方程的根与函数的零点-教学设计

《方程的根与函数的零点》教学设计一、设计理念美国数学家哈尔莫斯指出：“学习数学的唯一方法是做数学”．每一个学生都希望自己是一个发现者、研究者和探索者．让学生以研究者身份，通过做数学，课堂将更开放，也会更精彩．构建动态生成的课堂必须把学生置于教学的出发点和核心地位，让学生充分地开展自主学习，课堂才能焕发出勃勃生机，呈现出一道优美、流动的风景线，才能使课堂真正为学生的发展服务．在课堂上要及时合理地捕捉学生的研究动态，并在动态中促使学习内容不断生成，知识不断建构并得以内化，使数学教学成为激情与智慧综合的生成过程的课堂教学，让它多一些真实的美丽，多一些有效的精彩．二、教材分析1.位置：《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课．2.地位：函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带．因此函数与方程在高一乃至整个高中数学教学中占有非常重要的地位．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．3.作用：本课内容可以看作是函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次扩充．给出函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想指导之下，从这个角度看本节课应承载建立函数与方程数学思想的任务．本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定依据，不仅为“用二分法求方程的近似解”这一“函数的应用”做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要的思想方法之一——“函数与方程思想”的理论基础，起到了承前起后的作用．三、学情分析本节对“方程的根与函数的零点”的认识，是从初中一次、二次函数与其相应的方程关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究，其学习平台是学生已经掌握了函数的概念、函数的性质以及基本初等函数等相关知识．通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．另一方面，高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证．四、教学目标1.知识与技能目标：了解函数零点的概念，理解函数零点与方程根的联系，掌握零点存在的判定方法，能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间．2.过程与方法目标：遵循长春八中“五步导学法”，经历知识的探究发现和生成过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力．注重3.情感态度价值观目标：体会函数与方程的“形”与“数”、“动”与“静”、“整体”与“局部”的内在联系．体验探寻规律的快乐．五、教学重点和难点根据以上分析，结合新课程的理念，特制订如下的教学目标和教学重点与难点:1.教学重点:了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理．2.教学难点:对零点存在性定理的准确理解．3.思维临界点:函数在某区间上零点存在且唯一的条件．4.兴趣拓展点:“中外历史上的方程求解”；用二分法求方程的近似解．六、教学方法分析七、学法指导通过本节课的教学，要强化学生带笔阅读和科学梳理知识的习惯．通过多种手段，充分调动学生动手做、动脑想、动口说，引导他们自己分析讨论得出规律，鼓励他们合作交流、发扬协作精神．既可以增加学生主动参与的机会，又可以增强主动的参与意识，还教给了学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体．八、教学过程(一)创设情境明确目标(抛砖引玉)1.情境导入(山穷水尽)方程是否有实根？为什么？【设计意图】将学生置于困境，令其对上述问题一筹莫展，从而激活学生的思维．