切线长定理与内切圆九年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题切线长定理与内切圆姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021•西宁〕如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，那么AB＝〔〕A．3B．2C．23D．3【分析】先判断出PA＝PB，进而判断出△PAB是等边三角形，即可得出结论．【解析】∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，∴PA＝PB，∵∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB＝AP＝2．应选：B．2．〔2021秋•台州期中〕如图，PA，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，假设PA＝cm，那么△PMN的周长是〔〕A．cmB．10cmC．cmD．15cm【分析】根据切线长定理得MA＝MC，NC＝NB，然后根据三角形周长的定义进行计算．【解析】∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，∴MA＝MC，NC＝NB，∴△PMN的周长＝PM+PN+MC+NC＝PM+MA+PN+NB＝PA+PB＝＝15〔cm〕．应选：D．3．〔2021秋•樊城区期末〕如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．假设△PCD的周长等于3，那么PA的值是〔〕A．32B．23C．12D【分析】直接利用切线长定理得出AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，进而求出PA的长．【解析】∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB∵△PCD的周长等于3，∴PA+PB＝3，∴PA=32应选：A．4．〔2021•永州〕如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出以下四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是〔〕A．1B．2C．3D．4【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，那么可对④进行判断．【解析】∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．应选：C．5．〔2021秋•林州市期中〕如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，那么△CDE的周长为〔〕A．9B．7C．11D．8【分析】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q．根据切线长定理得到NC＝MC，QE＝DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．【解析】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．那么有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝．所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．应选：C．6．〔2021秋•龙岩期末〕如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，假设∠P＝40°，那么∠PAE+∠PBE的度数为〔〕A．50°B．62°C．66°D．70°【分析】由PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，根据切线长定理即可得：CE＝CA，DE＝DB，然后由等边对等角与三角形外角的性质，可求得∠PAE=12∠PCD，∠PBE=12∠PDC，继而求得∠PAE+【解析】∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，∴CE＝CA，DE＝DB，∴∠CAE＝∠CEA，∠DEB＝∠DBE，∴∠PCD＝∠CAE+∠CEA＝2∠CAE，∠PDC＝∠DEB+∠DBE＝2∠DBE，∴∠CAE=12∠PCD，∠DBE=12即∠PAE=12∠PCD，∠PBE=12∵∠P＝40°，∴∠PAE+∠PBE=12∠PCD+12∠PDC=12〔∠PCD+∠PDC〕=12应选：D．7．〔2021秋•曲靖期末〕如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，假设∠B＝65°，∠C＝75°，那么∠EDF的度数是〔〕A．65°B．140°C．55°D．70°【分析】连接IE、IF，如图，根据切线的性质得到∠AEI＝∠AFI＝90°，利用四边形的内角和得到∠A＝180°﹣∠EIF，再利用圆周角定理得到∠EDF＝90°-12∠A，然后根据三角形内角和求出∠A，从而可计算出∠EDF【解析】连接IE、IF，如图，∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F，∴OE⊥AC，OF⊥AB，∴∠AEI＝∠AFI＝90°，∴∠A＝180°﹣∠EIF，∵∠EDF=12∠EIF∴∠EDF＝90°-12∠A∵∠B＝65°，∠C＝75°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，∴∠EDF＝90°-12×40°＝应选：D．8．〔2021秋•张店区期末〕如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的内切圆，那么⊙O的半径为〔〕A．1B．3C．2D．23【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可．【解析】∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴AC=AB2如图，分别连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC内切圆，D、E、F为切点，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB于D、E、F，OD＝OE＝OF，∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC+S△AOB=12BC•DO+12AC•OE+12AB•FO=12〔BC∵∠C＝90°，∴12×AC•BC=12〔BC+AC+AB∴OD=3×43+4+5=应选：A．9．〔2021春•鼓楼区校级月考〕如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，设△ABC的面积、周长分别为S、l，⊙O的半径为r，那么以下等式：①∠AED+∠BFE+∠CDF＝180°；②S=12lr；③2∠EDF＝∠A+∠C；④2〔AD+CF+BE〕＝lA．①②③④B．②③④C．①③④D．