2022年高考全国乙卷文科数学真题试卷试题答案解析

2022年普通高等学校招生全国统一考试全国乙卷文科数学

单选题(共12题，共12分)

1.

集合M={2,4,6,8,10},N{x|-l<x<6},则MCN=()

A.{2,4}

B.{2,4,6)

C.{2,4,6,8)

D.{2,4,6,8,10)

正确答案：A

2.

设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则()

A.a=l,b=-l

B.a=l,b=l

C.a=-l,b=1

D.a=-l,b=-l

正确答案：A

1

3.

已知向量a=(2,l),b=(-2,4),则|a-b|=()

A.2

B.3

C.4

D.5

正确答案：D

4.

分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课夕M本育运动时长（单位：h），得如下茎叶图:

甲

6I5.

85306.3

75327.46

64218.I2256666

420238

则下列结论中错误的是（）

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

2

正确答案：c

x+y...2,

若x,)，满足约束条件，x+2j，”4,则二=2x-y的最大值是()

%0,

A.-2

B.4

C.8

D.12

正确答案：C

6.

设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0),设AF|=|BF|,则|AB|=()

A.2

B.2V2

C.3

D.3V2

正确答案：B

3

7.

执行右边的程序框图，输出的门=()

A.3

B.4

C.5

D.6

正确答案：B

8.

右图是下列四个函数中的某个函数在区间卜3,3］的大致图像，则该函数是()

4

2sinJ:

D.

jf2+1

A.A

B.B

C.C

D.D

正确答案：A

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB,BC的中点,贝1|()

A.平面B1EF_L平面BDD1

B.平面B1EFJ_平面A1BD

C.平面B1EF〃平面A1AC

D.平面B1EF〃平面A1C1D

正确答案：A

10.

5

已知等比数列｛a“｝的前3项和为168,%-%=42,则％=()

A.14

B.12

C.6

D.3

正确答案：D

11.

,函数/a)=cosx+(x+l)smx+l在区叫0,2可的最小值、最大值分别为()

nn37tnnn3五冗一

A.——，一B.----，一C.——，一+2D.——,一+2

22222222

A.A

B.B

C.C

D.D

正确答案：D

已知球0的半径为L四棱锥的顶点为。底面的四个顶点均在球0的球面上，则当该四棱锥

的体积最大时，其高为()

6

.।R1C6n应

A.-B.-C.--D.------

3232

A.A

B.B

C.C

D.D

正确答案：C

填空题(共4题，共4分)

13.

记S”为等差数列｛q｝的前〃项和.若2s3=3S/6,则公差d=.

正确答案：2

14.

从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

正确答案：03或者3/10

15.

过四点(0,0),(4,0),(-L1),(42)中的三点的一个圆的方程为_

7

正确答案案:

l5(x-2j+(y-3)，=13或(x-2y+(y-l)2=5或('-§)+1T=彳或

16.

若/(x)=lna+f—+b是奇函数，则。=.b=

正确答案：-1/2;M2

问答题(共7题，共7分)

17.

记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)若4=28,求G

(2)证明：2a2=/+。2

正确答案：

8

5n

17.(1)8：

1

(2)由si*。sin-B)=sinBsin(C->t)可得

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA)再由F吆定理可得

accosB-hccosA=hccosJ-ahcosC,然后根据余弦定理可知，

-(<r+c2-62)--(b:+c2-a2)=^(f>2+c2-o2)--(a2+Z>:-c2)

2222,化简得:

勿2=/+。2,故原等式成立.

如图,四面体ABCD中,AD±CD,AD=CD,4ADB=NBDC,E为AC的中点.

(1)证明：平面8££>_L平面4c。：

(2)设48=8。=2,/478=60°,点/在8£>上，当尸C的面枳最小时，求三棱

锥E-45c的体积.

正确答案：

由于4D=CD,E是4c的中点，所以4c_L0£.

AD=CD

■BD=BD

由于|4°5=NC°8,所以三CDB,

9

所以AB=CB,故/CJ.8O.

由干DEcBD=D.DE、BD］平面BED.

所以4CJ■平面BE。，

由于/Cu平面48,所以平面8EO_L平面4CO.

【小问2详解】

依题意AB=BD=BC=2,405=60°,三角形4BC是等边三角形，

所以?1C=2,4E=CE—I,BE=V3

由于"£>=C£>,4)_LC。，所以三角形/C0是等腰直角三角形，所以0E=1.

