专项六函数导数与不等式

考点13利用导数求函数的单调区间和极值命题分析考向趋势这一题型在高考中,主要考查利用导数研究函数的单调性(特别是含参函数的单调性),会求函数的单调区间、极大值、极小值,能利用函数的单调性、极值求参数的取值范围、参数值此题型常作为解答题的第一问,考查求函数的单调区间,单调性求参数的范围,函数的极值求参数的值或取值范围,是中档题;假设作为第二问,那么常考查函数的极值或是利用单调性或极值探讨函数与不等式的问题,难度较大【母题】(2021年全国Ⅱ卷,文T21)函数f(x)=2lnx+1.(1)假设f(x)≤2x+c,求实数c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数g(x)=f(x【拆解1】函数f(x)=2lnx-2x+1,那么f(x)的极大值为.

【拆解2】假设函数f(x)=2lnx-2x+1-c的极大值是-3,那么实数c的值是.

【拆解3】假设函数f(x)=2lnx-2x+1-c有大于0的极大值,那么实数c的取值范围是.

【拆解4】关于x的函数f(x)=2(ln【拆解5】当a>0时,假设f(x)=2(lnx-lna)x-a在(1.函数f(x)=exx-ax(1)当a=0时,求函数f(x)的单调区间;(2)假设函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.2.函数f(x)=ax2+lnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)假设∃x∈(0,+∞)使f(x)>0成立,求实数a的取值范围.1.函数的单调性(1)确定函数单调区间的步骤①确定函数f(x)的定义域;②求f'(x);③解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的局部为单调递增区间,解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的局部为单调递减区间.(2)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论;划分函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点;个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)=x3,f'(x)=3x2≥0,f'(x)=0在x=0处取到,但f(x)在R上是单调递增函数.2.求函数y=f(x)在某个区间上极值的步骤1.(2021年河北省承德市质检)函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值12(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.2.(2021年福建省高三第一次联考)函数f(x)=xlnx+ax+b在(1,f(1))处的切线为2x-2y-1=0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间.3.(2021年广西南宁、梧州等八市高三联考)函数f(x)=ax2-x-2lnx(a∈R).(1)假设函数f(x)的一个极值点为x=1,求函数f(x)的极值;(2)讨论f(x)的单调性.4.(2021年福建省三明市模拟)设函数f(x)=lnx+x2+ax.(1)当x=12时,f(x)取得极值,求实数a的值(2)假设f(x)在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围.5.(2021年河北省高三月考)函数f(x)=lnx-ax-1(1)假设曲线y=f(x)存在斜率为-1的切线,求实数a的取值范围;(2)求f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=x+alnx,求证:当-1<a<0时,g(x)在(1,6.(2021年山西省临汾市考前适应性训练)函数f(x)=ex-ax-1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<x2<x3)是曲线y=f(x)上任意三点,求证:f(x27.(2021年贵州贵阳模拟)函数f(x)=12x2-ax+lnx(a∈R)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:假设函数f(x)有极大值,那么极大值小于-328.(2021年江西省景德镇市第三次质检)函数f(x)=aex(a≠0),g(x)=12x2(1)当a=-2时,求曲线f(x)与g(x)的公切线方程.(2)假设y=f(x)-g(x)有两个极值点x1,x2,且x2≥3x1,求实数a的取值范围.考点14函数导数中的最值、恒成立问题命题分析考向趋势主要考查利用导数研究函数最值、不等式恒成立、能成立问题,题目以解答题的形式出现,属于压轴题,难度较大此题型主要考查利用导数求函数最值,解决不等式恒成立问题,求参数的范围或参数值,根据函数最值研究能成立问题【母题】(2021年新高考Ⅰ卷,T21)函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)假设f(x)≥1,求实数a的取值范围.【拆解1】函数f(x)=ex-lnx+1,那么曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为.

【拆解2】直线y=(e-1)x+2与两坐标轴围成的三角形的面积为().A.1B.2e-1C.2【拆解3】函数f(x)=ex+x,那么不等式f(x2)>f(2-x)的解集为().A.(-2,1)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)【拆解4】假设lna+x-1≥lnx恒成立,那么实数a的取值范围是.

【拆解5】函数f(x)=aex-1-lnx+lna(a是常数,且a>1),那么f(x)的最小值是.

