B.3C.4D.8

解：方法1：设|P6|=闻尸闾=",则m+n=2a,

(2c)2=m2+n2—2小〃cos=(m+n)2—mn,

4b2=mn.

又|mnsin=9>j3,2Z?2x=9>/3,解得b=3.

故选B.

2Q2]20

方法2：由焦点三角形面积公式得：SFiPF=/?tan-=/;tan-^-=9>/3=>Z?=3,故选

B.

Xy

例5.（2020.新课标III）设双曲线C：/一万=1（。>04>0）的左、右焦点分别为耳，鸟,

离心率为小.P是C上一点，且耳P16P.若-PFF?的面积为4,则。=（）

A.1B.2C.4D.8

（解）由题意，设PF,=m,PF{=n,可得

m—n—2a,—mn=4,/T?2+n2=4c2,e=——\[5,

2a

可得4c2=16+4。2,可得5a2=4+/,

解得a=\.

故选A.

b2b2

方法2:由焦点三角形面积公式得：S2F,=一万=——=4=>^

90

tan-tan-一

22

e=—=\[5

a,=a=1

/?2=4

故选A.

自我检测

1.（2009•上海）已知耳、鸟是椭圆C：点+%=l（a>人>0）的两个焦点，P为椭圆

C上一点，且P£1PR.若P»2的面积为9,则b=

X2y2

【解】方法1：•••£、片是椭圆c：—+^=1（61>^>0）的两个焦点，p为椭圆c

a'b

上一点,且。£，尸耳..\忸闻+|尸闻=2°,|尸娟2+忸居『=4°2,；|尸用忸闾=9,

.-.（|PF；|+|Pf；|）2=4c2+2\PF^PF^=Arcr,：.36=4（合一。2）=4吐."=3.

故答案为3.

?。？90

方法2：由焦点三角形面积公式得：SFiPF=/?-tan-=/?-tan—=9^/?=3

X2y2

2.（2021秋,西城区期末）已知椭圆/+万=1（。>〃>0）的两个焦点分别为F、,F”

|耳周=2c（c>0）若点P在椭圆上，且/耳2鸟=90,则点P到X轴的距离为

（）

b1b2c2c2

A.一B.-C.一D.—

acab

2

c,2,290।i\\b

【解】由焦点三角形面积公式得：SFPF=/?-tan-=Z?-tan—=c-»=>=—故

22c

选B.、

x2y2

3.（2021春•厦门期末）已知点P是椭圆「：/+万=1（。>〃>0）上的一点,

枢

耳、F?为椭圆的左、右焦点，若/耳P8=60,且PFK的面积为—a2,则椭圆

的离心率是-------

【解】方法1：由/耳尸尸2=60,：P耳丹的面积为7a2,可得

刎HP&SSPK邛陶陷卜邪2.

・・•阿卜熙|=诡

再根据椭圆的定义可得|产用+|尸周=2。.再利用余弦定理可得

4c2=\PFf+\PF2f-2\PFt\\PF2\-COS60=（|P娼+忸引『一32大.PQ=4/一/

求得a-2c,e——=—.故答案为：—.

a22

方法2:由焦点三角形面积公式得：

3a

q.RPF吟="a24\a22

尢y

4.(2021秋•龙山县校级期末)已知点P(3,4)是椭圆相+万=l(a>/?>0)上的一点,

耳、鸟是椭圆的两焦点，若试求：

(1)椭圆方程；

⑵.Pg的面积.

【解】(1)方法1：令JF；(-c,0),(c,0),•/PFtlPF2,kPFi-kPF2=-l,

22

44工y1

即—-=-l,解得c=5,/.椭圆方程为—+^^T=l.

3+c3-ca-a--25

；点p(3,4)在椭圆上，：.3+一^—=1,解得a2=45,或a2=5,

a-ci—25

22

又a>c,:,2a-=u5舍去，故所求椭圆方程为—x+£y-=1.

4520

(2)P点纵坐标的值即为£月边上的高,；.S"IF2=；|KK|x4=gxl0x4=20.

方法2:由焦点三角形面积公式得：S=/?2tan^=20tan^-=20(建议常规法书写

过程)

5.已知6、K为双曲线C:x2-y2=\的左、右焦点，点尸在。上,

/耳Pg=60,则附|・熙|=()

A.2B.4C,6D,8

【解】方法1：由双曲线方程得a=l,b=l,c=&,

由余弦定理得

〜耳巡叩粤邛宣…=(附|一|产居『+2陷||P闾一忻

21P用|尸周2附|附|

1_22+2忸娟|「石|—（2后）2

.•.附.阀卜4.

2=21P用俨周

方法2:由焦点三角形面积公式得：

5)照=当=」^=百=3归耳||「国金60=：|P制|尸尸2|孝，|尸4H尸司=生

tan-tan

22

故选B.

x2y21

6.(2019■新课标III)已知F是双曲线-=\的一个焦点，点尸在C上,

O为坐标原点.若IOP/=|。耳，则一OP尸的面积为()

3579

A.—B.—C.—D.—

2222

x2y2.

【解】方法1：如图，不妨设F为双曲线C:——-=1的右焦点，P为第一象限

45

点.

由双曲线方程可得，/=4,/=5,贝IJ。=炉工=3,则以O为圆心，以3为半径的

220户9=9仅加5)

圆的方程为X+V=9.联立fy2解得P——.

-----=1I3J；

1457)

故选B.

方法2:设左焦点为6,连接PF「由|04=|0同=|0用易知ZFPFt=90由焦

b2515

点二角形面积公式得：SFpF=万=77T-=5=>SQ=~FPF~~,故选B.