DE2^BE2=BD2,所以DE工BE,

由于ACcBE=E,力。,5£<=平面力质二所以O£_L平面4BC.

由于八如夕三CDB,所以NFB4=NFBC,

BF=BF

-ZFBA=NFBC

由于|<B=C8,所以口下区1RqC,

所以力尸=",所以EFJ./C,

11t=—,AC•EF

由于,2，所以当.最短时，三角形.凡'的面积最小值.

过E作即_L8O,垂足为尸，

-BEDE=-BDEFEF=—

在中，22，解得2,

DF=1=L,BF=2-DF=±

2

所以YI2J21

BF_3

所以BD4

10

FH_BF_3

过尸作FHJ.8E,垂足为〃，则FHHDE,所以尸〃，平面45(7,且DE-BD4,

FH=-

所以4,

VF=L.S.^..FH=-x-x2xy/3x-=^-

所以33244.

19.

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山。为估计一林区某种树木的总材积量,

随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位:m2）和材积量（单位:m3）,

得到如下数据：

11

样本号i12345678910总和

根部横截面枳X,0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量乂0250.400220.540.510.340360.460.420.403.9

并计算得»；=0038.Z»=L6158,^x,y,=0.2474.

f=1

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量：

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)：

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面枳，并得到所有这种树木的根部横截面积

总和为186m二已知树木的材枳量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林

区这种树木的总材枳量的估计值.

EG-亍)(乂-力

附：相关系数/■=-7=餐-------------------S.896=1.377.

力6-才力6-力2

1=1，=1

正确答案:

19（I）0.06m2.0.39m3

（2）0.97

（3）1209mJ

20.

20.(12分)已知函数/(x)=ar-^•一(a+l)lnx.

x

(1)当。=0时，求/(x)的最大值：

(2)若/(x)恰有一个零点，求。的取值范围.

正确答案：

20.(1)-1

⑵(0收)

12

21.

21.(12分)已知椭阅£的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴,且过

40,-2),8停,一1)两点.

(1)求£■的方程：

(2)设过点尸(1,-2)的直线交£于M,N两点.过M且平行于x轴的直线与线段48交

于点兀点〃满足桁=加，证明：直线月N过定点.

正确答案：

21.(1)43

(2)(。，-2)

【小问1详解】

、4(0,-2),5佶一

解：设椭阴£的方程为""+〃)’=1过

「4〃=1

-m+n=\m=-n=-

则.，解得3,4.

21

-y-+-x-=1

所以椭圆E的方程为：43.

【小问2详解】

40,-2),83-1)血y+2=：x

2,所以3,

E+J1

8过点PU-2)的直线斜率不存在，直线x=l.代入34,

A/(l,—)^(1,--)y=-x-2

可得3,3.代入.48方程3,可得

7(#+3.当——H(2指+5,当

3,由A/r=7H得到3.求得助方程;

13

2瓜、,

广（2中一过点（OT）

②若过点户（L-2）的直线斜率存在，设h-J，TA+2）=O,A/（不乂）,\（七,必）

Ax-y-(4+2)=0

士+J1

得(3k2+4)x2-6k(2+幻

联立34x+3A(A+4)=0

-8(2+A)

_6k(2+k)

XX22

'~3k+4

3)1(4+A)4(4+4A-2A?)

可得

-24A,*、

且演必+孙广索有（）

y=yt

'273y.

y=，x-2T(V+3，M),H(3H+6_%，M).

联立3可得2

HN:y-y2=---———----（x-x2）

可求得此时3M+6_演一七,

将（0,-2）,代入整理得2区+天）-6（乂+%）+玉必+电乂-3yMi2=0,

将（*）代入得24A+12公+96+484-24%-48-48%+24公-36公-48=0,

显然成立，

综上，可得直线HN过定点（°，-2）・

22.

在直角坐标系xOr中，曲线c的参数方程为［xnbcosZf’（,为参数）以坐标原点为

y=2sinr

极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线/的极坐标方程

为psin（e+：）+/n=O.

（1）写出/的直角坐标方程：

（2）若/与。有公共点.求，”的取值范围.

14

正确答案：

22.(i)岳+y+2/w=0

—

(2)122

23.