1.函数f(x)=(x-1)lnx.(1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)假设不等式exf(x)≥x+aex在(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.2.函数f(x)=e-x-ax(a∈R).(1)当a=-2时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)假设ln[e(x+1)]≥2-f(-x)对任意的x∈[0,+∞)成立,求实数a的取值范围.1.利用导数解决不等式恒成立问题的常用方法破解此类以函数为背景的不等式恒成立问题需要“一构造、一分类〞.“一构造〞是指通过不等式的同解变形,构造一个与背景函数相关的函数;“一分类〞是指在不等式恒成立问题中,常需对参数进行分类讨论,求出参数的范围.有时也可以利用别离参数法,即将不等式别离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值.一般地,a>f(x)对x∈D恒成立,只需a>f(x)max;a<f(x)对x∈D恒成立,只需a<f(x)min.2.利用导数解决不等式存在性问题的策略(1)根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题.(2)用导数求该函数在该区间上的最值.(3)构建不等式求解.3.利用导数研究函数最值、不等式恒成立问题是高考的压轴题,难度很大.利用观察、分析、联想类比的方法,拆解或结论,揭示隐含条件、抓住问题关键、开阔解题视野、寻找解题思路,到达事半功倍之效.1.(2021届新疆乌鲁木齐第三次质检)f(x)=ex-alnx+2a(a>0).(1)当a=e时,求f(x)的单调区间;(2)设x0是f(x)的极小值点,求f(x0)的最大值.2.(2021届辽宁省沈阳市三模)函数f(x)=ebxax在x=2处取到极值,极值为(1)求函数f(x)的单调区间;(2)假设不等式x2f(x)≥kx+lnx+1在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数k的取值范围.3.(2021届广东省中山市高三期末)函数f(x)=ex-ex2+ax(a∈R).(1)假设f(x)在(0,1)上单调,求实数a的取值范围.(2)假设y=f(x)+exlnx的图象恒在x轴上方,求实数a的取值范围.4.(2021届江西省南昌市高三适应性考试)函数f(x)=lnx-ax.(1)假设函数f(x)在定义域上的最大值为1,求实数a的值;(2)设函数h(x)=(x-2)ex+f(x),当a≥1时,h(x)≤b对任意的x∈13,1恒成立,求满足条件的实数5.(2021届河南省焦作市高三第四次模拟)函数f(x)=alnx+3x2(a∈R).(1)求f(x)的极值;(2)设g(x)=2x-m,当a=-4时,f(x)-g(x)≥0恒成立,求实数m的取值范围.6.(2021届广东省珠海市一模)函数f(x)=ax(1)当a=b=1时,求函数f(x)的极值;(2)假设f(1)=1,且方程f(x)=1在区间(0,1)内有解,求实数a的取值范围.7.(2021届江西省上饶市一模)函数f(x)=-alnx+x+4-(1)当a≥4时,求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=ex+mx2-6,当a=e2+2时,对任意x1∈[2,+∞),存在x2∈[1,+∞),使得f(x1)+2e2≥g(x2),求实数m的取值范围.8.(2021届福建省漳州市高三第三次质检)函数f(x)=(x+3)ex-2m,m∈R.(1)假设m=32,求f(x)的最值(2)假设当x≥0时,f(x-2)+2m≥1e2(mx2+2x+1),求实数m考点15利用导数研究函数零点问题命题分析考向趋势主要考查利用导数研究函数的零点(或方程根的)个数、函数零点(方程的根)求参数的取值范围,题目以解答题的形式出现,难度较大,是高考的热点此题型主要从以下几个方面考查:(1)零点个数或方程的根的个数的判断与证明;(2)根据零点个数或方程的根的个数求参数的取值范围【母题】(2021年全国Ⅰ卷,文T20)函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)假设f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.【拆解1】假设函数f(x)=ex-a(x+2)在[-1,2]上单调递增,那么实数a的取值范围是().A.a≤1e2B.a≤1eC.a≤1D.a【拆解2】函数f(x)=ex-a(x+2),讨论f(x)的单调性.【拆解3】函数f(x)=ex-a(x+2),假设f(x)有大于零的极小值,那么实数a的取值范围是.

【拆解4】函数f(x)=ex-a(x+2),假设f(x)恰有一个零点,那么a的值是.

【拆解5】函数f(x)=ex-a(x+2)(x≠-2),假设f(x)不存在零点,那么实数a的取值范围是.

