数学分析第五章：导数和微分

第五章导数和微分§1导数的概念§2求导法则§3参变量函数的导数§4高阶导数§5微分

1、给出了导数的物理模型—瞬时速度和几何模型—切线斜率。2、给出了函数在一点的导数（可导）的定义和函数在一点的左、右导数的定义，以及函数在区间上可导的定义；给出了可导与连续的关系。3、给出了导数的几何意义—切线的斜率。教学内容：4、给出了应用导数的定义计算导数的例题。教学重点:导数的定义和计算要求:1、知道导数的构造性定义,理解导数在研究函数性态方面的作用.2、知道导数和连续的关系,即可导必连续,连续不一定可导.3、应用导数的定义计算函数在一点的导数.§1导数的概念问题的提出:在中学里我们学习过，物体作匀速直线运动，其速度等于位移除以时间。而物体的运动往往不可能总是匀速的，通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。如果我们已知物体的运动规律，如何计算它的瞬时速度?两个例子:1.瞬时速度则物体在时刻t0

的瞬时速度定义为速度反映了路程对时间变化的快慢程度2.切线的斜率xQ曲线在其上一点即为曲线在点P的切线的斜率.OPTy一导数的定义定义1:即

(1)解:由定义求得所以切线方程为

即证

因为

注:利用导数的定义可证,常量函数在任何点的导数为零,即定义2:类似地,可以定义左导数

左﹑右导数统称为单侧导数.单侧导数与导数的关系:

注:下列函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义.函数在个别点的函数值单独定义的,其余点的函数值用统一解析式定义的(函数在个别点连续).(2)求分段函数在分段点的导数.例

解

由于

因此

可导→连续。即可导是连续的充分条件。可以证明：连续是可导的必要条件。二导函数

特别

例证明

(i)为正整数.(ii)(iii)定义:证

(i)和(iii)的证明略.(ii)下面只证第一个等式,类似地可证第二个等式.由于三﹑导数的几何意义法线方程为:注:例

解

由于

定义3定理(费马定理)注:极值点与稳定点的关系:1.极值点不一定是稳定点,稳定点也不一定是极值点.2.可导函数的极值点一定是稳定点.达布(Darboux)定理(导函数的介值定理)证:(略)§2求导法则教学内容：1.给出了函数的和、差、积、商的求导法则.2.给出了反函数的求导法则,并得到了指数函数,反三角函数的求导公式.3.给出了复合函数的求导法则,并得到了幂函数的求导公式.教学重点:熟练掌握复合函数的求导法则.要求:1.掌握求导法则,尤其是复合函数的求导法则.2.能熟练应用求导法则及基本初等函数的求导公式计算初等函数的导数.一导数的四则运算和复合函数的链式法则问题的提出:从上一节可以看到,应用导数的定义可以求函数的导数,但通常比较繁琐,有没有更为简单、方便有效的方法求函数特别是初等函数的导数?

初等函数导数的计算方法:1.利用求导的四则运算法则及复合函数的链式法则求导；

2.利用反函数求导法则求导；

3.对数求导法；

4.利用导数的定义求导；

例解由于例求下列函数的导函数:解二反函数的导数基本求导法则:例证(2)(3)的证明略去.三对数求导法对数求导法的步骤:1.两端取绝对值之后,再取自然对数.2.等式两端分别对自变量求导.例先对函数取对数,得解再对上式两边分别求对数,得整理后得到补充:分段函数的导数例设当解当§3参变量函数的导数教学内容：本节给出了由参量方程所确定的参变量函数的求导法则.教学重点:参量方程的求导法则.要求:能熟练求出参变量函数的导数.问题的提出:前面两节我们学习了显函数的导数的求解方法,如何求由参量方程所确定的参变量函数的导数呢?例试求由上半椭圆的参变量方程所确定的函数的导数.解由公式(1)求得例证由公式(2)有§4高阶导数教学内容：1、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数y=xn、三角函数

y=sinx、y=cosx、指数函数y=ex的n阶导数公式。2、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。3、给出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计算公式。教学重点：

