江苏省无锡市重点中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

-2024学年江苏省无锡市重点中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）1．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b（）A．B．a2＞b2C．﹣a+c＜﹣b+cD．若a＞b＞c＞0，则2．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2+x﹣2≤0}，则集合A的真子集个数为（）A．4B．3C．16D．153．（5分）当有意义时，化简（）A．2x﹣7B．﹣2x+1C．﹣1D．7﹣2x4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）＝x﹣1B．f（x）＝x2+1C．D．f（x）＝3x5．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，且a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）x不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（5分）已知集合，B＝{x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（）A．{a|a＞2}B．{a|a≥2}C．{a|a＝1或a≥2}D．{a|a≥1}8．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），且f（x﹣1），当x＜﹣1时，f（x）＝﹣2x2﹣8x﹣7，则方程的所有根之和等于（）A．﹣4B．﹣2C．0D．2二．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．（多选）9．（5分）使不等式x（x+1）＞0成立的一个充分不必要条件是（）A．x＞0B．x≥0C．x＜﹣1或x＞2D．﹣1＜x＜0（多选）10．（5分）设正实数m，n满足m+n＝2，则下列说法正确的是（）A．的最小值为1B．的最小值为C．的最大值为2D．m2+n2的最大值为2（多选）11．（5分）若函数y＝ax+b﹣1（a＞0，且a≠1）的图象不经过第二象限，则需同时满足（）A．a＞1B．0＜a＜1C．b＞0D．b≤0（多选）12．（5分）下列说法不正确的是（）A．命题“∀x＜1，都有x2＜1”的否定是“∃x≥1，使得x2≥1”B．集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A⋂B＝B，则实数a的取值集合为{﹣1，2}C．方程3x2+a（a﹣6）x﹣3＝0有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是0＜a＜6D．若存在使等式x2﹣2x﹣m＜0上能成立，则实数m的取值范围（0，+∞）三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．第16题第一空2分，第二空3分）13．（5分）函数的定义域为．14．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣5）xm在（0，+∞）上单调递减，则m＝．15．（5分）若，则函数f（x）的值域为．16．（5分）已知a，b∈R，若函数f（x）2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，且对于任意正数x都有x2﹣ax+t≥bx成立，则a+b＝，实数t的最小值是．四．解答题：（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合P＝{x|﹣2＜x＜2}，Q＝{x|0≤x＜3}，求下列集合：（1）P∩Q；（2）（∁RP）∪（∁RQ）．18．（12分）（1）计算：；（2）若a+a﹣1＝3，求下列式子的值：①；②．19．（12分）已知命题p：任意实数x满足x2﹣2x﹣3≥0，命题q：实数x满足（x﹣m）[x﹣（m+1）（1）若命题p为假命题，求实数x的取值范围；（2）若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．20．（12分）已知不等式ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立，求：（1）a的取值范围．（2）在（1）的条件下解关于x的不等式x2﹣x﹣a2+a＜0的解集．21．（12分）金坛某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产x台（x∈N*）需要另投入成本c（x）（万元），当年产量x不足45台时，（万元）；当年产量x不少于45台时，（万元），若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完．（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；（2）年产量x为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？22．（12分）已知定义在R上的函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）求f（x）的值域；（3）证明f（x）在R上为减函数并解不等式．