进而引导学生将复杂的问题简单化，从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移，渗透从特殊到一般的思维方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯．2.明确目标(提纲挈领)(1)方程的根与相应函数图象的关系如何？(2)函数零点是如何定义的？(3)方程的根与函数零点的关系怎样？(4)方程的根、函数的零点、函数图象与轴的交点三者关系如何？(5)上述三者的关系对你在“求函数的零点”问题方面有何启发？【设计意图】将知识点细化为清晰的问题，使学生阅读和学习的过程问题化，为学生下一步自主学习指定方向，让学生带着问题有目标地阅读和学习，使学生读有所思，思有所获，获而生疑，疑释有悟，逐步深入．(二)自主学习个性指导(追根溯源)自主阅读教材P86～87“探究”之前部分，并对上述5个问题的解答进行批注或标注．气温()时间O-4812【设计意图】注重培养学生气温()时间O-4812(三)合作释疑互助研讨(各显神通)1.情境再设(顺藤摸瓜)如图是长春某天从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用至少两种不同的方法将图形补充成完整的函数图象．这段时间内，是否一定有某时刻的气温为？为什么？【设计意图】通过类比探索零点存在性定理．让教学的素材在学生的实践中生成，让学生拥有充分的情感体验，通过体验形成经验。2.概括定理(大功告成)如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．【设计意图】归纳概括得出“零点存在性定理”．3.理解定理(抽丝剥茧)(1)若定理中函数的图象不是连续不断的曲线，结论还成立吗？(2)若定理中，函数在区间上一定没有零点吗？(3)若在定理条件下，函数在区间上只能有一个零点吗？(4)(5)若在区间上图象连续不断的函数在上有且仅有一个零点，是否一定有?(6)【设计意图】使学生准确理解零点存在性定理．(四)精心点拨启发引导(柳暗花明)【设计意图】采取个性与共性相结合的方式对学生的疑惑进行启发引导．例1已知函数．试回答下列问题：(1)该函数是否存在零点？(2)你能否确定零点所在的区间？请各自选择，并说明你的选择依据．(3)该函数零点是唯一的吗？为什么？【设计意图】通过例题分析，学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合函数性质，判断零点个数的方法．另外，本题可以使学生意识对零点的区间是不唯一的，为下一节二分法求方程的近似解奠定基础．(五)巩固训练整理提高(牛刀小试)【设计意图】梯度式训练，难度逐步升高，使学生对所学内容在基础训练中巩固，在变式训练中深入，在拓展训练中升华，在高考实战中增强自信．[一]基础巩固(稳扎稳打)【设计意图】检测学生对基本教学目标的达成情况．1.函数的零点为()A.B.C.D.【设计意图】通过实例区分概念，函数零点是具体的自变量的取值，而不是一个点，强化对三个等价关系的理解．2.函数的零点为．【设计意图】巩固概念，进一步明确求函数零点，即求相应方程的实数根．[二]变式提高(乘胜追击)【设计意图】在思辨中深化对知识的理解，巩固所学，形成方法或思维模式．3.若函数没有零点，则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.若函数有且仅有一个零点，则实数=．【设计意图】学生明确函数零点的个数，即是相应方程的不等实数根的个数．[三]拓展探究(触类旁通)【设计意图】延展知识的深度和广度，提高能力，升华思维．5.若函数的零点为和，则满足的的取值范围是()A. B.C. D.[四]迎接挑战(势如破竹)6.(2010天津理数)函数的零点所在的一个区间是()A.B.C.D.7.(2010福建理数)函数的零点个数为()A.0 B.1 C.【设计意图】让学生在实战中检验自己，增强信心.(六)课堂总结思悟升华(豁然开朗)请学生归纳概括本节课在知识、能力、数学的思想、方法以及情感感受方面的收获，教师适当点评或补充．【设计意图】使学生对所学的知识有个比较全面的认识，有利于学生知识网络的构建，在培养概括能力的同时，也能对课堂的教学效果进行反馈．(七)课后回顾(再接再厉)1.整理作业：知识梳理，工具整理，思想方法总结．【设计意图】放在作业的第一位，强调对知识个性梳理的重要性，面向全体学生．2.