1.设函数f(x)=-x2+ax+lnx(a∈R).(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;(2)假设函数f(x)在13,3上有两个零点,求实数2.函数f(x)=lnx-aex+1(a∈R).(1)当a=1时,讨论f(x)极值点的个数;(2)假设函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.1.判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即函数图象与x轴交点的个数问题.(2)别离出参数,转化为a=g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间上的单调性,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即直线y=a与函数y=g(x)图象交点的个数问题.只需要将a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可.2.利用导数研究方程解的个数问题的一般思路(1)将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题.(2)利用导数研究出该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象.(3)结合图象求解.方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值等性质画出函数图象的走势,通过数形结合思想直观求解.3.利用导数探究函数的零点难度比较大,可以以题目的条件和结论为切入点,也可以通过分析表达式的结构特征,利用拆数、拆式等技巧进行猜想尝试,揭示数学问题的隐蔽关系,寻找隐含条件,进而解决问题.1.(2021届江西重点中学高三联考)函数f(x)=sinx+lnx-1.(1)求函数f(x)在点π2,(2)当x∈(0,π)时,讨论函数f(x)的零点个数.2.(2021届黑龙江省鸡西市高三期末)函数f(x)=ex-2x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)假设函数g(x)=f(x)-a在x∈[-1,1]上恰有2个零点,求实数a的取值范围.3.(2021届河南商丘模拟)函数f(x)=ax2+(a-2)x-lnx.(1)假设函数f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;(2)当0<a<1时,求f(x)零点的个数.4.(2021届东北三校高三模拟)函数f(x)=2xex-ax-alnx(a∈R).(1)假设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l过点(0,-2e-1),求实数a的值;(2)假设函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.5.(2021届河南高三联考)函数f(x)=xsinx+acosx+x,a∈R.(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)当a>2时,假设方程f(x)-3=0在区间0,π2上有唯一解,求实数6.(2021届山西省长治市高三质检)设f(x)=xsinx+cosx,g(x)=x2+4.(1)讨论f(x)在[-π,π]上的单调性;(2)令h(x)=g(x)-4f(x),试证明h(x)在R上有且仅有三个零点.7.(2021届天津市二模)函数f(x)=12ax-a+1-lnxx,其中a(1)假设f(x)为单调递减函数,求实数a的取值范围;(2)假设f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.8.(2021届山东省泰安市高三四模)函数f(x)=(x-2)ex+x+2,f'(x)是f(x)的导数.证明:(1)当x>0时,f(x)>0;(2)g(x)=(1-sinx)[xex-f'(x)+2]-2在(-π,π)上有且只有3个零点.考点16函数、导数与不等式的综合问题命题分析考向趋势由于不等式具有较好的考查逻辑推理能力的功能,我们发现高考题中有许多与不等式证明有关,其工具就是构造函数,利用导数证明不等式,渗透了分类与整合的思想,是高考的热点,难度较大此题型主要利用导数证明代数不等式.涉及的主要方法:(1)参变量别离,构造函数,转化为函数的最值求解;(2)直接构造函数,转化为函数最值解决;(3)适当变形后构造函数,利用导数研究函数的最值问题解决【母题】(2021年全国Ⅱ卷,文T21)函数f(x)=(x-1)lnx-x-1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.【拆解1】函数f(x)=(x-1)lnx-x-1,求证:f(x)在(2,+∞)上单调递增.【拆解2】函数f(x)=(x-1)lnx-x-1,证明f(x)存在唯一的极值点.【拆解3】函数f(x)=(x-1)lnx-x-1,讨论f(x)的零点个数.【拆解4】函数f(x)=(x-1)lnx-x-1有且仅有两个零点x1,x2,证明:x1x2=1.1.设函数f(x)=(x-a)ex+a+1,a∈R.(1)当a>0时,求函数f(x)在(-∞,0]上的最小值;(2)假设函数f(x)在(0,+∞)上存在零点,证明:a>2.2.函数f(x)=(x+sinx-cosx)ex,f'(x)为f(x)的导数.(1)设g(x)=f'(x)-f(x),求g(x)的单调区间;(2)假设x≥0,证明:f(x)≥x-1.1.利用导数证明不等式的根本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值.(4)根据单调性及最值,得到所证不等式.2.构造辅助函数的4种方法3.用导数证明不等式的方法(1)利用单调性:假设f(x)在[a,b]上是增函数,那么①∀x∈[a,b],那么f(a)≤f(x)≤f(b);②对∀x1,x2∈[a,b],且x1<x2,那么f(x1)<f(x2).对于减函数,有类似的结论.(2)利用最值:假设f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),那么对∀x∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m).(3)证明f(x)<g(x),可构造函数F(x)=f(x)-g(x),证明F(x)<0.1.(2021届陕西西安高三模拟)函数f(x)=x+asinx+b,g(x)=ex-x+f(x).