2023-2024学年江苏省无锡市重点中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）1．C【分析】举出反例检验选项A，B，D，结合不等式性质检验选项C．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A；由a＞b可得﹣a＜﹣b，则﹣a+c＜﹣b+c；若a＝5，b＝2，D显然错误．故选：C．【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．2．D【分析】先求出集合A，再利用集合的真子集个数公式求解即可．【解答】解：集合A＝{x∈Z|x2+x﹣2≤3}＝{x∈Z|﹣2≤x≤1}＝{﹣4，﹣1，0，∴集合A的真子集个数为84﹣1＝15．故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的真子集个数公式，属于基础题．3．C【分析】可求出x的范围，然后开方即可得出答案．【解答】解：有意义时，．故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，根式的运算，是基础题．4．B【分析】由常见函数的性质逐项判断即可．【解答】解：对于A，f（x）＝x﹣1为非奇非偶函数；对于B，f（x）＝x2+8是偶函数，且在（0，故B符合题意；对于C，，故C不符合题意；对于D，f（x）＝5x为非奇非偶函数，故D不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．5．A【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象，可以判断a、b、c的正负情况，从而可以判断一次函数y＝ax+b与反比例函数图象分别位于所在的象限，即可求解．【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知，a＞0，c＜7，则一次函数y＝ax+b的图象经过一、三、四图象限象在二四象限．故选：A．【点评】本题主要考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，解题的关键是明确它们各自图象的特点，属于基础题．6．C【分析】求出m，n得出g（x）的解析式，从而得出结论．【解答】解：∵f（x）＝ax﹣2+1（a＞2，且a≠1）恒过定点（2，∴m＝n＝3，∴g（x）＝2﹣2x，∴g（x）为减函数，且过点（8，∴g（x）的函数图象不经过第三象限．故选：C．【点评】本题考查了指数函数的图象变换与性质，属于中档题．7．C【分析】分类讨论B＝∅和B≠∅时的情况即可求解．【解答】解：解分式不等式可得，A＝{x|﹣1＜x≤4}，∵a3+1≥2a，∴a＝5时，满足A∩B＝∅，a≠1时，B＝{x|2a＜x＜a3+1}，∵A∩B＝∅，得；综上，实数a的取值范围为{a|a＝1或a≥2}故选：C．【点评】本题考查不等式的解法，考查集合的运算，属于基础题．8．A【分析】首先根据题意得到f（x）关于（﹣1，0）对称，即f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），从而得到，再解方程即可．【解答】解：因为f（x﹣1）为奇函数，所以f（x﹣1）关于（7，所以f（x）关于（﹣1，0）对称．当x＜﹣3时，f（x）＝﹣2x2﹣8x﹣7，当x＞﹣1时，﹣5﹣x＜﹣12+4（﹣2﹣x）+7＝3x2﹣1，所以．因为，所以或，解得，所以x1+x3+x3+x4＝﹣3．故选：A．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．二．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．（多选）9．AC【分析】解不等式x（x+1）＞0得x＜﹣1或x＞0，因此所求充分不必要条件对应的集合是{x|x＜﹣1或x＞0}的真子集，由此判断出正确答案．【解答】解：不等式x（x+1）＞0，即x＜﹣3或x＞0，因此，使不等式x（x+1）＞3成立的充分不必要条件对应的集合是{x|x＜﹣1或x＞0}的真子集，对照各个选项，可知A．故选：AC．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．（多选）10．BC【分析】利用基本不等式依次对每个选项进行判断．【解答】解：对于A，因为m＞0，所以，当且仅当m＝n＝4时等号成立，故有最大值1；对于B，因为m+n＝2，所以，当且仅当时，即，故B正确；对于C，，当且仅当m＝n＝8时等号成立，所以，故C正确；对于D，m2+n5＝（m+n）2﹣2mn＝7﹣2mn，由A有mn≤1，则﹣5mn≥﹣2，所以m2+n7≥2，当且仅当m＝n＝1时等号成立．故选：BC．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．（多选）11．AD【分析】分类讨论a，b取不同值时，函数y＝ax+b﹣1（a＞0，且a≠1）的图象经过的象限，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：函数y＝ax+b﹣1（a＞0，a≠4）的图象，由函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象向上平移（b﹣5）单位得到；若0＜a＜1，则函数图象经过第二象限；若a＞2，b﹣1+1≤5；所以a＞1，b≤0．