书面作业：(1)教材P88练习2(1)(4)；P92习题3.1A组【设计意图】面向全体学生，巩固所学知识，形成技能．3.自主阅读作业：(1)认真阅读本节教材；(2)阅读教材P91－92“中外历史上的方程求解”；(3)阅读并预习3.1【设计意图】使学生对方程的根与函数的零点相关问题有进一步地认识，培养其独立思考和自主探索的习惯，激发其学习数学的兴趣，从某种程度上来说也可以达到分层教学的目的．九、板书设计【设计意图】让学生对本节课的教学内容有个整体的把握．十、教后反思(一)自觉设计比较满意的方面1.诗对并举、文理兼修——数学课堂放异彩用对联开启课堂，既概括了第一单元函数与方程的学习内容，又指出了这一单元两个课题的精华所在：上联“零点非点可使函数值为零，连续不断图象两端值异号，数形结合看图象能知函数有零点”，既指明了零点是什么，也强调了零点并不是点，同时道出了零点存在性定理的关键性条件：连续和两端点函数值异号，还渗透了数学结合的数学思想。下联：“零点即根能让方程恒成立，一分为二区间中点值正负，无限逼近二分法可求方程近似根”，既指明了零点与根的关系，也概括出用“二分法”求方程近似解的做法就是将区间一分为二，通过判断区间中点函数值的正负进一步缩小零点所在区间，同时也渗透了无限逼近的数学思想。再者用成语串联教学环节，既激发了学生的学习兴趣,也给学生创造一种思维的意境，给学生以美的感受，又给学生留下了兴趣拓展的空间。2.动手实践、手脑并用——数学课堂闪灵光在“顺藤摸瓜”环节中，设计了图形连接问题，这个问题起点低，直观性强，简单而内涵丰富，且结论开放，符合高中学生喜欢动手的特点，适合不同层次学生进行探究。让教学的素材在学生的实践中生成，让学生拥有充分的情感体验，学生通过体验形成经验，更好地激发学生的探究欲，在尝试画图和反复的思索中，—种、两种、三种……没有预设的连接方法接踵而至.不仅在动态生成中很自然地“更新”了学习方式：让学生从“听”数学的学习方式，改变成在教师的指导下“做”数学,研究数学。而且学生在画图过程中，不拘一格大胆思考，无穷的遐想和个性化理解给不同的学生带来了不同的收获，使课堂出现了“生成”的精彩。也让我深刻地体会到“学生的精彩，才是课堂教学真正的精彩！”3.巩固练习、循序渐进——梯度训练添亮色学生的认知过程是螺旋式上升的过程，教师的教学设计应有分明的层次，分段进行，又环环相扣，使学生在接受知识、探究问题的过程中能有一个逐步积累深入、螺旋上升的发展。习题的处理，也应改变传统的讲授、机械训练为主的单一教学模式，实行“螺旋上升、分步到位”的教学原则，为学生从事数学活动提供足够的时间与空间，以丰富学生的学习方式、改进他们的学习方法，让具有不同潜能的学生学习不同层次的数学。本课的练习设计使学生对所学知识在基础训练中得以巩固，能力在变式训练中得以提高，思维在拓展训练中得以升华，信心在迎接挑战的训练中得以增强。4.三不原则、自主探究——五步导学润光泽长春八中五步导学法课堂教学模式，要求教师通过下放学习时间，实现凡是学生能够自己完成的事，教师绝不替代，凡是属于学生自由学习的时间，老师绝不占用。本课设计，在零点的概念、三个等价关系等知识的获取上，学生有机会自学课文、有机会独立思考、也有机会合作解决困难。让学生拥有自由阅读课文的权利、独立思考问题的权利、自由质疑和相互释疑的权利、获得教师个性化指导的与激励的权利、自我整理知识的权利。(二)自叹授课比较失意的方面1.师唱生随、喧宾夺主——教师观念需解放设计教学的指导思想很好，设计意图也很好，学生是课堂教学的主体，是有生命、有情感、有体验的鲜活个体，是课堂教学真正的主人，学生的精彩才是课堂教学真正的精彩。新时期的教育不仅要培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生发现问题和提出问题的创新观念更重要。而本节课教师却仍然难以摆脱传统教学的思想束缚，从某种程度上来讲，仍然是课堂上唯一的发问者和施令员，还是剥夺了学生发现和提出问题的权力，也未能有效地强化学生的创新意识。2.学情未明、操作不当——学生思维遭束缚从教学过程可见，本节课通过设置“问题串”以“问答”式引导学生进行探究，效果较好。但是由于对学情估计不足，怕大胆放手会造成预设不能完成，影响进度，故而对学生提示过多，干涉太多。其实，对高中学生来说,数学学习是一个充满价值判断的过程，最有效的是有引导又不受干扰的思考，属于学生自己的独立思考。3.水平有限、体会不深——深邃思想被埋没