2024届四川省成都市金牛区外国语学校高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2024届四川省成都市金牛区外国语学校高一数学第一学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．函数y=|x2-1|与y=a的图象有4个交点，则实数a的取值范围是A.(0，) B.(-1，1)C.(0，1) D.(1，)2．已知函数，函数有四个不同的的零点，，，，且，则（）A.a的取值范围是(0,) B.的取值范围是(0,1)C. D.3．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数在区间上的图象的大致形状是（）A. B.C. D.4．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最小值是A. B.C. D.5．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是A. B.C. D.6．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（）A. B.C. D.7．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列说法正确的是（）A.是奇函数 B.的周期是C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称8．已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.9．圆与圆有（）条公切线A.0 B.2C.3 D.410．为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量（取整数）划分为三档，水价分档递增，其标准如下：阶梯居民家庭全年用水量（立方米）水价（元/立方米）其中水费（元/立方米）水资源费（元/立方米）污水处理费（元/立方米）第一阶梯0-180（含）52.071.571.36第二阶梯181-260（含）74.07第三阶梯260以上96.07如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳的全年综合水费（包括水费、水资源费及污水处理费）合计为元．若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为1180元，则此户家庭全年用水量为（）A.170立方米 B.200立方米C.220立方米 D.236立方米11．若函数的定义域和值域都为R，则关于实数a的下列说法中正确的是A.或3 B.C.或 D.12．空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标为A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知在上的最大值和最小值分别为和，则的最小值为__________14．已知函数，若，则_____15．在平面内将点绕原点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为__________16．______.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．计算（1）；（2）计算：；（3）已知，求.18．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本）（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?并求出利润的最大值19．求下列关于的不等式的解集：（1）；（2）20．已知向量，，（1）若，求向量与的夹角；（2）若函数．求当时函数的值域21．已知函数，为常数.（1）求函数的最小正周期及对称中心；（2）若时，的最小值为-2，求的值22．已知函数，，（1）求函数的值域；（2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围；（3）若对任意的，都存在四个不同的实数，，，，使得，其中，2，3，4，求实数a的取值范围

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、C【解析】作函数图象，根据函数图像确定实数a的取值范围.【详解】作函数图象，根据函数图像得实数a的取值范围为（0，1），选C.【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.2、D【解析】将问题转化为与有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误.【详解】有四个不同的零点、、、，即有四个不同的解的图象如下图示，由图知：，所以，即的取值范围是(0,＋∞)由二次函数的对称性得：，因为，即，故故选：D【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系.第II卷3、A【解析】先由函数的奇偶性确定部分选项，再通过特殊值得到答案.【详解】因为，所以在区间上是偶函数，故排除B，D，又，故选：A【点睛】本题主要考查函数的性质确定函数的图象，属于基础题.4、A【解析】将看作整体，先求的取值范围，再根据不等式恰有一个整点和函数的图像，推断参数，的取值范围【详解】做出函数的图像如图实线部分所示，由，得，若，则满足不等式，不等式至少有两个整数解，不满足题意，故，所以，且整数解只能是4，当时，，所以，选择A【点睛】本题考查了分段函数的性质，一元二次不等式的解法，及整体代换思想，数形结合思想的应用，需要根据题设条件，将数学语言转化为图形表达，再转化为参数的取值范围5、C【解析】先由三角函数的最值得或，再由得，进而可得单调增区间.