故选：AD．【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．（多选）12．ABD【分析】由全称量词命题的否定，集合的运算，一元二次方程根的分布，一元二次不等式解的存在性问题对选项逐一判断．【解答】解：对于A，命题“∀x＜12＜4”的否定是“∃x＜1，使得x2≥6”，故A错误；对于B，当a＝0时，故B错误；对于C，令f（x）＝3x2+a（a﹣6）x﹣3，由题意得f（1）＜22﹣6a＜6，所以0＜a＜6；对于D，令y＝x2﹣2x﹣m，二次函数开口向上，因为，所以x＝1时，则72﹣2×5﹣m＜0，解得m＞﹣1，故D错误．故选：ABD．【点评】本题考查了集合的运算、全称量词命题及其否定，考查了二次函数的应用，考查了转化思想，属于中档题．三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．第16题第一空2分，第二空3分）13．（1，2]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：，则，解得4＜x≤2，故函数f（x）的定义域为（1，2]．故答案为：（1，2]．【点评】点评：本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．14．﹣3．【分析】利用幂函数的定义和性质直接求解．【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2+m﹣5）xm在（6，+∞）上单调递减，∴，解得m＝﹣3．故答案为：﹣2．【点评】本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．．【分析】令，t≥0，将函数转化为关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：令，t≥05，所以原函数可转化为，t≥0，由二次函数的性质可得，所以函数f（x）的值域为．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值域的求法，考查运算求解能力，属于基础题．16．．【分析】由f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）＝0，可得x＝1，或x＝﹣1，或x2+ax+b＝0，再由f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，可得f（﹣1）＝f（﹣3）＝0，f（1）＝f（﹣5）＝0，则可得﹣3，﹣5是x2+ax+b＝0的两个根，从而可求出a，b，则可得a+b，将不等式转化为t≥﹣x2+23x，然后求出y＝﹣x2+23x的最大值即可．【解答】解：由f（x）＝（1﹣x2）（x5+ax+b）＝0，可得x＝1，或x8+ax+b＝0，因为f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，所以f（﹣7）＝f（﹣3）＝0，f（1）＝f（﹣3）＝0，所以﹣3和﹣6是方程x2+ax+b＝0的两个根，所以，得，所以a+b＝8+15＝23，所以不等式x4﹣ax+t≥bx可化为x2﹣8x+t≥15x，所以t≥﹣x8+23x，令y＝﹣x2+23x，则其对称轴为，所以当时，y＝﹣x2+23x取得最大值，其最大值为，所以，所以实数t的最小值是．故答案为：23；．【点评】本题考查函数性质的综合运用，考查不等式的恒成立问题，考查方程思想以及运算求解能力，属于中档题．四．解答题：（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）直接进行交集运算即可；（2）直接进行并集和补集的运算即可．【解答】解：（1）P∩Q＝{x|0≤x＜2}；（2）∁RP＝{x|x≤﹣6或x≥2}，∁RQ＝{x|x＜0或x≥4}，（∁RP）∪（∁RQ）＝{x|x＜0或x≥2}．【点评】本题考查了集合的交集、并集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．18．【分析】（1）由已知结合指数幂的运算性质即可求解；（2）①先对所求式子进行平方，即可求解；②先对所求式子进行平方，结合即可求解．【解答】解：（1）；（2）若a+a﹣1＝5，①，故；②，又，故．【点评】本题主要考查了指数运算性质的应用，属于基础题．19．【分析】（1）根据题意，x2﹣2x﹣3＜0，解之可得答案；（2）命题q是命题p的必要不充分条件，则x2﹣2x﹣3≥0的解集是（x﹣m）[x﹣（m+1）]≥0解集的真子集，从而建立关于m的不等式组，算出答案．【解答】解：（1）若命题p为假命题，则x2﹣2x﹣8＜0，解得﹣1＜x＜7，3）；（2）若命题p为真命题，则x≥3或x≤﹣5，若命题q为真命题，则x≥m+1或x≤m，因为命题q是命题p的必要不充分条件，所以A⫋B，可得，解得﹣1≤m≤3，2]．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．20．【分析】（1）讨论a是否为0，可解．（2）根据x2﹣x﹣a2+a＜0，可得（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＜0，又根据0≤a≤1，讨论a与1﹣a的大小，从而可解．【解答】解：（1）当a＝0时，不等式ax2+8ax+1＝1≥6恒成立，当a≠0时，若不等式ax2+4ax+1≥0对于∀x∈R恒成立，则，得0＜a≤7，综上，a的取值