2023学年完整公开课版基本不等式2

第三章不等式3.4基本不等式

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。2002年国际数学家大会会标三国时期吴国的数学家赵爽ADBCEFGHab

图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有形的角度数的角度

当a=b时

a2+b2－2ab=(a－b)2=0当且仅当a=b时等号成立一.重要不等式:替换后得到：即：即：当且仅当a=b时等号成立.在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.二.基本不等式:你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab三.常用不等式:当且仅当a=b时，等号成立1.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x

，CD=y

，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.此时x=y=10.x=yABDC若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.1.(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x

，CD=y

，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym2得

xy≤81当且仅当x=y时，等号成立

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；结论1：两个正数积为定值，则和有最小值结论2：两个正数和为定值，则积有最大值①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).14(简记：积定和最小)(简记：和定积最大)四.最值问题:7.若正数a,b满足ab=a+b+3，

(1)求ab的取值范围；

(2)求a+b的取值范围.＞2.（2009山东理12T)设满足约束条件若目标函数

（0，>0）的最大值为12，则的最小值为（）A.B.C.D.4xy02-22(4,6)A作业(2)求函数f(x)=x

(4-x)(0<x<4)的最大值___.(3)若x>-1，则函数的最小值___.9已知：0＜x＜，求函数y=x（1-3x）的最大值.4.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元.那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站______千米处.答案:5

某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800因此xy=1600由基本不等式与不等式的性质,可得即

当x=y,即x=y=40时,等号成立所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.变式1：x>0,y>0

且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。解法一：由题意得2x+8y=xy变式1：x>0,y>0

且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。解法二：由题意得3.已知x＞0，y＞0，若不等式m2+6m-x-y＜0恒成立，则实数m的取值范围是___________.【变式备选】（1）若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是_______．【解析】令xy=t2（t＞0）,可得注意到t＞0，解得故xy的最小值为18.答案：18【典例】（2012·浙江高考）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是()【规范解答】

由x+3y=5xy可得当且仅当x=1,时取等号，故3x+4y的最小值是5.2.（2013·太原模拟）函数的最小值为()(A)6(B)7(C)8(D)9【解析】选B.当且仅当x=1时取等号.1.已知正整数a,b满足4a+b=30，则使得取得最小值的有序数对（a,b）是()(A)（5，10）(B)（6，6）(C)（7，2）(D)（4，14）【解析】选A.依题意得当且仅当时取最小值，即b=2a且4a+b=30，即a=5,b=10时取等号.∴使得取得最小值的有序数对（a,b）是（5，10）.故选A.3.已知x＞0，y＞0，若不等式m2+6m-x-y＜0恒成立，则实数m的取值范围是___________.【