函数的零点与方程的解教学设计 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的零点与方程的解教学设计课题：第四章第5节第一课时《函数的零点与方程的解》课型：新授课教者：王祥兵教材：人教a版2019《普通高中教科书.数学.必修第一册§4.5.1节》班级：高一（）班时间：一、课标分析二、学习目标三、重点难点重点：难点：四、核心素养1五、教学准备希沃白板、课件六、教学流程目标展示->复习引入->新知探索->例题讲解->课堂检测->归纳总结->作业布置教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图时间分配(一)目标展示课标分析、学习目标、重点难点及核心素养展示教师引导学习熟悉本节学习要求.让学生明确本节课学习要求.2min(二)复习引入思考：创设情景，导入新知师：（投影）观察图片你看到了什么？师：（显示第二张图片）你又看到了什么？师追问：还能看到什么？师：那我们换个角度（图片逆时针旋转90°）教师通过两组图片让学生观察，第一组能看到少女和老妇人，第二组可以看到青蛙和马头（旋转之后更便于看出来）让学生明白要善于从不同的角度去观察、分析和研究问题。从不同的视角观察，会得到不同的发现。为本节课需要从方程与函数两个角度思考问题这一核心教学思想打下基础。2min(三)新知探索我们再来看两个问题问题1：求方程的解；问题2：画出函数的图像，并求出函数的零点。思考：问题1和问题2有什么关系？函数的零点：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标；问题3：如何求方程的实数解的个数？分析：我们要判断一个一元二次方程是否有实数根，我们除了可以用根的判别式，还可以利用二次函数的图像与x轴的交点情况去判断。但是像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢?探究1：观察上面的图像，可知：(1).在区间[0，2]上有零点__;f(0)=__，f(2)=__,f(0)·f(2)__0(<或>)在区间[3,5]上有零点__;f(3)=__，f(5)=__,f(3)·f(5)__0(<或>)思考:1.由上可知函数存在零点，那么函数的图象与x轴有什么关系呢?2.如何利用函数值的符号变化规律来刻画上述的关系呢?3.你能用自己的语言来描述出判断函数在某个区间(a，b)上存在零点的方法了吗?根据学生的回答进行追问若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，则函数(x)在区间(a,b)内是否一定有零点呢?函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．概念深化探究：若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有且有f(a)·f(b)<0，则函数(x)在区间(a,b)内是否只有一个零点?2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)>0，则函数(x)在区间(a,b)内有零点吗?让同学们自行完成问题1和问题2，并找个别同学进行展示答案，另找同学进行补充。老师在此基础上提出函数零点的概念。注意：零点不是点。问题3的引出，同学们无法用现有知识来解决这个问题，因此教师可以引导学生从函数图像出发，来研究方程的解的个数。让同学们根据二次函数图像，口述探究的填空。通过二次函数的图像，让同学分组合作探究3个思考题，并分组展示答案。前面两个思考题相对简单，第三个可能会回答的不够完善，在不完善的答案的基础上，教师进一步增加追问，从而补充完善同学们的答案。引出函数零点存在定理。教师板书零点存在定理两个探究问题，在同学们充分讨论思考后，找同学进行展示答案。教师可以在同学们回答问题时，画一些图像来引导同学们。问题1和问题2目的在于让同学们回顾一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系。从而引出一般函数零点的概念，从特殊到一般。问题3的引出，可以激发同学们对未知知识的学习兴趣，同时在教师的引导下，积极从函数图像的角度来探究方程的解。在函数图像的辅助下，探究函数值的正负，由图像可以很直观的得出结论。由二次函数这个特殊的例子，来总结归纳一般函数存在零点所需要的条件。通过图像来确定零点所在区间，进而观察零点两边函数值的正负情况，从而探究零点存在的条件。对于问题3，同学们可能之只能得到函数零点存在的部分条件，因此可根据同学们的回答，进行进一步追问，搞清楚零点存在的条件。同时要举一些反例来说明，函数连续的必要性。在给出零点存在定理之后，为了深化对定理的理解，还需要增加两个探究问题，加深同学们的理解。探究1：函数零点存在定理只能确定零点存在，零点的个数需要结合函数的单调性等性质进一步研究探究2：从充分、必要条件层面考虑，若f(x)在区[a,b]上连续,则“f(a)(b)<0”是“在(a,b)上存在零点”的什么条件?20min(四)典例剖析例1：求方程的实数解的个数。问题：根据函数零点存在定理，解决这个问题需要哪些步骤？分析：教师可引导学生利用计算工具来计算函数值（或者教师直接给出参考值）追问1：函数的零点所在区间是______请说明理由;追问2：函数的单调性是怎样的？分析：教师可从对数函数和一次函数的单调性来引导学生判断函数的单调性，判断完单调性后，可确定零点个数。思考：本题除了上述方法外，还有没有其他的解法？由于之前没有学过此类方程的解法，所以首先教师要引导学生把方程转化为相应的函数。先求出函数定义域，然后利用计算工具来计算函数值。由表格可以得到，，因此，函数在区间至少存在一个零点。由表格可以猜测出函数的单调性，具体的单调性，还需要教师进一步引导。由函数是单调递增的，可以得出只有唯一的一个零点。思考：可把求函数的零点问题，转化为两个函数与的交点个数。根据函数零点存在定理，以及表中函数值的变化，学生可大致判断出零点所在的大致区间，零点个数只能凭感觉猜出。当画出该函数图象时，才可以确定零点的个数。增加追问，引导同学们去探究该函数的单调性，由表中数据，可以猜测该函数时单调递增的，但是还需要严格的证明。可以通过对数函数和一次函数的单调性来确定的单调性。转化为两个同学们都比较熟悉的函数，这样就能轻而易举地画出两个函数的图象，通过两个函数图像的交点个数来判断原函数的零点个数。8min(五)课堂检测课堂检测；函数的零点是（）A.(3,0)B.3C.(2,0)D.22.求函数零点个数。3.函数f(x)＝lgx－eq\f(1,x)的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,10)C．(10,100)D．(100，＋∞)给同学们留一定时间作答，教师再进行讲解。1.回顾零点的概念，注意使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．零点不是点；2.可以利用函数零点的存在定理来解，也可以转化为两个函数的图像的交点个数。3.零点存在定理的应用6min(六)归纳总结回顾本节课的内容，回答下列问题：判断函数零点的方法有那些?在例1中，观察函数的图象，借助计算器，你能进一步缩小函数零点所在的范围吗?方程法、定理法、函数图像法。在确定了函数零点在区间之间后，如果想进一步缩小零点所在的范围，就需要对区间在进行细分，为二分法的学习打下铺垫。回顾判断函数定理的方法，这也是本节课的核心内容。对于比较简单的函数，可以直接通过解方程的方法，如果方程解不出来，我们可以根据零点存在定理列出x和y的取值表格，或者画出函数图像，来判断函数零点的大概情况。第2个问题，主要是对下节课的二分法做铺垫的，引导同学们课下自主探究。2min七、板书设计4.1函数的零点与方程的解（主板区）函数的零点：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0