①②③【分析】①正确，首先证明∠AED＝∠EFD,同法可证∠BFE＝∠EDF,∠CDF＝∠DEF,由∠EFD+∠EDF+∠DEF＝180°,可得∠AED+∠BFE+∠CDF＝180°．②正确，利用面积法证明即可．③正确，证明∠BEF+∠BFE＝∠BAC+∠ACB,可得结论．④正确，利用切线长定理解决问题即可．【解析】如图，作直径ET,连接DT．∵AB是⊙O的切线，∴ET⊥AB,∴∠AET＝90°,∴∠AED+∠DET＝90°,∵ET是直径，∴∠EDT＝90°,∴∠DET+∠ETD＝90°,∴∠AED＝∠ETD,∵∠EFD＝∠ETD,∴∠AED＝∠EFD,同法可证，∠BFE＝∠EDF,∠CDF＝∠DEF,∵∠EFD+∠EDF+∠DEF＝180°,∴∠AED+∠BFE+∠CDF＝180°,故①正确，连接OA,OB,OC,OF,OD．∵S＝S△AOB+S△BOC+S△ACO=12•AB•OE+12•BC•OF+12•AC•OD=12•(AB+BC+AC)•∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°,∠BEF+∠BFE+∠ABC＝180°∴∠BEF+∠BFE＝∠BAC+∠ACB,∵∠BEF＝∠EDF,∠BFE＝∠EDF,∴2∠EDF＝∠BAC+∠ACB,故③正确，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，∴AE＝AD,CD＝CF,BE＝BF,∴2(AD+CF+BE)＝l,故④正确，应选：A．10．〔2021•江西模拟〕如图，点O为勾股形ABC〔我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形〕的内心，其中∠A为直角．点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且∠ADO＝∠AFO＝∠BEO＝90°，假设BD＝4，CF＝6，那么正方形ADOF的面积是〔〕A．2B．4C．3D．16【分析】由三角形内心性质可先证明四边形ADOF为正方形．设AD＝AF＝x，由三角形内切圆的性质可得BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，在Rt△ABC中，根据AC2+BA2＝BC2建立勾股定理方程即可得正方形ADOF的边长，进而可求面积．【解析】∵∠ADO＝∠AFO＝∠A＝90°，∴四边形ADOF为矩形，又点O为内心，故OD＝OF，∴四边形ADOF为正方形．设AD＝AF＝x，由三角形内切圆可得D、E、F为切点，∴BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，在Rt△ABC中，∵AC2+BA2＝BC2，即〔6+x〕2+〔4+x〕2＝102，解得：x1＝2，x2＝﹣12〔舍去〕．∴正方形ADOF的边长为2，面积为4．应选：B．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021秋•虎林市期末〕如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，假设∠APB＝60°，PA＝4．那么⊙O的半径是433【分析】连接OA、OB、OP，PA、PB为圆O的两条切线，由切线长定理可知：PA＝PB，OB⊥PA，OA⊥PA；可证明△PBO≌△PAO，可求得∠APO的度数，再由∠APO的正切值可得出OA的长，即圆半径的长．【解析】连接OA、OB、OP，如以下图所示：∵PA、PB为圆O的两条切线，∴由切线长定理可知：PA＝PB，OB⊥PA，OA⊥PA；∵OA、OB为半径长，PO＝PO，∴△PBO≌△PAO〔SSS〕，∴∠APO＝∠BPO＝30°；∵tan∠APO=OAAP∴OA=33×PA所以圆的半径为433故此题应该填43312．〔2021秋•西华县期中〕如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，那么BD的长为3．【分析】由AB、AC、BD是⊙O的切线，那么AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．【解析】∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝8﹣5＝3．故答案为：3．13．〔2021秋•莫旗期末〕如图，从点P引⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B，DE切⊙O于C，交PA，PB于D，E．假设△PDE的周长为20cm，那么PA＝10cm．【分析】由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将△PDE的周长转化为切线PA、PB的长．【解析】∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝20；∴PA＝PB＝10，故答案为10．14．〔2021春•沙坪坝区校级月考〕如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．假设∠AOB＝108°，那么∠COD的度数是72°．【分析】直接利用切线的性质定理结合全等三角形的判定和性质得出∠2+∠3＝∠DOC＝70°．【解析】如下图：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中DO=DO∴Rt△DEO≌Rt△DFO〔HL〕，∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝108°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×108°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝72°．故答案为：72°．15．〔2021秋•中山市期末〕如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，那么四边形ABCD的周长为50．【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝25，根据四边形的周长公式计算，得到答案．【解析】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝25，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，故答案为：50．16．〔2021秋•长沙期末〕在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，那么△ABC的内切圆半径r＝2．【分析】设⊙O切AC于点E，切BC于F，切AB于G，连接OE，OF，由切线的性质易证四边形CEOF为正方形，得到CE＝CF＝r，由切线长定理得AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，利用6﹣r+8﹣r＝10可求出r．【解析】如图，⊙O切AC于点E，切BC于F，切AB于G，连接OE，OF，∴OE⊥AC，OF⊥BC，∴正方形CEOF为正方形，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，设⊙O的半径为r，那么CE＝CF＝r，∴AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，∴AB＝AG+BG＝AE+BF，即6﹣r+8﹣r＝10，解得：r＝2．