2023年高考数学第02讲用集合观点处理充要条件问题

第02讲用集合观点处理充要条件问题

一、知识聚焦

1.充分条件

若〃=4，则p是的充分条件.

2.必要条件

若4=则p是q的必要条件.

3.充要条件

若既有〃=4，又有q=>p,记作〃则p是q的充要条件，同时q也是p的充要条

件.

4.从集合观点解释：

P所对应的集合为44所对应的集合为8.

⑴P是q的充分条件等价于3.

⑵P是q的必要条件等价于Aq8.

⑶P是4的充要条件等价于.

⑷P是4的充分且不必要条件等价于A03.

⑸P是q的必要且不充分条件等价于AUB.

二、精讲与训练

【核心例题1】

已知集合用={乂xV—3或x>5},P={x|(x-«)(x-8)„0).

⑴求实数。的取值范围，使它成为Me—{x|5〈x,8}的充要条件.

⑵求实数。的一个值，使它成为Me-{x|5〈x,8)的一个充分但不必要条件.

【解题策略】

解决充要条件问题通常有3种方法.

方法一(定义法)

步骤是：(1)分清哪个是条件，哪个是结论；⑵判断pnq&qnp的真假；(3)根据推式及

定义下结论.

方法二(用命题的等价性判断)

判断p是夕的什么条件，其实质是判断〃=4及其逆命题4=〃是真是假.原命题为真

而逆命题为假，则p是4的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要

不充分条件；原命题为真，逆命题也为真，则p是q的充要条件，当然q也是p的充要条

件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.

方法三(集合法)

集合法在本讲知识聚焦中已有介绍，具体见表2-1.

表2—1

记法

A={x|p(x)}B={x|g(x)}

关系AOBBOAA=6A08且80A

p是q的充分p是q的必要不P是q的充要P是4的既不充分

结论

不必要条件充分条件条件也不必要条件

【解】

(1)由Me-何54,8｝,得一3都z5,

因此Me—｛x|5V%,8｝的充要条件是｛a|—3融5).

⑵求实数a的一个值，使它成为McQ｛x15Vx,8｝的一个充分但不必要条件，就是在集

合｛司一3釉5｝中取一个值，如a=0,此时必有Me—卜|5<%8｝;

反之，^^何5〈％,8｝末必有〃=0.故a=0是Me-｛乂5<%,8｝的一个充分不必

要条件.

【变式练习1】

2

已知p：A=｛x|d+04掇0，q：X-3X+2O｝,若p是q的充分不必要条件,

求实数。的取值范围.

【解】

由3x+2,0,解得啜k2,即片｛只黜2｝,

〃是q的充分不必要条件，；.4口8.

⑴若A=0,则有AOB,此时应有△="一4<0,即一2VaV2.

(ii)若Aw0,设玉，々是方程叶1=0的两根，则有掇此2,啜乂2.

又看々=1,

/.X|-%2=1,

a=—(百+w)=-2,

综上，可得。的取值范围为-Z,aV2.

【变式练习2】

设P：实数X满足-4dx+3。2<(),其中a<0,4：实数X满足f-x-6„0或

x2+2%-8>0,且非p是非q的必要不充分条件，求。的取值范围.

【解】

pt(x-3a)(x—r/)<0,又a<0,

/.3a<x<a.

q：X2-X-6„0<%2+2%-8>0,即(x-3)(叶2),,0或(JC+4)(X-2)X).

-2^ijr3或x>2或x<—4.即X...-2或x<-4.

非P是非4的必要不充分条件，

是P的必要不充分条件.

；.(3a,a)G(—oo,—4)D[—2,+oo),

厂.6,-4或3a...-2.

2

得。的取值范围是%一4或。一§,,。<0.

【核心例题2】

关于X的方程—-2=0至少有一个非负实数根，求它的：

⑴充要条件；(2)充分非必要条件；(3)必要非充分条件；(4)既非充分也非必要条件.

【解题策略】

充要条件的判断，要在“从定义出发”，利用命题“若p则的真假进行区分.在具体解

题中，要注意分清“谁是条件“，“谁是结论”，防止南辕北辙.如”A是8的什么条件”中

,A是条件，B是结论，而“4的什么条件是8”中，A是结论，8是条件，有时还可以通

过其逆否命题的真假加以区分，若「pnq,则p是q的必要条件，q是p的充分条件.寻

找一个命题的充分非必要条件，可看成寻找满足这个命题的集合的子集，即缩小充要条件的

范围；寻找一个命题的必要非充分条件，可看成一个包含满足命题的集合的子集合，即扩大

充要条件的范围.

