第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t,u(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s

，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。§4.1引言以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。本章内容及学习方法本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统稳定性问题。注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。拉氏变换方法是求解常系数线性方程的工具。其特点表现在：求解的步骤得到简化，同时可以给出微分方程的特解和齐次解，且初始条件自动地包含在变换式里。拉氏变换分别将“微分”与“积分”运算转换为“乘法”和“除法”运算，也即把积分微分方程转换为代数方程。指数函数，超越函数以及有不连续点的函数，经拉氏变换可转换为简单的初等函数。拉氏变换的时域中两函数的卷积运算转换为变换域的乘法运算。利用系统函数的零点，极点分布可以简明直观的表达系统性能的许多规律。§4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域从傅里叶变换到拉普拉斯变换从算子符号法的概念说明拉式变换的定义拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。则2．拉氏逆变换定义双边拉普拉斯变换对F(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]>

，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。单边拉氏变换简记为F(s)=£

[f(t)]

f(t)=£-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)三、拉式变换的收敛域只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的单边拉普拉斯变换存在。

使f(t)拉氏变换存在的取值范围称为F(s)的收敛域。

下面举例说明F(s)收敛域的问题。例

因果信号f1(t)=e

t

u(t)，求拉氏变换。解可见，对于因果信号，仅当Re[s]=

>

时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域收敛边界例反因果信号f2(t)=etu(-t)，求拉氏变换。解可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=

<

时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。例双边信号求其拉普拉斯变换。

求其拉普拉斯变换。解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)仅当

>

时，其收敛域为

<Re[s]<

的一个带状区域，如图所示。例

求下列信号的双边拉普拉斯变换。

f1(t)=e-3tu(t)+e-2tu(t)

f2(t)=–e-3tu(–t)–e-2tu

(–t)

f3(t)=e-3tu(t)–e-2tu(–t)解Re[s]=

>–2Re[s]=

<–3–3<<–2可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。四、一些常用函数的拉普拉斯变换1、u(t)或1←→1/s，

>02、指数函数e-at←→

>-acos

0t=(ej

0t+e-j

0t)/2←→sin

0t=(ej

0t–e-j

0t)/2j←→3、n是正整数时，tn5、周期信号fT(t)特例：

T(t)←→1/(1–e-sT)4、冲激函数：

(t)←→1§4.3拉普拉斯变换的基本性质线性

原函数微分原函数积分

延时（时域平移）s域平移

尺度变换初值

终值卷积

对s域微分对s域积分一．线性已知则同理例题：二．原函数微分推广：证明：电感元件的s域模型应用原函数微分性质设三．原函数的积分证明：①②①②电容元件的s域模型四．延时（时域平移）证明：例题已知例题4-3-2五．s域平移证明：例六．尺度变换时移和尺度变换都有时:证明：七．初值初值定理证明由原函数微分定理可知例

即单位阶跃信号的初始值为1。例终值存在的条件:八．终值例如证明：根据初值定理证明时得到的公式九．卷积时域卷积定理频域卷积定理证明：交换积分次序十．对s微分十一．对s积分两边对s积分：交换积分次序:证明：§4.4拉普拉斯逆变换部分分式分解法求拉氏逆变换用留数定理求逆变换一．部分分式分解ai,bi为实数，m,n为正整数。分解零点极点根据极点的不同，分为三种情况

1.第一种情况：单阶实数极点2.第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重根存在第一种情况：单阶实数极点(1)找极点(2)展成部分分式求系数如何求系数k1,k2,k3``````？(3)逆变换第二种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在

求f(t)例4-10F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法求下示函数F(s)的逆变换f(t)：解：求得例4-113.第三种情况：有重根存在如何求k2?如何求k2?设法使部分分式只保留k2，其他分式为0逆变换一般情况求k11，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式F(s)两种特殊情况非真分式——

化为真分式＋多项式1.非真分式——真分式＋多项式作长除法2.含e-s的非有理式二.用留数定理求逆变换（围线积分法）拉普拉斯逆变换表达式0σ1σjω∞应用留数定理设极点s=pi处的留数为ri，并设F(s)est在围线内共有n个极点，则若pi为一阶极点，则若pi为k阶极点，则§4.5.用拉氏变换法分析电路、s域元件模型列s域方程（可以从两方面入手）

列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。求解s域方程。，得到时域解答。例4-13（4）求反变换求采用0-系统采用0+系统两种方法结果一致。使用0-系统使分析各过程简化。(3)对微分方程两边取拉氏变换采用0-系统采用0+系统(4)原方程取拉氏变换例4-14(1)(2)(3)列方程解：极点故

逆变换设则波形第一种情况：阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。第二种情况：引入符号所以第三种情况：第四种情况：波形利用元件的s域模型分析电路1.电路元件的s域模型

·电阻元件的s域模型·电感元件的s域模型利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：

·电容元件的s域模型电流源形式：线性稳态电路分析的各种方法都适用。列写节点方程时，使用电流源方式列写回路方程时，使用电压源方式3.求响应的步骤

把网络中的每个元件都用它的s域模型代替；把信号源直接写出变换式；对电路模型采用KVL和KCL分析；找到所需求解的变换式，解s域方程拉氏反变换求v(t)或i(t)。2.电路定理的推广

例4-15列s域方程:结果同例4-131.定义§4.6系统函数(网络函数)H(s)系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比2.H(s)的几种情况策动点函数：激励与响应在同一端口时策动点导纳策动点阻抗转移导纳转移阻抗电压比电流比转移函数：激励和响应不在同一端口4.应用：求系统的响应3．求H(s)的方法利用网络的s域元件模型图，列s域方程→微分方程两端取拉氏变换→例题(1)(2)(3)

列方程解：如图电路，初始状态为0，t=0时开关S闭合，求电流i(t)