故答案为：2．17．〔2021•越秀区校级模拟〕如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a＝10，⊙O内切于Rt△ABC，且半径为4，那么a+b+c＝60．【分析】设切点分别是D、E、F，连接OD、OE、OF，那么OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，Rt△ABC中，AC²+BC²＝AB²，可得b²+10²＝(b+2)²，解得b＝24，进而可得答案．【解析】设切点分别是D、E、F，连接OD、OE、OF，那么OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，∵∠C＝90°，∴四边形OECD是正方形，∴CE＝CD＝r＝4，∴AD＝b﹣4，BE＝10﹣4＝6，根据切线长定理可得：AF＝AD＝b﹣4,BF＝BE＝6,AB＝c＝b﹣4+6＝b+2，Rt△ABC中，AC²+BC²＝AB²，∴b²+10²＝(b+2)²，解得b＝24，c＝b+2＝26，∴a+b+c＝10+24+26＝60．故答案为：60．18．〔2021•雁塔区校级模拟〕如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，那么S1、S2、S3、S4的数量关系为S1+S3＝S2+S4．【分析】设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，推出S1+S3=12r〔a+b〕r+12r〔c+d〕=12r〔a+b+c+d〕＝S【解析】如图设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，S1=12r〔a+b〕r，S2=12r〔b+c〕S3=12r〔c+d〕，S4=1∴S1+S3=12r〔a+b〕r+12r〔c+d〕=12r〔a+bS2+S4=12r〔a+d〕+12r〔b+c〕=12r〔a+b∴S1+S3＝S2+S4．故答案为S1+S3＝S2+S4．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021•滨海县一模〕如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：〔1〕PA的长；〔2〕∠COD的度数．【分析】〔1〕可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PCD的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；〔2〕根据三角形的内角和求出∠ACD和∠BDC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠DCO和∠ODE的度数和，再根据三角形的内角和求出∠COD的度数．【解析】〔1〕∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，即PA的长为6；〔2〕∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE＝∠OCA=12∠ACD同理：∠ODE=12∠CDB∴∠OCE+∠ODE=12〔∠ACD+∠CDB〕＝120∴∠COD＝180﹣120°＝60°．20．〔2021秋•钦州期末〕如图，E为△ABC的内心，连接AE并延长交△ABC的外接圆于点D．求证：DE＝DB．【分析】根据点E是△ABC的内心得出∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，求出∠BED＝∠EBD，即可得出答案．【解析】证明：如图，连接BE，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD，∴∠BED＝∠ABE+∠BAD，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，∵∠EBD＝∠CBE+∠CBD，∴∠BED＝∠EBD，∴ED＝BD；21．〔2021•瑶海区模拟〕：如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心〔三角形三条角平分线的交点〕，延长AI与△ABC的外接圆交于点D，连接BD，DC．求证：〔1〕DI＝DB；〔2〕假设∠BAC＝60°，BC＝23，求DI的长．【分析】〔1〕连接BI，由三角形的内心得∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，再由三角形的外角性质和圆周角定理得∠BID＝∠IBD，即可得出结论；〔2〕过点D作DE⊥BC于E，由〔1〕得：∠BAD＝∠CAD，那么BD=CD，得BD＝CD，再由等腰三角形的性质得BE＝CE=12BC=3，然后证∠DBC＝∠BCD＝【解析】〔1〕证明：连接BI，如图1所示：∵点I是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠BID＝∠BAI+∠IBA，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∠CBD＝∠CAD，∴∠BID＝∠IBD，∴DI＝DB；〔2〕解：过点D作DE⊥BC于E，如图2所示：由〔1〕得：∠BAD＝∠CAD，∴BD=CD∴BD＝CD，∵DE⊥BC，∴BE＝CE=12BC=∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝30°，∴DE=33BE＝1，BD＝2DE＝2∴DI＝BD＝2．22．〔2021秋•大冶市期末〕如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D、过D作直线DG∥BC．〔1〕求证：DG是⊙O的切线；〔2〕求证：DE＝CD；〔3〕假设DE＝25，BC＝8，求⊙O的半径．【分析】〔1〕连接OD交BC于H，根据圆周角定理和切线的判定即可证明；〔2〕连接BD，由点E是△ABC的内心，得到∠ABE＝∠CBE，∠DBC＝∠BAD，推出∠BED＝∠DBE，根据等角对等边得到BD＝DE，即可得到结论；〔3〕根据垂径定理和勾股定理即可求出结果．【解析】〔1〕证明：连接OD交BC于H，如图，∵点E是△ABC的内心∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∴BD=CD∴OD⊥BC，BH＝CH，∵DG∥BC，∴OD⊥DG，∴DG是⊙O的切线；〔2〕证明：连接BD，∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，即∠BED＝∠DBE，∴BD＝DE，∵BD=CD∴BD＝CD，∴DE＝CD；〔3〕解：连接OD，OB，如图，由〔1〕得OD⊥BC，BH＝CH，∵BC＝8，∴BH＝CH＝4，∵DE＝25，BD＝DE，∴BD＝25，在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2，∴〔25〕2＝42+HD2，解得：HD＝2，在Rt△BHO中，r2＝BH2+〔r﹣2〕2，解得：r＝5．23．〔2021秋•宁蒗县期末〕：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连