本例涉及一元二次方程至少有一个非负实根，情况比较复杂，可能是两个正根，一个正根、

一个负根，两个"0”根，一个“0”根、一个负根，一个“0”根、一个正根，但它的对立

面就比较简单，只有一种情决，即两个负根，按照“正难则反”的原则，可先求有两个负根

的充要条件，然后求它的补集.

【解】

9

-

A=(2a-l)2-4(a2-2)..O,4

1

-

若方程有两个负根，贝卜%+无2=2。—KO,=>aV—V2.=>,2

%"2=—2>0

(1)充要条件：取其补集｛H。…-挺｝,同时考虑到方程有实根，A.0.故方程至少有一

个非负实根的充要条件是-例g

⑵充分非必要条件，缩小充要条件的范围就是充分非必要条件，如喷射答案不

唯一)

⑶必要非充分条件：扩大充要条件的范围就是必要非充分条件，如｛al-2Va＜3｝.(答案不

唯一)

(4)既非充分也非必要条件：如｛臼也或。＞3｝.(答案不唯一)

【变式练习1】

(1)已知关于x的一元二次方程如2_4%+4=0,d)x2-4/nx+4m2-4/77-5=0,②求使方

程；①②都有实数根的充要条件.

⑵设%，£是方程》?一编#/?=0的两个实根，试分析。＞2且匕＞1是两根玉,々均大于1的

什么条件

【解】

m0,

方程①有实数根的充要条件是集合A满足

△]=(—4)~—16/篦..0,

即A=｛加"1且加工0｝

方程②有实数根的充要条件是集合B满足&=(-4加尸-4(4m2-4m-5)..O,

即B=，m...—

I4

二方程①②都有实数根的充要条件是效物1且加工0.

4

即Ac8={—机VO或0</，1}.

⑵解：根据韦达定理得〃=%+々，b=&X2,记p：。>2且〃>1,

q：%>1且次2>1.

若%>1且工2>1,则。=玉+工2>2，b=x}x2>lf

:.q=p.

9Q=1

若取〃=展人=2满足a>2,b>l,此时方程f-/第4~2=0的两根为%=4,x2^>且

玉>1但入2VL

:.p丰q.

综上可知：。>2且〃>1是x>l且々>1的必要不充分条件.

【变式练习2】

已知集合A=<y|y=（：）”（I+1,x«-l,2）>,B={x||x-屈.命题

p：xeA,命题q：xeB,并且命题p是命题q的充分条件，求实数加的取值范围.

【解】

~12

<1Y门「门'

由尸匕）-3图+1得产忙V3f1y,,

J2⑴

令（g=1贝情尸3?,7(\\

——+一,Ze—,2

4)16(4)

：.>'GT—,2^1.

L16）

4=1x|—„x<2.

116J

由元一加2|..._L解得K,m2一2_或工.〃?

2+-,

1444

r.B={x|x,,nr一;或.

命题P是命题q的充分条件，

/.A=8.

••2川一：或〃"；,,《

(6⑸

解得实数机的取值范围是(-8，-1U+60|.

44

\72

【核心例题3】

已知函数/(x)=4sin]»26cos2尤一1,且给定命题p：或,xeR.

42

若命题q：-2V/(x)-〃1V2,且Y是4的充分条件，求实数加的取值范围.

＞解题策略本例的难点：根据充分条件将问题转化为不等式组恒成立问题，根据充分条件的

定义，若呼成立，则夕一定成立，即q在呼的条件下恒成立，而力为真的条件是x的取

值集合4=卜吁皴在这一范围内求“X)的最值，结合q：—24/。)一加＜2确定

m的取值范围.

【解】

机>/(%)-2,

由q可得《

w?</(x)+2.

「〃是4的充分条件,

・.在滔资条件下,

•mV/(x)+2怛成乂

，一、

由已知得/'(x)=21-cos^+2x-2A/3COS2X-1

7

=2sin2x-2百cos2x+l

=4sin2x-—>)+1

I3j

由匹勃k知军张必c一三—,

42633

3^sin|^2x-^+l5

57r7t

故当尸正时，/(X)M=5，当A］时，f(x)mi=3.

二只需〈c,c成立，即3Vm<5.

*3+2

..•机的取值范围是(3,5)