90PF212

tan-tan

22

7.（1994.全国）设K和F2为双曲线亍一＞2=1的两个焦点点p在双曲线上且

满足々Pg=90,则A"尸2的面积是0

A.1B.-C.2D.＞/5

2

【解】方法1：设|尸耳|=%,|。闾=丁,。＞丁）根据双曲线性质可知x-y=4,

2222

•.•/4/耳=90,/.x+/=20/.2xy=x+y-（x-y）=4...^=2

・•.KP5的面积为g呼=1故选A.

。护1.

方法2:由焦点三角形面积公式得:S6"=一石=―彳=1故选A.

tan-tan

22

22

8.已知耳、F2为双曲线C:x-y=\的左、右焦点，点尸在。上,

/月P居=60,则p到x轴的距离为（）

c.V3D.V6

A'~TB'V

【解】方法i：不妨设点。（不，为）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得

(Q^\

=ex-a=y/2x-1.

PF、=€X。­--=Q+e/---()0

[c)Lc)

由仝港理徨cos/“尸-陷『+陷「小球

由余弦V里将COSZF}PF2-2附归段即

(l+V^x。)4-^>/2X0—1j—(2^2)-

cos60，解得x：=|，所以火=*T=|，

2(1+A/2X0j^V2x0-1j

故P到1轴的距离为|y0|=y-

故选B.

方法2:由焦点三角形面积公式得：

S毋然=心不=一需=6=小尻|=啦・|%|=|%|=乎故选B.

tan—tan——

22

22

XV厂厂

9.（2001•全国）双曲线--77=1的两个焦点为耳、鸟，点P在双曲线上，若

910

PFJ’P4则点p到I轴的距离为一

【解】方法1：设点P（x,y）,耳（一5,0）、5（5,0）,尸£_L尸片，

2

.­.2ZO.ZZO="I„-.X+/=25（1）,

x+5x—5

x2y2.25-y-.162

又5一记二1，k一记=1Q2=7小点16门到1轴的距离是T16

方法2:由焦点三角形面积公式得：

S=-^=—^=16=「闻=5-闾=＞尻|=£

tan-tan

22

广广x-y,

10.（2003.北京）如图，£,月分别为椭圆/+7=1的左、右焦点，点P在椭圆上.

POF?是面积为V3的正三角形，则b2的值是一

【解】方法1：；AP。月是面积为6的正三角形,••.5=曰仔工「=唐,|尸段=2.

：.c=2,:.Pg为直角三角形，：.a=6+1,.,方=/一。2=26,故答案为26

方法2：连接尸耳，由|。尸|=|0月=|0耳|易知ZFPF.=90由焦点三角形面积公式

>2>2

=

得：SF、PF=~0TT-=250PFi=2>/3=>/>■=2^3

tan—tan-

22

Xv

11.（2019•新课标II）已知6，鸟是椭圆°：/+6=1（。>方>0）的两个焦点，尸为

C上的点，O为坐标原点.

⑴若-PO月为等边三角形，求C的离心率；

⑵如果存在点P,使得且-F质的面积等于16,求力的值和a的取

值范围.

【解】⑴方法1：连接PP\,由-PO为为等边三角形可知在-6空中,

/耳「6=90,|PE|=G|PK|=V^C,于是2a=|产用+|尸闯=（百+l）c,故曲线C的

离心率e=—=5/3—1.

a

方法2：连接PF\,由\OF\=\OF\=\OF^易知/耳。丹=90由焦点三角形面积公

式得：SK明=

/72tang=Z?2tan^-=cJy）=c•曰c=〃-a2-c2=>e=6-l（建议常规

法书写过程）

⑵方法1:由题意可知，满足条件的点。（演丫）存在，当且仅当：l|y|-2c=16,

2222

2・上=T，1+2=L即小|=160）/+炉=。2,（2），+卷=1,（3）

x+cx-cab11ab

2b42162

由（2）（3）及/=从+02得r=­,又由（1）知r=—,故t>=4,

C厂

2

由⑵⑶得所以。2万从而a2=b2+c22h2=32故4亚，

当b=4,a..4y/2时，存在满足条件的点P,所以b=4,a的取值范围为［40,+8）.

方法2：由焦点三角形面积公式得：SFiPF=b-tan-=b-tan-=\6^b=4（建议常规

法书写过程）

3202】•全国高三专题练习）椭圆而+莉甘的焦点为6风椭圆上的点「满

足/耳尸鸟=60,则-RPF2的面积是（）

64691g166

64

——C.——D.

【解】方法1：设|「£|=%,|尸周=乂则x+y=20,又

尤2+^—2济cos60=山鸟「=4°2=4x36,

所以

222

(x+y)-(x+y-xy)256c1,1256g64G

xy=------------------------------=-----,5=—AysinoO=-x-----x——=--------,

33aPPP22323

故选A.

r,26064百

方法2：由焦点三角形面积公式得：SF1PF=b-tan-=64tan-=-y-,故选A.

13.（2021•河南高二月考（理））耳、F?的双曲线—=1的两焦点，P在双曲线上,

/耳P6=90,则PFK的面积是（）

111—而

A.11B.—C.VHD,--

22

22

XV1

【解）方法1：双曲线—__=的。=5,。=6,

不妨设P£>PJ则W-P鸟=2。=10,耳其=：¥+♦感而£鸟=2C=12,

2

得PF；+PF^（PF]-PF2）+2PFt-PF2^\44,PF}PF2=22,

,-.S=^PFt-PF2=il,

£尸外的面积11,故选A.

cb211-

方法2:由焦点三角形面积公式得：S*=—万=——=11故选A.

.090

tan-tan——

22

14.（2021•攀枝花市第十五中学校高二期中（理））设£，与为椭圆1+>2=1的两个

焦点，点尸在此椭圆上，且PF}PF2=-2,则PF}F2的面积为（）

A.1B.V2C.GD.2