【详解】因为对任意恒成立，所以，则或，当时，，则（舍去），当时，，则，符合题意，即，令，解得，即的单调递增区间是；故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题.6、C【解析】利用赋值法来求得正确答案.【详解】当k＝2n，n∈Z时,n360°＋45°≤α≤n360°＋90°，n∈Z；当k＝2n＋1，n∈Z时，n360°＋225°≤α≤n360°＋270°，n∈Z.故选：C7、D【解析】利用三角函数图象变换可得函数的解析式，然后利用余弦型函数的基本性质逐项判断可得出正确选项.【详解】由题意可得，对于A，函数是偶函数，A错误：对于B，函数最小周期是，B错误；对于C，由，则直线不是函数图象的对称轴，C错误；对于D，由，则是函数图象的一个对称中心，D正确.故选：D.8、A【解析】由题可得函数在上单调递减，，且，再利用函数单调性即得.【详解】因为函数为偶函数且在上单调逆增，，所以函数在上单调递减，，且，所以，所以，解得或，即的取值范围是.故选：A.9、B【解析】由题意可知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为半径为∵两圆的圆心距∴∴两圆相交，则共有2条公切线故选B10、C【解析】根据用户缴纳的金额判定全年用水量少于260，利用第二档的收费方式计算即可.【详解】若该用户全年用水量为260，则应缴纳元，所以该户家庭的全年用水量少于260，设该户家庭全年用水量为x，则应缴纳元，解得.故选：C11、B【解析】若函数的定义域和值域都为R，则.解得或3.当时，，满足题意；当时，，值域为{1}，不满足题意.故选B.12、A【解析】点，由中点坐标公式得中得为：，即.故选A.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】如图：则当时，即时，当时，原式点睛：本题主要考查了分段函数求最值问题，在定义域为动区间的情况下进行分类讨论，先求出最大值与最小值的情况，然后计算，本题的关键是要注意数形结合，结合图形来研究最值问题，本题有一定的难度14、-2020【解析】根据题意，设g（x）＝f（x）+1＝asinx+btanx，分析g（x）为奇函数，结合函数的奇偶性可得g（2）+g（﹣2）＝f（2）+1+f（﹣2）+1＝0，计算可得答案【详解】根据题意，函数f（x）＝asinx+btanx﹣1，设g（x）＝f（x）+1＝asinx+btanx，有g（﹣x）＝asin（﹣x）+btan（﹣x）＝﹣（asinx+btanx）＝﹣g（x），则函数g（x）为奇函数，则g（2）+g（﹣2）＝f（2）+1+f（﹣2）+1＝0，又由f（﹣2）＝2018，则f（2）＝﹣2020；故答案为-2020【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，构造函数g（x）＝f（x）+1是解题的关键，属于中档题15、【解析】由条件可得与x轴正向的夹角为，故与x轴正向的夹角为设点B的坐标为，则，，∴点的坐标为答案：16、【解析】首先利用乘法将五进制化为十进制，再利用“倒序取余法”将十进制化为二进制即可.【详解】，根据十进制化为二进制“倒序取余法”如下：可得.故答案为：【点睛】本题考查了进位制的转化，在求解过程中，一般都是先把其它进制转化为十进制，再用倒序取余法转化为其它进制，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）；（2）；（3）【解析】（1）（2）根据分数指数幂的定义，及指数的运算性质，代入计算可得答案；（3）由，可得，即，将所求平方，代入即可得答案【详解】（1）；（2）（3）∵＝3，∴（）2＝x2+x﹣2+2＝9，∴x2+x﹣2＝7则（）2＝x2+x﹣2﹣2＝5，∴【点睛】此题主要考查指对幂四则运算，熟练掌握指对幂的基本知识点很容易求解，属于简单题目18、（1）；（2）年产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，利润的最大值为万元【解析】(1)由利润销售收入总成本写出分段函数的解析式即可；（2）利用配方法和基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个中最大的即可.【详解】（1）当，时，当，时，（2）当，时，，当时，取得最大值（万元）当，时，当且仅当，即时等号成立即时，取得最大值万元综上，所以即生产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元19、（1）或；（2）答案见解析.【解析】（1）将原不等式变形为，再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集；（2）分、、三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集.【小问1详解】解：由得，解得或，故不等式的解集为或.【小问2详解】解：当时，原不等式即为，该不等式的解集为；当时，，原不等式即为.①若，则，原不等式的解集为或；②若，则，原不等式的解集为或.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式解集为或.20、（1）（2）【解析】（1）首先求出的坐标，再根据数量积、向量夹角的坐标公式计算可得；（2）根据数量积的坐标公式、二倍角公式以及辅助角公式化简函数解析式，再根据的取值范围，求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：因为，当时，，又.所以，，，所以，因为，所以向量与的夹角为.【小问2详解】解:因为，，所以，当时，，所以，则因此函数在时的值域为21、（1）最小正周期．对称中心为：，.（2）【解析】（1）根据周期和对称轴公式直接求解；（2）先根据定义域求的范围，再求函数的最小值，求参数的值.【详解】（1）∵，∴的最小正周期令，，解得，，∴的对称中心为：，.（2）当时，，故当时，函数取得最小值，即，∴取得最小值为，∴【点睛】本题考查的基本性质，意在考查基本公式和基本性质，属于基