各类函数高阶导数的计算。要求：

熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的应用。问题的提出：

速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速度与位移是什么关系呢？一高阶导数的概念1、二阶导数的定义定义1：若函数的导函数在点可导，则称在点的导数为在点的二阶导数，记作，即

同时称在点为二阶可导。2、n阶导数：的n-1阶导数的导数称为的n阶导数。3、高阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。二高阶导数的计算1、n个初等函数的高阶导数例1求幂函数（n为正整数）的各阶导数。解由幂函数的求导公式得由此可见，对于正整数幂函数xn，每求导一次，其幂次降低1，第n阶导数为一常数，大于n阶的导数都等于0。注：用类似的方法，可求得三角函数y=sinx,y=cosx及指数函数的各阶导数。2、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数莱布尼茨公式：例4：设，求解令由例2和例3有应用莱布尼茨公式（n=5）得3、分段函数的高阶导数例5研究函数的高阶导数。解当时，当时，

当时，由左右导数定义不难求得而当时，不存在，整理后得当时4、由参量方程所确定的函数的高阶导数由参量方程所确定的函数的一阶、二阶导数分别为:（1）（2）例6试求由摆线参量方程所确定的函数的二阶导数。解由公式（1）得再由公式（2）得

§5微分教学内容：1、给出了函数在一点得微分（可微）的概念，并证明了可导与可微是等价的。2、微分运算法则以及一阶微分形式的不变性。3、高阶微分的定义与计算，并说明高阶微分不具有形式的不变性。4、微分在近似计算中的应用。要求:1、掌握微分概念，理解微分的分析和几何意义。2、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联系。问题的提出：

恩格斯在《反社林论》中指出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。这里所说的“一定条件”指的是什么？换句话说，怎样的函数可用线性函数去逼近？由两部分组成：（Ⅰ）（阴影部分）（Ⅱ）它是关于的高阶无穷小量例：设一边长为x的正方形，它的面积是的函数。若边长由增加了，相应地正方形面积地增量

因此，当给一个微小增量时，由此引起的正方形增量可近似地用的线性部分来代替，且由此产生的误差是一个关于的高阶无穷小量。一微分的概念定义：设函数定义在点的某邻域内。当给一个增量时，相应地得到函数的增量为：如果存在常数A，使得能表示成则称函数在点可微，并称（1）式中的第一项为在点的微分，记作

（1）或注意：①函数的微分与增量之间仅相差一个关于的高阶无穷小量。②若函数在点可微，则在点的小邻域内可用切线代替曲线。二可导与可微的联系与区别1、函数在点可导与可微是等价的，且2、函数在点的导数与微分的区别。①是一个函数，而微分是的线性函数，它的定义域是R,它是无穷小，即②从几何意义上说，导数是曲线在点的切线斜率，而微分是曲线在点的切线方程在点的纵坐标。③导数通常用于关于函数性质理论的研究，而微分通常用于近似计算和微分运算。三微分的运算法则1、微分运算法则①②③④2、一阶微分方程的不变性则3、函数微分的计算方法（1）利用微分运算法则例1求的微分。解（2）利用函数的导数求微分，即

例求的微分。解因为

所以（3）利用一阶微分形式的不变性例2求的微分。解由一阶微分形式不变性，可得四高阶微分3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作且有（1）2、n阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作且有（2）例3设分别依公式（1）、（2）求解由得依公式（1）得类似地，依公式（2）得五微分在近似计算1、函数的近似计算近似计算公式：①当很小时，例5设钟摆的周期是1秒，在冬季摆长至多缩短0.01cm，试问此钟每天至多快几秒？解由物理学知道，单摆周期T与摆长l的关系为其中g是重力加速度。已知钟摆周期为1秒，故此摆原长为当摆长最多缩短0.01cm时，摆长的增量它引起单摆周期的增量（见下页）这就是说,加快约0.0002秒,因此每天大约加快例4求的近似值。解由于因此取由上述式子得到②当很小时，注：利用该公式时